José Álvaro Tadeu Ferreira. Cálculo Numérico. Notas de aulas

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DE OURO PRETO Instituto de Ciências Eatas e Biológicas Departamento de Computação José Álvaro Tadeu Ferreira Cálculo Numérico Notas de aulas Integração Numérica Ouro Preto (Última revisão em novembro de )

2 Sumário - Introdução... Fórmulas de Newton-Cotes Regra dos Trapézios Fórmula Simples Fórmula Composta.... Primeira Regra de Simpson..... Fórmula Simples..... Fórmula Composta.... Segunda Regra de Simpson Fórmula Simples Fórmula Composta Considerações... Aplicação das Fórmulas de Newton-Cotes na Integração Dupla... 9 Notas de aulas de Cálculo Numérico Integração Numérica

3 - Introdução No Cálculo Diferencial e Integral estuda-se o conceito de integral definida e como calculála por meio de processos analíticos. Os resultados obtidos correspondem a áreas ou volumes de figuras geométricas, dependendo do tipo de integral. O objetivo deste capítulo é a apresentação de métodos numéricos para o cálculo de integrais definidas próprias, ou seja, dada uma função y = f(), avaliar: b a I(f ) f ().d (.) Sabe-se, pelo Teorema Fundamental do Cálculo Diferencial e Integral, que: b I(f ) f ().d F(b) - F(a) (.) a onde F() é a primitiva de f(), isto é, F () = f(). Antes de tratar de métodos numéricos para o cálculo de integrais definidas é relevante atentar para as razões da importância dos mesmos. Sendo assim, a seguir, são apresentados alguns eemplos nos quais a utilização de métodos numéricos para o cálculo de integrais definidas, por algum motivo, se faz necessária. As aplicações mais óbvias das integrais definidas se encontram no cálculo de comprimentos, áreas, volumes, massa, centro de massa, distância percorrida, tempo decorrido, etc. Considere-se o problema de calcular o comprimento de uma curva f em um intervalo a e b. Se a função f for diferenciável, esse problema remete a uma integral. Seja, por eemplo, calcular o perímetro de uma elipse, que eige a avaliação da epressão Ocorre que a integral p.b. - k.sen (t).dt - k.sen (t). dt Notas de aulas de Cálculo Numérico Integração Numérica

4 é conecida como integral elíptica do primeiro tipo, e não admite uma primitiva que resulte da combinação finita de funções elementares. Em outras palavras, não á uma fórmula fecada para o perímetro da elipse. A Física está repleta de conceitos definidos por meio de integração. Por eemplo, os movimentos unidimensionais, isto é, movimentos num espaço cuja posição possa ser determinada por apenas uma coordenada. Pode ser o movimento de uma partícula numa reta, um carro numa estrada, um pêndulo simples, etc. A integração numérica se presta, também, para calcular constantes matemáticas. Por eemplo, o número π, que é definido como sendo a área do círculo de raio unitário. Como para o círculo unitário se tem + y =, então y -, logo,. - d Neste caso, é até possível determinar uma primitiva para o integrando, mas o problema é que essa primitiva acabará sendo epressa em termos de π. Pode-se mostrar teoricamente que o lado direito é igual ao esquerdo, obtendo-se a equação π = π!!!! O valor numérico de π só poderá ser obtido, no entanto, se for feita a integração precisa da função no integrando. Outro eemplo vem da Teoria das Probabilidades. A distribuição de probabilidades mais comum na natureza é dada pela função P (t - ) (t) ep -..., Para determinar a probabilidade de que um evento ocorra dentro de um intervalo [a, b] é necessário calcular a integral Acontece que e b P, a (t).dt é uma função cuja primitiva não pode ser epressa como uma combinação finita de funções elementares. Em probabilidade, como é muito freqüente o uso dessa integral, adotam-se tabelas com precisão limitada, mas razoável, que servem para a mai- Notas de aulas de Cálculo Numérico Integração Numérica

