José Álvaro Tadeu Ferreira. Cálculo Numérico Notas de aulas. Integração Numérica

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DE OURO PRETO Instituto de Ciências Exatas e Biológicas Departamento de Computação José Álvaro Tadeu Ferreira Cálculo Numérico Notas de aulas Integração Numérica Ouro Preto 9

2 Integração Numérica - Introdução No Cálculo Diferencial e Integral estuda-se o conceito de integral definida e como calculá-la por meio de processos analíticos. Os resultados obtidos correspondem a áreas ou volumes de figuras geométricas, dependendo do tipo de integral. O objetivo deste capítulo é a apresentação de métodos numéricos para o cálculo de integrais definidas próprias, ou seja, dada uma função y = f(x), avaliar b I(f ) f (x).dx (.) a Sabe-se, pelo Teorema Fundamental do Cálculo Diferencial e Integral, que: b I(f ) f (x).dx F(b) - F(a) (.) a onde F(x) é a primitiva de f(x), isto é, F (x) = f(x). Antes de tratar de métodos numéricos para o cálculo de integrais definidas é relevante atentar para as razões da importância dos mesmos. Sendo assim, a seguir, são apresentados alguns exemplos nos quais a utilização de métodos numéricos para o cálculo de integrais definidas, por algum motivo, se faz necessária. As aplicações mais óbvias das integrais definidas se encontram no cálculo de comprimentos, áreas, volumes, massa, centro de massa, distância percorrida, tempo decorrido, etc. Considere-se o problema de calcular o comprimento de uma curva f em um intervalo a e b. Se a função f for diferenciável, esse problema remete a uma integral. Seja, por exemplo, calcular o perímetro de uma elipse, que exige a avaliação da expressão Ocorre que a integral p.b. - k.sen (t).dt - k.sen (t). dt Notas de aulas de Cálculo Numérico Integração Numérica

3 é conecida como integral elíptica do primeiro tipo, e não admite uma primitiva que resulte da combinação finita de funções elementares. Em outras palavras, não á uma fórmula fecada para o perímetro da elipse. A Física está repleta de conceitos definidos por meio de integração. Por exemplo, os movimentos unidimensionais, isto é, movimentos num espaço cuja posição possa ser determinada por apenas uma coordenada. Pode ser o movimento de uma partícula numa reta, um carro numa estrada, um pêndulo simples, etc. Para avaliar o período de um pêndulo em função da amplitude do movimento é necessário resolver uma integral elíptica do segundo tipo, que não pode ser expressa como uma combinação finita de funções elementares. Portanto não á uma fórmula fecada para o período do pêndulo em função da amplitude do movimento. A integração numérica se presta, também, para calcular constantes matemáticas. Por exemplo, o número π, que é definido como sendo a área do círculo de raio unitário. Como para o círculo unitário se tem x + y =, então y - x, logo,. - x dx Neste caso, é até possível determinar uma primitiva para o integrando, mas o problema é que essa primitiva acabará sendo expressa em termos de π. Pode-se mostrar teoricamente que o lado direito é igual ao esquerdo, obtendo-se a equação π = π!!!! O valor numérico de π só poderá ser obtido, no entanto, se for feita a integração precisa da função no integrando. Outro exemplo vem da Teoria das Probabilidades. A distribuição de probabilidades mais comum na natureza é dada pela função (t - ) P, (t) exp-... Para determinar a probabilidade de que um evento ocorra dentro de um intervalo [a, b] é necessário calcular a integral Notas de aulas de Cálculo Numérico Integração Numérica

