Integração por Quadratura Gaussiana

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1 Integração por Quadratura Gaussiana Fabricio C. Mota 1, Matheus C. Madalozzo 1, Regis S. Onishi 1, Valmei A. Junior 1 1 UDC ANGLO Faculdade Anglo Americano (FAA) Av. Paraná, 5661, CEP: Foz do Iguaçu PR Brasil {caceres.mota,shindionishi}@hotmail.com, matheus.madalozzo@gmail.com valmeijr@terra.com.br Abstract. The numerical calculation has several segments to determine the value of a definite integral where the function F (x) is not known or is not easily understood.for this purpose, we highlighted the Gaussian Quadrature method, where we explain the formulation of Gauss-Legendre through an example and an algorithm. Resumo. O cálculo numérico possui vários segmentos para determinar o valor de uma integral definida, onde a função F (x) não é conhecida ou não é de fácil entendimento. Para tanto, destacamos o método da Quadratura Gaussiana, onde explicaremos a formulação de Gauss-Legendre através de um exemplo e um algoritmo. 1. Introdução A matemática pode ser dividida em dois seguimentos, o cálculo numérico e o algébrico. O cálculo numérico ou análise numérica é a área da matemática que trata da concepção de processos numéricos e estuda sua execução para encontrar aproximações da solução do modelo matemático. Já o cálculo algébrico, está diretamente ligado às expressões algébricas, envolvendo equações, inequações e sistemas de equações. Para a resolução numérica de integrais, dentre os métodos existentes, iremos focar a técnica da Quadratura Gaussiana. Porém o método possui várias derivações como a Gauss-Chebyshev, Gauss-Hermite, Gauss-Laguerre, Gauss-Legendre, entre outros. Todavia, esse artigo é focado na Gauss-Legendre, pois é de facil implementação em comparação com as demais.. Objetivo A proposta desse artigo consiste no estudo sobre o método numérico da Quadratura Gaussiana para explicar o seu funcionamento apresentar uma aplicação prática e, com o conhecimento adquirido, desenvolver um algoritmo para melhor entendimento.. Finalidade do método A estimativa de uma integral baseada em valores da função uniformemente espaçados, é uma característica das equações de Newton-Cotes. Consequentemente, a localização dos pontos de base utilizadas nestas equações são predeterminados ou fixos. Conforme ilustrado na figura (1a), a regra trapézio é baseada em considerar a área sob a reta ligando os valores da função nas extremidades do intervalo de integração. A fórmula usada para calcular esta área é: I f(a) + f(b) = (b a) (1)

2 a, b são os limites de integração. b a é a largura do intervalo de integração. A regra do trapézio deve passar pelos pontos finais. Há casos, como na figura (1a) onde a fórmula resulta em um grande erro quando, comparado com a solução analítica. Supondo que a restrição de base seja removida e se tem a liberdade para avaliar a área sob uma linha reta que une dois pontos quaisquer da curva, posicionando os pontos corretamente, podese definir uma linha reta que irá equilibrar os erros positivos e negativos. Assim, como na figura (1b), pode-se chegar a uma melhor estimativa da integral. Para implementar esta estratégia utiliza-se a Quadratura Gaussiana. As fórmulas particulares da Quadratura de Gauss utilizadas neste artigo são chamadas de fórmulas de Gauss-Legendre. (a) Representação gráfica da regra do trapézio como a área sob a reta que une os pontos finais fixos. (b) Estimativa de uma integral melhorada obtida tomando a área sob a reta passando por dois pontos intermediários. Figura 1. Representação gráfica dos métodos de integração. Imagem adaptada [Chapra and Canale 010] 4. Desenvolvimento do método Para determinar a fórmula da quadratura gaussiana para n = é necessário uma mundança no intervalo de integração de [a, b] para [, 1], para isso faz-se uma troca de variável. Assim tem-se, que substituido na função, x = 1 (b a)t + 1 (b a), f(x) = f [ 1 (b a)t + 1 (b + a) ], de forma que, b a f(x)dx = F (t)dt, F (t) = 1 (b a) f [ 1 (b a)t + 1 (b + a) ]. () O objetivo da quadratura de Gauss é determinar os coeficientes de uma equação da forma: F (t)dt = A 0 F (t 0 ) + A 1 F (t 1 ) ()

