Sabendo que f(x) é um polinômio de grau 2, utilize a formula do trapézio e calcule exatamente

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1 MÉTODOS NUMÉRICOS E COMPUTACIONAIS II EXERCICIOS EXTRAIDOS DE PROVAS ANTERIORES EXERCICIOS RESOLVIDOS - INTEGRACAO-NUMERICA - EDO. Considere a seguinte tabela de valores de uma função f x i f(x i ) o sem/8 Sabendo que f(x) é um polinômio de grau, utilize a formula do trapézio e calcule exatamente f(x)dx. Justifique a sua resposta. Sabendo que f(x) é um polinômio de grau, utilize a formula do trapézio e calcule exatamente f(x)dx. Justifique a sua resposta. SOLUÇÃO: Utilizando a fórmula dos Trapézios, podemos obter o valor da integral de duas maneiras considerando os seus respectivos erros. - Primeira: usando x. e x 4.5, com h 3.5, f(x)dx h f(x ) + f(x 4 ) h3 f (η) (I) - Segunda: usando os pontos, x., x.5 e x 4.5 (h x x.5 e h x 4 x.). Note que, o espaçamento entre os pontos não são iguais. Então, vamos calcular a integral como soma de duas integrais da seguinte maneira, f(x)dx.5 f(x)dx +.5 f(x)dx h f(x ) + f(x ) h3 f h (η) + f(x ) + f(x 4 ) h3 f (η) h f(x ) + (h + h ) f(x ) + h f(x 4 ) (h3 + h 3 ) f (η) (II) Note que é necessário obter a derivada de segunda ordem de f(x) P (x) Ax + Bx + C, ou seja, f (x) A, x.5. Calculando I(f) por (I), e por (II), A A A, (III) (.5 +.) ( ) A 6 A A A. (IV )

2 Resolvendo (III) e (IV ), A A 5.5 A 3.5 A.5. Agora obtendo I(f)... e também, Observe que o termo do erro presente na aproximação pela fórmula dos Trapézios é dado em função do coeficiente A do polinômio de segundo grau. Logo, utilizando as duas maneiras de aproximar I(f) foi possível obter o valor de A e assim determinar o erro cometido por ambas as aproximações. Com isso, o valor exato da integral pode ser obtido.

3 . Seja cos(x)dx. Calcule N de modo que a fórmula do trapézio composta (IN T (f)) forneça uma aproximação com um erro E N T (f) < 3. Calcule IT N (f) com o N obtido e o respectivo erro. SOLUÇÃO: cos(x)dx h f(x ) + f(x N ) + N j f(x j ) (b a) h f (ξ) onde ξ,. Temos que f (x) cos(x). calculado considerando, O erro para a fórmula do trapézio composta pode ser então E N T (f) (b a) h max cos(ξ), ξ, Note que, cos(ξ), ξ, e h (b a). Logo, N.. < 3. N N >.. 3 N > N > E N T (f).. N < < N 5.. N >, Logo, N > ou seja N. Calcule IT N (f) com o N obtido e o respectivo erro. SOLUÇÃO: cos(x)dx h 9 f(x ) + f(x ) + f(x j ) Temos, h ( )., então, x i f(x i ) x i f(x i ) I(f) I(f). j I(f) Estimando o erro... E T (f) (b a) h e 4.

4 x 3. Considere a função tabelada: j Sabendo que f(x) f(x j ) é um polinômio de grau, utilize a fórmula do Trapézio e calcule exatamente f(x)dx. Justifique a sua resposta..5 SOLUCAO: A fórmula do Trapézio é dada por: b a (f(x)dx h f(a) + f(b) h3 f ɛ Considerando.5,.5 e tendo em mente que f(x) é polinômio de grau, obtemos as equações: f(x)dx { } (A) desde que f ɛ A A.3 f(x)dx f(x)dx (A) (A) A A A A A.69, Considere a integral: e x ( + x + 3x 5.5x 6 ) dx. a) SOLUÇÃO: A fórmula Gauss-Laguerre com N 3 é dada por: I Q (f) A f(x ) + A f(x ) + A f(x ) onde x, x, x são os zeros do polinômio de Laguerre de grau 3. Da tabela obtemos os valores dos zeros e dos coeficientes A, A, A, os quais são dados por: x.45775, A.793 f(x ) + x + 3x 5.5x x.948, A.7858 f(x ) + x + 3x 5.5x x , A.3893 f(x ) + x + 3x 5.5x I(f) A f(x ) + A f(x ) + A f(x ) I(f) b) Qual é o grau de precisão da fórmula utilizada no item a)? O resultado da aproximação obtida no item a) é exato? Justifique a sua resposta. SOLUÇÃO: O grau de precisão dessa formula é: r + 5. O resultado não é exato porque f(x) é um polinômio de grau N 6 > r.