4 Acontece que x e b P, (t).dt a é uma função cuja primitiva não pode ser expressa como uma combinação finita de funções elementares. Em probabilidade, como é muito freqüente o uso dessa integral, adotam-se tabelas com precisão limitada, mas razoável, que servem para a maioria dos propósitos. Essas tabelas podem ser facilmente montadas com a utilização dos métodos de integração numérica que serão tratados neste texto. Outro exemplo são os casos em que á a necessidade de se trabalar com dados experimentais. Nesta situação, não á funções matemáticas que descrevem um fenômeno físico, mas apenas tabelas de dados que devem ser integrados para se analisar o problema. O tratamento é feito, essencialmente, de forma numérica. Os exemplos apresentados ilustram bem porque é necessário utilizar métodos numéricos no cálculo de integrais definidas. Por razões istóricas, as fórmulas de integração numérica também são denominadas quadratura numérica, pois foi com o problema da quadratura do círculo que Arquimedes fez os primeiros cálculos usando a noção de integral. Conforme ilustrado nos exemplos apresentados anteriormente, na resolução de uma integral definida várias situações podem ocorrer: (i) a determinação da primitiva F pode ser difícil; (ii) a função a integrar pode não admitir uma primitiva F que possa ser escrita como uma combinação finita de funções elementares; (iii) a função a ser integrada pode não ser conecida na sua forma analítica mas, apenas, em um conjunto de pontos (x i, y i ), i =,,... n. A cave para a solução do problema é, essencialmente, aproximar a função integranda, f, por outra função cujo integral seja fácil de calcular. Este objetivo é alcançado substituindo f pelo polinômio que a interpola em um conjunto de pontos (x i, y i ), i =,,..., n, pertencentes ao intervalo [a, b]. Sendo p este polinômio, é razoável esperar que I(p) b p a seja, sob certas condições, um valor aproximado de I(f). O erro cometido neste processo é x.dx e = I(f) I(p) = I(f p) (.) Notas de aulas de Cálculo Numérico Integração Numérica

5 O resultado (.) se justifica pela linearidade do operador de integração. Como pode ser observado, o erro depende da maior ou menor aproximação do polinômio p a f. Adiante serão apresentadas estimativas desta importante grandeza. Fórmulas de Newton-Cotes As fórmulas de Newton-Cotes podem ser: (a) do tipo fecado: tais fórmulas são aquelas em que todos os pontos estão no intervalo de integração [a, b], e x = a e x m = b são os extremos. (b) do tipo aberto: nestas fórmulas todos os pontos estão no intervalo, [a, b], de integração, porém a função integranda, y = f(x), não é avaliada em ambas as extremidades do intervalo, mas em pontos próximos. São utilizadas quando a função integranda apresenta descontinuidades nos extremos do intervalo de integração, ou seja, têm utilidade na análise de integrais impróprias. Neste texto serão estudadas as Fórmulas de Newton-Cotes do tipo fecado. Estas fórmulas permitem calcular, por aproximação, uma integral definida substituindo a função a ser integrada pelo polinômio com diferenças finitas ascendentes que a interpola em um conjunto de pontos (x i, y i ), i =,,..., n; onde a = x e b = x n. Sendo assim, é necessário que as abscissas dos pontos sejam eqüidistantes. Sabe-se que este polinômio é dado por: z(z ) z(z )(z ) p(x.z) y z. y y y!! z(z )...[z (n )] n y n!... (.) e que x - x z. Tem-se, então, que: x = x +.z dx =.dz. É necessário, então, corrigir os limites para a integração em z. x - x Para x = x z z x n - x n. Para x = x n z z n Notas de aulas de Cálculo Numérico Integração Numérica 5

6 A integral que se deseja calcular é b I f (x).dx onde a = x e b = x n a No entanto, a integral que será, efetivamente, calculada é: n I p(x.z)..dz Como é uma constante, tem-se n I. p(x.z).dz (.) A expressão. constitui-se em uma família de regras de integração ou de fórmulas de quadratura. De acordo com o valor atribuído a n, determina-se o grau do polinômio interpolador e se obtêm diferentes regras de integração. Esta colocação justifica que se introduza o conceito a seguir. Definição. Uma regra de integração diz-se de grau de exatidão n se integrar, exatamente, todos os polinômios de grau menor ou igual a n e existir pelo menos um polinômio de grau n + que não é integrado exatamente por esta regra. Teoricamente, existe um número infinito de regras de integração, uma vez que é possível atribuir a n qualquer valor inteiro positivo maior ou igual um. Normalmente, por razões que serão explicitadas mais adiante, são considerados os casos em que n é igual a um, dois e três.. Regra dos Trapézios Esta regra é obtida fazendo-se n igual a um, ou seja, por meio da integração do polinômio interpolador de grau um... Fórmula Simples É calculada, então, a integral a seguir. Notas de aulas de Cálculo Numérico Integração Numérica 6