3 Onde A 0 e A 1 são coeficientes desconhecidos. No entanto, os argumentos x 0 e x 1 não são fixados nas extremidades, mas são incógnitas, figura (). Assim, temos um total de quatro incógnitas que devem ser avaliadas e, consequentemente, precisa-se de quatro condições para determiná-las. Figura. Representação gráfica das variáveis desconhecidas para a integração de Gauss. Imagem adaptada [Chapra and Canale 010]. Pode-se obter duas destas condições, assumindo que a equação () representa exatamente a integral de uma constante e uma função linear. Então, para chegar as outras duas condições, assumindo que ela também representa a integral de uma parábola e uma função cúbica. Com isso, determina-se as quatro incógnitas e, em troca, chega-se numa fórmula de integração de dois pontos lineares que é exata para funções cúbicas. Então, t k dt = A 0 F (t k 0) + A 1 F (t k 1). (4) Considerando que: k = 0 k = 1 t 0 dt = A 0 t A 1 t 0 1 t 1 dt = A 0 t 0 + A 1 t 1 k = k = t dt = A 0 t 0 + A 1 t 1 t dt = A 0 t 0 + A 1 t 1 ou ainda, que resolvidas resultam, = A 0 + A 1 0 = A 0 t 0 + A 1 t 1 = A 0t 0 + A 1 t 1 0 = A 0 t 0 + A 1 t 1 A 0 = A 1 = 1 t 0 = 1 = (6) (5) t 1 = 1 = substituindo estes resultados na equação (), tem-se a fórmula de Gauss-Legendre para dois pontos: ( I G = F 1 ) ( ) 1 + F. (7)

4 Assim, chega-se a uma fórmula que é exata para polinômios de até terceiro grau. Para polinômios de graus superiores e para outras funções, o erro de integração, conforme abordado em Carnahan et al. (1969), é geralmente dado por: E t = n+ [(n + 1)!] 4 (n + )[(n + )!] f (n+) ξ (8) n = número de pontos menos um, f (n+) (ξ) = (n + ) a é derivada da função após a mudança de variável, com (ξ) localizado em algum lugar no intervalo de [, 1]. Com um processo semelhante ao adotado para a determinação da fórmula para dois pontos, é construída a fórmula geral para a Quadratura Gaussiana, ou seja, n = número de pontos, A i = coeficientes, = raízes. t i F (t)dt = n Os valores de A i e t i até n = 6 são dados na tabela abaixo: i=0 A i F (t i ) (9) Tabela 1. Tabela de pontos Pontos Fator de peso(a i ) Argumentos da função(t i ) 1 A 0 = t 0 = A 0 = t 0 = A 1 = t 1 = A 0 = t 0 = A 1 = t 1 = A = t = A 0 = t 0 = A 1 = t 1 = A = t = A = t = Pontos Fator de peso(a i ) Argumentos da função(t i ) 5 A 0 = t 0 = A 1 = t 1 = A = t = A = t = A 4 = t 4 = A 0 = t 0 = A 1 = t 1 = A = t = A = t = A 4 = t 4 = A 5 = t 5 = Algoritmo de Gauss-Legendre Para iniciar o cálculo do método, primeiramente precisa-se ter os valores de a, b, n, F (x) onde: a Limite inferior; b Limite superior da integral; n Número de pontos a ser utilizado; F (x) Função a ser integrada; E também deve-se possuir os pontos (point[]) e os pesos (A[]) predefinidos. Para facilitar, o cálculo foi divido em três etapas que são realizadas (n-1) vezes para chegar ao resultado do cálculo. São elas: I A variável x é iniciada utilizando a fórmula (). Todavia, a variável t nesta fórmula é utilizada como point[i];