5 oria dos propósitos. Essas tabelas podem ser facilmente montadas com a utilização dos métodos de integração numérica que serão tratados neste teto. Outro eemplo são os casos em que á a necessidade de se trabalar com dados eperimentais. Nesta situação, não á funções matemáticas que descrevem um fenômeno físico, mas apenas tabelas de dados que devem ser integrados para se analisar o problema. O tratamento é feito, essencialmente, de forma numérica. Conforme ilustrado nos eemplos apresentados anteriormente, na resolução de uma integral definida várias situações podem ocorrer: (i) a determinação da primitiva F pode ser difícil; (ii) a função a integrar pode não admitir uma primitiva F que possa ser escrita como uma combinação finita de funções elementares; (iii) a função a ser integrada pode não ser conecida na sua forma analítica, mas, apenas, em um conjunto de pontos ( i, y i ), i =,,... n. A cave para a solução do problema é, essencialmente, aproimar a função integranda, f, por outra função cuja integral seja fácil de calcular. Substitui-se, então, f pelo polinômio que a interpola em um conjunto de pontos ( i, y i ), i =,,..., n, pertencentes ao intervalo [a, b]. Sendo p este polinômio, é razoável esperar que I(p) b a seja, sob certas condições, um valor aproimado de I(f). O erro cometido neste processo é e = I(f) I(p) = I(f p) (.) O resultado (.) se justifica pela linearidade do operador de integração. Como pode ser observado, o erro depende da maior ou menor aproimação do polinômio p a f. Adiante serão apresentadas estimativas desta importante grandeza. Por razões istóricas, as fórmulas de integração numérica também são denominadas quadratura numérica, pois foi com o problema da quadratura do círculo que Arquimedes fez os primeiros cálculos usando a noção de integral. p.d Notas de aulas de Cálculo Numérico Integração Numérica 5

6 Fórmulas de Newton-Cotes As fórmulas de Newton-Cotes podem ser: (a) do tipo fecado: são aquelas em que todos os pontos estão no intervalo de integração [a, b], e = a e m = b são os etremos. (b) do tipo aberto: nestas fórmulas todos os pontos estão no intervalo, [a, b], de integração, porém a função integranda, y = f(), não é avaliada em ambas as etremidades do intervalo, mas em pontos próimos. São utilizadas quando a função integranda apresenta descontinuidades nos etremos do intervalo de integração, ou seja, têm utilidade na análise de integrais impróprias. Neste teto serão estudadas as Fórmulas de Newton-Cotes do tipo fecado. Estas fórmulas permitem calcular, por aproimação, uma integral definida substituindo a função a ser integrada pelo polinômio com diferenças finitas ascendentes que a interpola em um conjunto de pontos ( i, y i ), i =,,..., n; onde a = e b = n. Sendo assim, par avaliar substitui-se f() por I n f ().d onde p( z(z ) z(z )(z ).z) y z. y y y!! z(z )...[z (n )] n y n! z (.) Tem-se, então, que: Com esta mudança de variável, tem-se que - Para = z z n - n. Para = n z z n = +.z d =.dz. Notas de aulas de Cálculo Numérico Integração Numérica 6

7 Portanto, a integral que será, efetivamente, calculada é: Como é uma constante, tem-se n I p( n.z)..dz I. p(.z).dz (.) A epressão. constitui-se em uma família de regras de integração ou de fórmulas de quadratura. De acordo com o valor atribuído a n, determina-se o grau do polinômio interpolador e se obtêm diferentes regras de integração.. Regra dos Trapézios Esta regra é obtida fazendo-se n igual a um, ou seja, por meio da integração do polinômio interpolador de grau um... Fórmula Simples É calculada, então, a integral a seguir. Que, resolvida, resulta em I. zy I. [y zy ] dz z y y y (.) Sabe-se que y = y y (.) Substituindo. em., vem I y y (.5) Notas de aulas de Cálculo Numérico Integração Numérica 7

8 Que é a Regra dos Trapézios na sua fórmula simples. Na figura. é apresentada a interpretação geométrica desta regra. Como se sabe, calcular uma integral definida corresponde a avaliar a área sob a curva da função integrada, no intervalo de integração. No caso, a área sob a curva de f, no intervalo [a =, b = ] foi estimada com sendo a área sob uma reta e que, conforme mostra a figura., é a área de um trapézio. Figura.: Regra dos Trapézios - fórmula simples O erro de truncamento é dado pela epressão (.6). Este erro é de truncamento, porque o grau do polinômio interpolador foi truncado em um em função do número de pontos utilizados. '' ET f ( ) [, ] (.6).. Fórmula Composta Os resultados obtidos por uma fórmula simples de Newton-Cotes, não têm, muitas vezes, a precisão desejada. Uma maneira de obter resultados mais precisos é subdividir o intervalo de integração em k partes do mesmo tamano e aplicar a fórmula simples de repetidamente. Posteriormente será verificado, observando as epressões dos erros de truncamento das várias fórmulas, que eles dependem de uma potência do comprimento (b - a) do intervalo de integração [a,b]. Então, se este intervalo é reduzido, o erro será reduzido na proporção desta potência. Considerando o eposto, para melorar o resultado, o intervalo [a,b] de integração é dividido em k partes de tamano e aplica-se a fórmula simples da Regra dos Trapézios em cada uma delas. A figura (.) ilustra este procedimento. Notas de aulas de Cálculo Numérico Integração Numérica