7 I. [y zy ] dz Que, resolvida, resulta em z y I. zy y y (.) Sabe-se que y = y y (.) Substituindo. em., vem I y y (.5) Que é a Regra dos Trapézios na sua fórmula simples. Na figura. é apresentada a interpretação geométrica desta regra. Como se sabe, calcular uma integral definida corresponde a avaliar a área sob a curva da função integrada, no intervalo de integração. No caso, a área sob a curva de f, no intervalo [a = x, b = x ] foi estimada com sendo a área sob uma reta e que, conforme mostra a figura., é a área de um trapézio. Figura.: Regra dos Trapézios - fórmula simples O erro de truncamento é dado pela expressão (.6). Este erro é de truncamento, porque o grau do polinômio interpolador foi truncado em um em função do número de pontos utilizados. '' ET f (c) c [x, x] (.6) Notas de aulas de Cálculo Numérico Integração Numérica 7

8 .. Fórmula Composta Aproximações obtidas pelas regras de Newton-Cotes não têm, muitas vezes, a precisão desejada. O uso de fórmulas deduzidas aproximando a função integranda por polinômios interpoladores de grau superior, pode não produzir melores resultados (note-se que as fórmulas de Newton-Cotes para n = 9,,,...têm coeficientes positivos e negativos o que poderá causar cancelamento subtrativo, ou a função integranda pode não possuir a regularidade necessária que permita usufruir da plena precisão das fórmulas). Uma maneira de obter aproximações com menor erro consiste em subdividir o intervalo de integração em n partes, todas do mesmo tamano, e aplicar as fórmulas simples de forma repetida. Com efeito, como será possível verificar posteriormente, reparando nas expressões do erro das várias fórmulas, todas elas mostram que aquele depende de uma certa potência do comprimento (b - a) do intervalo de integração [a,b]. Então, se este intervalo é reduzido, o erro virá grosso modo reduzido na proporção dessa potência. Considerando o exposto, para melorar o resultado, o intervalo [a,b] de integração é dividido em n partes de tamano e aplica-se a fórmula simples da Regra dos Trapézios em cada uma delas. A figura (.) ilustra este procedimento. Figura.: Regra dos Trapézios Fórmula composta Tem-se, então, para a aproximação da integral: I n yn y y y y... y Resultando em: I y.y.y....y n yn (.7) Notas de aulas de Cálculo Numérico Integração Numérica

9 O erro resultante é a soma dos erros cometidos na aplicação da Regra dos Trapézios em cada uma das n partes na qual o intervalo de integração foi dividido, e é dado por: ET (x n x ) ''.f (c) x c x n (.) n Note-se que a expressão do erro associado à Regra dos Trapézios permite afirmar, como já era esperado, que esta tem grau de exatidão igual a um. Ocorre que o número c não é conecido, portanto, tal como é, o resultado (.) não pode ser utilizado. Sendo assim, o erro cometido é estimado por meio de (..a), ou seja, na forma de erro de truncamento máximo. (x n x ) '' ET max f (x) x x x n (..a) n Exemplo. Sendo f(x) = ln(x + ) -, estime que o erro de truncamento máximo seja,., I f(x).dx, utilizando a Regra dos Trapézios, de modo Solução Tem-se que f ''(x) - cujo módulo é máximo, no intervalo [;,], para x = e (x ) f () =,65. Fazendo as substituições em (..a), vem: ET (, ).,65, n,7 n = 5 n Portanto, o intervalo de integração deve ser dividido em 5 partes, sendo assim, =,. i x i y i c i,,6,,6,,996,7,55.96,6 5,,67 Tendo em vista que: I y.y.y.y.y y5 Notas de aulas de Cálculo Numérico Integração Numérica 9