5 II com o resultado da primeira etapa, chama-se uma função denominada chamacalculo que, por sua vez, recebe como parâmetro a função que será integrada F (x) para F (x(t)) retornando o valor da função; III nesta última etapa, é feito o somatório da fórmula do cálculo, como exibido na seção (4). {a, b, x, n, F ( x ), F, r e s u l t a d o, A[ ], p o i n t [ ] } INICIO PARA i =0 a t e n x = ( ( ( b a ) p o i n t [ i ] / ) + ( ( b+a ) / ) F = chamacalculo ( F ( x ), x ) ( ( b a ) / ) r e s u l t a d o = r e s u l t a d o +(A[ i ] F ) FIM SE p o l i n o m i o ( F ( x )) >( n) FACA e r r o = exp ( ˆ ( n + 1 ) ) ( f a t ( n ) ) ˆ 4 e r r o = e r r o / ( n + 1 ) ( f a t ( n ) ) ˆ e r r o = e r r o ( F ( x ) ˆ n E ) ; m o s t r a r e s u l t a d o ; m o s t r a e r r o ; FIMSE m o s t r a r e s u l t a d o FIM FUNCAO chamacalculo ( F ( x ), t ) r e t o r n a = Forma a n a l i t i c a de F ( x ) em r e l a c a o a t FIM 6. Aplicação Para mostrar uma aplicação da Quadratura Gaussiana pretende-se calcular, utilizando três pontos, o valor da integral definida dada por: Solução: Pela definição da equação (4) tem-se, (x + x)dx (10) I G = A 0 F (t 0 ) + A 1 F (t 1 ) + A F (t ), e pela fórmula () substituindo os valores, F (t) = b a ( b a f t + b + a ), F (t) = + ( + f t + + ( ) ) que resolvendo fica, com os dados da tabela (1) tem-se, A 0 = A 1 = 5 9 = t 0 = 5 t 1 = 5 t = 0 A = 8 9 e substituindo na equação (4) fica, F (t) = f(t + 0) = f(t) = ((4t) + 6t) = F (t) = 8t + 1t 5 9 (8t 0 + 1t 0 ) (8t 1 + 1t 1 ) 8 9 (8t + 1t )

6 5 9 [8( ) + 1( )] [8( ) + 1( )] = = 5,. 5 5 Resolvendo analiticamente a integral (11) encontra-se que: (x + x) = x + x = 16 = 5, Em Barroso et al. (1987), é feita uma comparação de precisão de alguns métodos de integração numérica. Para isso foi utilizada a integral: 5 1 lnxdx (11) Onde o valor exato, com precisão de seis casas decimais, é dado por: Resultados: 5 1 lnxdx = xlnx 5 1 dx = 4, (1) (a) Método do trapézio (b) Método 1 a de Simpson (c) Método da Quadratura Gaussiana 7. Conclusão Comparando os resultados obtidos pelo método da Quadratura Gaussiana e o método analítico, nota-se que ambos resultados são análogos. Entretanto, a técnica da Quadratura Gaussiana não necessita do cálculo de derivadas, o que pode vir a facilitar sua implementação em sistemas computacionais. Analisando a comparação dos métodos de integração numérica podemos afirmar que o método Gaussiano requer menor esforço computacional para o cálculo em relação aos outros e fornece resultados com maior precisão. Contudo, isso não é regra geral, existem casos particulares em que outros métodos são mais vantajosos. Para os valores de uma função que são obtidos experimentalmente, as fórmulas dos trapézios e Simpson podem ser mais úteis, quando os pontos são uniformemente distribuídos. [Barroso et al. 1987][Carnahan et al. 1969] Referências Barroso, L. C., Barroso, M. M. A., Campos, F. F., de Carvalho, M. L. B., and Maia, M. L. (1987). Cálculo Numérico com aplicações. HARBRA Ltda, th edition. Carnahan, B., Wilkes, J. O., and Luther, H. A. (1969). Wiley, 1th edition. Applied Numerical Methods. Chapra, S. C. and Canale, R. P. (010). Numerical Methods for Engineers. McGraw-Hill, 6th edition.

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