9 Figura.: Regra dos Trapézios Fórmula composta Tem-se, então, para a aproimação da integral: I y y y y... y k yk Resultando em: I y.y.y....yk yk (.7) O erro resultante é a soma dos erros cometidos na aplicação da Regra dos Trapézios em cada uma das k partes na qual o intervalo de integração foi dividido, e é dado por: ET (k ) ''.f ( ) k (.) k Ocorre que o número não é conecido, portanto, tal como é, o resultado (.) não pode ser utilizado. Sendo assim, o erro cometido é estimado por meio de (..a), ou seja, na forma de erro de truncamento máimo. E (k ) '' T ma f () k (..a) k Notas de aulas de Cálculo Numérico Integração Numérica 9

10 Eemplo. Sendo f() = ln( + ) -, estime I, f().d que o erro de truncamento máimo seja,., utilizando a Regra dos Trapézios, de modo Solução Tem-se que f ''() - cujo módulo é máimo, no intervalo [;,], para = e ( ) f () =,65. Fazendo as substituições em (..a), vem: E T (, ).,65, k,7 k 5 k Considerando o intervalo de integração dividido em 5 partes, tem-se =,. Tendo em vista que:,,6,,6 i i y i c i,,996 I y.y.y.y.y y5,7,55.96,6 5,,67 Obtém-se que: Como 5 i c i.yi 5, 9 5, I ci.yi I.5,9 I =,676 i Observação Utilizando o Cálculo Diferencial e Integral e quatro casas decimais, é obtido o seguinte resultado: I,, [(ln( ) -].d {( ).[ln( ) -] - },67 Notas de aulas de Cálculo Numérico Integração Numérica

11 . Primeira Regra de Simpson Para obter esta regra é integrado o polinômio interpolador de grau dois são, portanto, necessários três pontos... Fórmula Simples Esta fórmula é obtida calculando-se a seguinte integral. Tem-se, então: I. z(z ) [y zy y ] dz I z.y z z z. y. y 6 Fazendo z igual a dois, vem I y y y (.9) Tem-se que: y y y (.) y y y y y (y y ) y y y y (..a) Substituindo (.) e (..a) em (.9), tem-se: I y y y (.) A interpretação geométrica desta regra é apresentada na figura (.) Notas de aulas de Cálculo Numérico Integração Numérica

12 Figura.: Primeira Regra de Simpson Fórmula Simples O erro de truncamento cometido é dado por:.. Fórmula Composta 5 (IV) ES f ( ) [, ] (.) 9 Para obter esta fórmula divide-se o intervalo de integração em k partes de mesmo tamano e aplica-se a fórmula simples de forma repetida. Observe-se que, como para cada aplicação da fórmula simples são necessários três pontos, k deve ser um número par. A figura (.) ilustra o procedimento. Desta forma, vem, então, que: Figura.: Primeira Regra de Simpson Fórmula Composta I y ).y y y.y y... y.y k k yk Notas de aulas de Cálculo Numérico Integração Numérica

13 Resultando em: I.[y.y.y.y.y....yk.yk yk ] (.) O Erro de truncamento resultante da integração pela Primeira Regra de Simpson Fórmula Composta é dado por: E S 5 (k ) (IV) - f ( ) [, k ] (.) k Uma vez que ponto não é conecido, a epressão (.) é aproimada pela epressão (.5), ou seja, na forma de erro de truncamento máimo. E S 5 (k ) (IV) ma f () [, k ] (.5) k Eemplo. O PROCON tem recebido reclamações com relação ao peso dos pacotes de açúcar de 5kg. Com a finalidade de verificar a validade das reclamações, foi coletada uma amostra de pacotes. Com isto, cegou-se à conclusão de que para determinar a probabilidade de um pacote de açúcar pesar menos do que 5kg deve ser avaliada a epressão a seguir. F,5,. e..d Estime essa probabilidade e o erro de truncamento máimo cometido utilizando a Primeira Regra de Simpson. Divida o intervalo de integração em 6 partes e faça os cálculos com casas decimais. Notas de aulas de Cálculo Numérico Integração Numérica