10 Obtém-se que: Como 5 c i.yi 5, 9 i 5, I ci.yi I.5,9 I =,676 i Observação I, Utilizando o Cálculo Diferencial e Integral e quatro casas decimais, é obtido o seguinte resultado:, [(ln(x ) -].dx {(x ).[ln(x ) -]- x},67. Primeira Regra de Simpson Para obter esta regra é integrado o polinômio interpolador de grau dois são, portanto, necessários três pontos... Fórmula Simples Esta fórmula é obtida calculando-se a seguinte integral. Tem-se, então: z(z ) I. [y zy y ] dz z z z I z.y. y. y 6 Fazendo z igual a dois, vem I y y y (.9) Tem-se que: Notas de aulas de Cálculo Numérico Integração Numérica

11 y y y (.) y y y y y (y y ) y y y y (..a) Substituindo (.) e (..a) em (.9), tem-se: I f (x ) f (x) f (x ) (.) A interpretação geométrica desta regra é apresentada na figura (.) Figura.: Primeira Regra de Simpson Fórmula Simples O erro de truncamento cometido é dado por: 5 (IV) ES f (c) 9 c[x, x ] (.).. Fórmula Composta Tal como feito para a Regra dos Trapézios, o intervalo de integração é dividido em n partes de mesma amplitude e, então, em cada uma delas é aplicada a fórmula simples. Observe-se que, como para cada aplicação da fórmula simples são necessários três pontos, n deve ser um número par. A figura (.) ilustra o procedimento. Notas de aulas de Cálculo Numérico Integração Numérica

12 Figura.: Primeira Regra de Simpson Fórmula Composta Desta forma, vem, então, que: I n n yn y ).y y y.y y... y.y Resultando em: I.[y.y.y.y.y....y n.y n yn ] (.) O Erro de truncamento resultante da integração pela Primeira Regra de Simpson Fórmula Composta é dado por: 5 (x n x ) (IV) ES - f (c) c [x, x n ] (.) n Uma vez que ponto c não é conecido, a expressão (.) é aproximada pela expressão (.5). ), ou seja, na forma de erro de truncamento máximo. 5 (x n x ) (IV) ES max f (x) x [x, x n ] (.5) n Notas de aulas de Cálculo Numérico Integração Numérica

13 Uma vez que a Primeira Regra de Simpson foi obtida pela aproximação da função integranda por um polinômio de segundo grau, seria de esperar que tivesse grau de exatidão dois. No entanto, a expressão obtida para o erro mostra que esta regra tem grau de exatidão três, isto é, é exata sempre que a função a integrar é um polinômio de grau menor ou igual a três. Exemplo. O PROCON tem recebido reclamações com relação ao peso dos pacotes de açúcar de 5kg. Com a finalidade de verificar a validade das reclamações, foi coletada uma amostra de pacotes. Com isto, cegou-se à conclusão de que para determinar a probabilidade de um pacote de um açúcar pesar menos do que 5kg deve ser avaliada a expressão a seguir. F,5.., e x.dx Estime esta probabilidade e o erro de truncamento máximo cometido utilizando a Primeira Regra de Simpson. Divida o intervalo de integração em 6 partes e faça os cálculos com casas decimais. Solução Para calcular F é necessário, antes, obter uma estimativa para o valor da integral. I, e x.dx Sendo o intervalo de integração dividido em 6 partes, então =,. i x i y i c i,,,956,6,5,9,667,,6 5,5,7 6,,979 Tendo em vista que: I y.y.y.y.y.y5 y6 Obtém-se que: Como 6 c i.yi, 65 i Notas de aulas de Cálculo Numérico Integração Numérica

