Determinação de raízes de polinômios: Método de Briot-Ruffini-Horner

Transcrição

1 Determinação de raízes de polinômios: Método de Briot-Ruffini-Horner Marina Andretta/Franklina Toledo ICMC-USP 29 de outubro de 2012 Baseado no livro Cálculo Numérico, de Neide B. Franco Marina Andretta/Franklina Toledo (ICMC-USP) sme Cálculo Numérico I 29 de outubro de / 17

2 Cálculo do valor de um polinômio Em qualquer método iterativo para determinar raízes de um polinômio, é necessário calcular o valor do polinômio P em um dado ponto x e, possivelmente, de suas derivadas. Por isso, é necessário que este cálculo seja feito da maneira mais precisa e computacionalmente econômica possível. Marina Andretta/Franklina Toledo (ICMC-USP) sme Cálculo Numérico I 29 de outubro de / 17

3 Cálculo do valor de um polinômio Para medir a eficiência de algoritmos para calcular o valor de um polinômio, denotaremos por µ o tempo computacional de se calcular uma multiplicação e por α o tempo computacional de se calcular uma adição. Se P(x) é calculado da maneira tradicional, usando a fórmula P(x) = a n x n + a n 1 x n a 2 x 2 + a 1 x + a 0, devemos calcular as potências de x, fazendo x k = x(x k 1 ). O tempo computacional gasto com estas operações é (n 1)µ. Marina Andretta/Franklina Toledo (ICMC-USP) sme Cálculo Numérico I 29 de outubro de / 17

4 Cálculo do valor de um polinômio O cálculo dos termos da forma a k x k requerem nµ. A soma dos termos requerem nα. Ou seja, o tempo computacional total gasto para calcular P(x) é (2n 1)µ + nα. Além disso, se for necessário calcular P (x), será necessária, aproximadamente, a mesma quantidade de tempo computacional. Marina Andretta/Franklina Toledo (ICMC-USP) sme Cálculo Numérico I 29 de outubro de / 17

5 O Método de Briot-Ruffini-Horner consiste em calcular o valor de P(x) e P (x) (e, possivelmente, derivadas de ordens superiores) usando a seguinte representação de P(x): P(x) = a n x n + a n 1 x n a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = (((...(a n x + a n 1 )x +...)x + a 2 )x + a 1 )x + a 0. Note que, usando esta maneira alternativa de descrever P(x), o tempo computacional necessário para o cálculo de P(x) (e P (x)) é, apenas, nµ + nα. Marina Andretta/Franklina Toledo (ICMC-USP) sme Cálculo Numérico I 29 de outubro de / 17

6 Uma forma de descrever esta maneira de calcular o valor de P(x) é, dados os coeficientes a n, a n 1,..., a 2, a 1, a 0, calcular b n, b n 1,..., b 2, b 1, b 0 da seguinte forma: b n = a n, para k = 1, 2,..., n. b n k = xb n k+1 + a n k, Desta forma, para um dado x, P(x) = b 0. Ou seja, se x é uma raiz de P, temos que b 0 = P( x) = 0. Marina Andretta/Franklina Toledo (ICMC-USP) sme Cálculo Numérico I 29 de outubro de / 17

7 Para calcular a derivada de P(x), podemos aplicar o mesmo procedimento, usando os valores b k no lugar de a k. Neste caso, temos c n = b n, para k = 1, 2,..., n 1. c n k = xc n k+1 + b n k, Marina Andretta/Franklina Toledo (ICMC-USP) sme Cálculo Numérico I 29 de outubro de / 17

8 Note que, b n = (a n ) = 0, para k = 1, 2,..., n. b n k = (xb n k+1 + a n k ) = xb n k+1 + b n k+1, Marina Andretta/Franklina Toledo (ICMC-USP) sme Cálculo Numérico I 29 de outubro de / 17

9 Além disso, b n 1 = xb n + b n = b n = c n, e assim por diante. b n 2 = xb n 1 + b n 1 = xc n + b n 1 = c n 1, Ou seja, c k = b k 1. Portanto, P (x) = (b 0 ) = c 1. Marina Andretta/Franklina Toledo (ICMC-USP) sme Cálculo Numérico I 29 de outubro de / 17