5 5. Considere a igualdade: x3 dx p (x)dx onde p (x) é um polinômio de grau. a) Forneça condições suficientes sobre p (x) para que essa igualdade seja válida. SOLUÇAO: Conforme o Teorema de Quadratura de Gauss, para que essa igualdade seja válida, o polinômio p (x) precisa satisfazer os requisitos:. p (x) é o polinômio interpolador de f(x) em x e x.. Os pontos de interpolação x e x são os zeros do polinômio ortogonal φ (x) ; 3. φ (x) é calculado segundo o produto escalar: (f, g) f(x)g(x)dx. b) Considere o produto escalar: (f, g) f(x)g(x)dx e calcule o polinômio ortogonal φ (x) com relação a esse produto escalar (utilize as fórmulas do formulário) e obtenha o polinômio p (x) e calcule I(p ). SOLUÇAO: Utilizando as fórmulas para calcular polinômios ortogonais, obtemos: φ (x) (x, ) ( φ (x) x (, ) x.5 (x, ) desde que (, ) x dx.5 ) dx.5 φ (x) x (x.5) α (x.5) β α (xφ, φ ) (φ, φ ) x(x.5) dx (x.5) dx /4 /.5 β (xφ, φ ) (φ, φ ) x(x.5) ()dx (/) /. ( )dx Logo, φ (x) x (x.5).5 (x.5) / x x + /6 : RAIZES de φ (x) : x.348, x Logo, (x ) p (x) ( ) (x.348) (.348)3 + ( ) ( )3. p (x).7358 (x ) (.348) (x.348) ( ) 3 E PORTANTO, I(p (x)).7358 (x ) (.348) (x.348) ( ) 3 dx /4.

6 { y 6. Considere o PVI: y x/y, x.3, y(), Faça h.5 e calcule y(.3) pelo mét. de Euler modificado SOLUÇÃO: Como h.5 tem-se: x., x.5, x.3. O método de Euler modificado fornece as equações: y j+ y j + h f(x j, y j ) + f(x j+, y j+ ), onde y j+ y j + f(x j, y j ). Logo, temos: j - Cálculo de y - x., y. *** f(x, y ) y x /y.. (.)/(.). *** y y +.5 f(x, y ) *** f(x, y ) y x /y.5 (.)/ *** y y +.5 f(x, y ) + f(x, y ) ************************************************ j - Cálculo de y - x.5, y *** f(x, y ) y x /y (.5)/( ) *** y y +.5 f(x, y ).7356 *** f(x, y ) y x /y *** y y +.5 f(x, y ) + f(x, y ) ************************************************

7 7. Considere o PVI de segunda ordem y (e x y ) /, x,.4 y(), y () (a) Transforme esse PVI, em um PVI de a. ordem. y y y y, y () y y y y (e x y) /, y () Y y f F (x, Y ) (e x y) /, x.4, f y Y () y (b) Obtenha a solução aproximada desse PVI pelo método de Euler modificado. Use h.. SOLUÇÃO: Temos: h., x., x., x.4. j, Cálculo de Y : x, Y F (x, Y ). (e x y ).5 Ȳ Y + h F (x, Y ) F (x, Ȳ) Y (e.. ) , j, Cálculo de Y : x., Y ******************************************************************** (y ) F (x, Y ) (e x (Y ) ).5. (e. (.4) ) Ȳ Y + h F (x, Y ) F (x, Ȳ) Y (Y ).4 (Y ) (e ) ,