14 6, I ci.yi I.,65 I =,6 i Obtido o valor da integral, pode-se calcular F. F,5.,6 F =,96. O erro de truncamento máximo cometido no cálculo da integral é dado por (.5). Verificase que: f ' (x) - f ''(x) f '''(x) f e x - x.e - e - x x x - ( IV).(x.( - x -) ) (x) e.(x - 6.x ) (.6) Na figura. é apresentado o gráfico de f (IV) (x). Gráfico. Conforme pode ser observado no gráfico., f (IV) (x) atinge o seu máximo no intervalo [; (IV),], para x =. Verifica-se que f () Notas de aulas de Cálculo Numérico Integração Numérica

15 Sendo assim, vem que: 5 (, ) ES E, S.6. Segunda Regra de Simpson Nesta regra, a função a ser integrada será aproximada por um polinômio interpolador de grau. Portanto, são necessários quatro pontos para a interpolação... Fórmula Simples Agora é resolvida a seguinte integral: Tem-se que: z(z ) z(z )(z ) I. y z. y y y.dz!! (.7) y y y (.) y y y y (.9) y y y y y y.(y y) y y y y.y.y y (.) Integrando (.7) e efetuando as devidas substituições, cega-se ao seguinte resultado: I y y y y (.) O erro de truncamento resultante da integração pela Segunda Regra de Simpson é dado por: 5 (IV) ES - f (c) c [x, x ] (.)... Fórmula Composta O número de partes, n, no qual o intervalo de integração é dividido deve ser múltiplo de três, pois a regra utiliza um polinômio interpolador de grau três. Esta fórmula é dada pela seguinte expressão: Notas de aulas de Cálculo Numérico Integração Numérica 5

16 I 5 6 n n n y n y.y.y y y.y.y y... y.y.y Resultando em: I [y.y.y.y.y.y5.y6....yn.yn yn ] (.) O Erro de truncamento resultante da integração pela Segunda Regra de Simpson Fórmula Composta é dado por: ES 5 (x n x ) (IV) - f (c) c [x, x n ] (.) n Como o ponto c não é conecido, a expressão (.) pode ser aproximada pela expressão (.). 5 (x n x ) (IV) ES max f (x) x [x, x n ] (.) n Este resultado mostra que a Segunda Regra de Simpson tem grau de exatidão igual a três. Exemplo. Um tanque esférico de raio R = 5 m está ceio com água.. A água será drenada através de um orifício de raio r =, m situado no fundo do tanque. A variação do nível,, da água com o tempo, t, em segundos, é dada pela relação: R - dt r g R d Onde g = 9, m/s é a aceleração devida à gravidade. Utilize a Segunda Regra de Simpson, para estimar o tempo para que o nível da água cegue a m do fundo. Divida o intervalo de integração em nove partes e faça os cálculos com duas casas decimais. Solução Fazendo as substituições tem-se que Notas de aulas de Cálculo Numérico Integração Numérica 6

17 5 - dt, 9,6 5 d Como o raio do tanque é 5m, inicialmente o nível da água, em relação ao fundo, é m. Portanto, a integral a ser calculada é 5 - t, 9,6 5 d Como o intervalo deve ser dividido em 9 partes, então = -. i z i y i c i - 7,9 9-7,9 -, 7-56, 6-7, 5 5, 6 67,7 7 7,7 79,9 9, 9 c i.yi -.,56 i Tendo em vista que: t. y.y.y.y.y.y5.y6.y7.y y9, então 9. c i. y.(-) t i t. (-.,56) t = 5,s i Integração dupla Sendo z = f(x, y), uma função tabelada nos intervalos x x x n e y y y m, pode-se calcular a integral dupla I x n x y y m f (x, y) dydx como o produto de dois operadores integrais, um em x e outro em y. Ou seja: Notas de aulas de Cálculo Numérico Integração Numérica 7