10 Dado um polinômio P(x) = a n x n + a n 1 x n a 2 x 2 + a 1 x + a 0, para calcular P(z), fazemos: a n a n 1 a n 2... a 2 a 1 a z zb n zb n 1... zb 3 zb 2 zb 1 b n b n 1 b n 2... b 2 b 1 b z zc n zc n 1... zc 3 zc 2 c n c n 1 c n 2... c 2 c 1 Ao final da construção desta tabela, temos P(z) = b 0 e P (z) = c 1. Marina Andretta/Franklina Toledo (ICMC-USP) sme Cálculo Numérico I 29 de outubro de / 17

11 Quando calculamos apenas o valor de P(z) usando o esquema anterior, temos o Método de Briot-Ruffini. O Método de Briot-Ruffini-Horner fornece os valores de P (z) 1!, P (z) 2!, P (z) 3! e assim por diante. Se quisermos aplicar o Método de Newton para encontrar uma raiz de um polinômio P, podemos usar o Método de Briot-Ruffini-Horner para calcular P(x k ) e P (x k ) de maneira eficiente. Desta forma, a iteração que tem a forma x k+1 = x k P(x k) P (x k ), pode ser escrita como x k+1 = x k b 0(x k ) c 1 (x k ). Marina Andretta/Franklina Toledo (ICMC-USP) sme Cálculo Numérico I 29 de outubro de / 17

12 Se z for uma raiz de um polinômio P, os coeficientes b n, b n 1,..., b 1, b 0 obtidos pelo Método de Briot-Ruffini-Horner são tais que Q(x) = b n x n 1 + b n 1 x n b 3 x 2 + b 2 x + b 1 = P(x) x z. Para verificar esta expressão, note que (b n x n 1 + b n 1 x n b 3 x 2 + b 2 x + b 1 )(x z) = b n x n + (b n 1 zb n )x n (b 2 zb 3 )x 2 + (b 1 zb 2 )x + (b 0 zb 1 ) = a n x n + a n 1 x n a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = P(x). Marina Andretta/Franklina Toledo (ICMC-USP) sme Cálculo Numérico I 29 de outubro de / 17

13 Portanto, qualquer raiz de Q é também raiz de P. Ou seja, ao utilizar um método para encontrar uma raiz z de P, podemos construir o polinômio Q, de grau n 1, e aplicar o mesmo método para encontrar uma raiz de Q. Seguindo este procedimento, podemos encontrar todas as raízes de P. Marina Andretta/Franklina Toledo (ICMC-USP) sme Cálculo Numérico I 29 de outubro de / 17

14 Exemplo Considere o polinômio P(x) = x 3 + 2x x 1.7. Vamos utilizar o Método de Newton, com precisão 10 2 e ponto inicial x 0 = 0.9, para encontrar uma raiz de P. Usaremos o Método de Briot-Ruffini-Horner para calcular os valores de P(x k ) e P (x k ). Marina Andretta/Franklina Toledo (ICMC-USP) sme Cálculo Numérico I 29 de outubro de / 17

15 Exemplo O ponto x 1 é dado por O erro obtido é x 1 = x 0 b 0(x 0 ) c 1 (x 0 ) x 1 x 0 x > = = Marina Andretta/Franklina Toledo (ICMC-USP) sme Cálculo Numérico I 29 de outubro de / 17

16 Exemplo O ponto x 1 é dado por O erro obtido é x 2 = x 1 b 0(x 1 ) c 1 (x 1 ) x 2 x 1 x < = = Marina Andretta/Franklina Toledo (ICMC-USP) sme Cálculo Numérico I 29 de outubro de / 17

17 Exemplo Como a precisão pedida foi atingida, nossa raiz aproximada de P é Podemos construir o polinômio Q tal que Q(x) = (x 0.922)P(x) (lembrando que esta raiz é aproximada). Para isso, usamos o Método de Briot-Ruffini mais uma vez: Assim, Q(x) = x x Note que podemos obter as duas raízes restantes de P resolvendo a equação de segundo grau Q(x) = 0. Marina Andretta/Franklina Toledo (ICMC-USP) sme Cálculo Numérico I 29 de outubro de / 17