18 Faça-se, então: Substituindo (.) em (.) tem-se que x m I f (x, y)dy (.) n dx x (x) y y y m G f (x, y)dy (.) x y n I G(x)dx (.) x Observe-se que (.) e (.) são duas integrais simples. Portanto, podem ser resolvidas utilizando-se as regras de integração estudadas. Resolver (.) corresponde a integrar em x, e o resultado é da forma: I = k x.[a.g(x ) + a.g(x ) + a.g(x ) a n.g(x n )] Este resultado é uma representação genérica das regras de integração estudadas, ou seja, uma constante que multiplica uma soma ponderada das ordenadas dos pontos dados. Colocando de forma mais compacta, tem-se: n I k x aig(xi ) (.) i Para determinar G(x i ), i =,,,..., n basta resolver (.), o que corresponde a integrar em y, e o resultado é: G(x i ) = k y [b f(x i, y ) + b f(x i, y ) + b f(x i, y ) + b m f(x i, y m )], i =,,..., n Que pode ser escrito da forma: m G(xi ) k y b j.f (xi, y j) (.5) j Finalmente, substituindo (.5) em (.), tem-se: Notas de aulas de Cálculo Numérico Integração Numérica

19 n m I k x.k y a i.b j.f (xi.y j) (.6) j i A expressão (.6) mostra que o valor da integral é igual ao produto das frações de, de cada regra de integração utilizada, que multiplica a soma dos produtos dos coeficientes de cada regra de integração pela imagem da função nos pontos (x, y) tabelados. Exemplo. Sendo f (x, y) sen(x.y),9,5 estime I = f(x, y) dy.dx com, e, x y x y,,. Considere, nos cálculos, quatro casas decimais. Solução:,9, a) n, (subdivisões em x ) a regra de Simpson,5, m, (subdivisões em y) a regra de Simpson b) O quadro a seguir apresenta uma forma de organizar os cálculos. j y j,,,,5 i x i a i b j,,95,96,975,9,,5,7,9,6,5,,5 6 6,9,77,56,99,,69,5,6,77,,9, =,7 Notas de aulas de Cálculo Numérico Integração Numérica 9

20 Cada célula do corpo do quadro é preencida da seguinte forma: f(x i, y j ) a i x b j Tem-se então =.f(, ;,) +.f(, ;,) +.f(, ;,) f(,9 ;,5) =,7 c) I x,..y. =..,.[,7] I, 6 Exemplo. Sendo f (x, y) estime I f (x, y) dy.dx com, e, 5 x y (x y). Consi- dere, nos cálculos, quatro casas decimais. Solução: n 5, (subdivisões em x ) Regra dos Trapézios m,5 (subdivisões em y) a regra de Simpson j y j,,5,5,75 i x i a i b j,65,55,9,,,,567,55,5,,7,,57,6,7,77,,6,7,5,5,9,9 Notas de aulas de Cálculo Numérico Integração Numérica

21 ,,,9,56,5,97 5,.,6,,,7 =,97 Tem-se então x,,5 I.. y. =..[,97] I =,9 Notas de aulas de Cálculo Numérico Integração Numérica

22 Comentários finais (i) Comparando as expressões dos erros, verifica-se que as fórmulas de Simpson têm ordem de convergência, enquanto que a Regra dos Trapézios é da ordem. Assim, as regras de Simpson possuem a mesma ordem de convergência e, portanto, ambas convergem para o resultado exato da integral com a mesma velocidade, e mais rapidamente do que a regra dos Trapézios, quando. (ii) Embora a Primeira Regra de Simpson tena sido obtida por meio da integração do polinômio interpolador de grau dois, ela é exata, também, para polinômios de grau três, visto que, na fórmula do erro, aparece a derivada quarta da função. Pode ser demonstrado que, se n é par, então as fórmulas de Newton-Cotes do tipo fecado têm grau de exatidão (n + ). (iii) Para obter o resultado de uma integral com uma determinada precisão, pode-se impor que o erro, em módulo, seja menor que,5 x - k, onde k é o número de casas decimais corretas que se deseja e, assim, determinar em quantas partes deverá se dividido o intervalo de integração. Outra alternativa é ir aumentando o número de pontos e comparando dois resultados consecutivos até que seja obtida a precisão desejada. Este segundo procedimento é o mais comumente utilizado. Notas de aulas de Cálculo Numérico Integração Numérica