14 Solução Para calcular F é necessário, antes, obter uma estimativa para o valor da integral. I, e.d Sendo o intervalo de integração dividido em 6 partes, então =,. Tendo em vista que:,,,956 i i y i c i,6,5 I y,9,667,,6 5,5,7 6,,979.y.y.y.y.y5 y6 Obtém-se que: Como 6 i c i.yi, 65 6, I ci.yi I.,65 I =,6 i Obtido o valor da integral, pode-se calcular F. F,5.,6 F =,96. O erro de truncamento máimo cometido no cálculo da integral é dado por (.5). Verificase que: f ' () - -.e f ''() f '''() f e - e -.( -.( - -) ) () e.( - 6. ) (.6) ( IV) Notas de aulas de Cálculo Numérico Integração Numérica

15 Na figura. é apresentado o gráfico de f (IV) (). Gráfico. Conforme pode ser observado no gráfico., f (IV) () atinge o seu máimo no intervalo [; (IV),], para =. Verifica-se que f () Sendo assim, vem que: E S 5 (, ) E, S.6. Segunda Regra de Simpson Nesta regra, a função a ser integrada será aproimada por um polinômio interpolador de grau. Portanto, são necessários quatro pontos para a interpolação... Fórmula Simples Agora é resolvida a seguinte integral: Tem-se que: z(z ) z(z )(z ) I. y z. y y y.dz!! (.7) y y y (.) y y y y (.9) Notas de aulas de Cálculo Numérico Integração Numérica 5

16 y y y y y y.(y y ) y y y y.y.y y (.) Integrando (.7) e efetuando as devidas substituições, cega-se ao seguinte resultado: I y y y y (.) O erro de truncamento resultante da integração pela Segunda Regra de Simpson é dado por: 5 (IV) ES - f ( ) [, ] (.).. Fórmula Composta O número de partes, k, no qual o intervalo de integração é dividido deve ser múltiplo de três, pois a regra utiliza um polinômio interpolador de grau três. Esta fórmula é dada pela seguinte epressão: I 5 6 k k k yk y.y.y y y.y.y y... y.y.y Resultando em: I [y.y.y.y.y.y5.y6....yk.yk yk ] (.) O Erro de truncamento resultante da integração pela Segunda Regra de Simpson Fórmula Composta é dado por: E S 5 (k ) (IV) - f ( ) [, k ] (.) k Como o ponto não é conecido, a epressão (.) pode ser aproimada pela epressão (.). E S 5 (k ) (IV) ma f () [, k ] (.) k Notas de aulas de Cálculo Numérico Integração Numérica 6

17 Eemplo. Um tanque esférico de raio R = 5 m está ceio com água.. A água será drenada através de um orifício de raio r =, m situado no fundo do tanque. A variação do nível,, da água com o tempo, t, em segundos, é dada pela relação: dt r R - g R d Onde g = 9, m/s é a aceleração devida à gravidade. Utilize a Segunda Regra de Simpson, para estimar o tempo para que o nível da água cegue a m do fundo. Divida o intervalo de integração em nove partes e faça os cálculos com duas casas decimais. Solução Fazendo as substituições tem-se que 5 - dt, 9,6 5 d Como o raio do tanque é 5m, inicialmente o nível da água, em relação ao fundo, é m. Portanto, a integral a ser calculada é t 5 -, 9,6 5 d Como o intervalo deve ser dividido em 9 partes, então = -. i z i y i c i - 7,9 9-7,9 -, 7-56, 6-7, 5 5, 6 67,7 7 7,7 79,9 9, 9 c i.yi -.,56 i Notas de aulas de Cálculo Numérico Integração Numérica 7

18 Tendo em vista que: t. y.y.y.y.y.y5.y6.y7.y y9, então 9 t. ci. y i.(-) t.(-.,56 ) t = 5,s i. Considerações (i) Ordem de convergência é a velocidade com a qual uma sucessão converge para o seu limite. (ii) Comparando-se as epressões dos erros, verifica-se que as regras de Simpson têm ordem de convergência, enquanto que a Regra dos Trapézios é da ordem. Assim, as regras de Simpson produzem resultados que convergem para o valor real da integral com a mesma velocidade, e mais rapidamente do que na Regra dos Trapézios, quando. (iii) Uma regra de integração tem grau de eatidão g se integrar, eatamente, todos os polinômios de grau menor ou igual a g e eistir pelo menos um polinômio de grau g + que não é integrado eatamente por esta regra. (iv) Portanto a Regra dos Trapézios tem grau de eatidão um e as Regras de Simpson três. Embora a Primeira Regra de Simpson tena sido obtida por meio da integração do polinômio interpolador de grau dois, ela é eata, também, para polinômios de grau três, visto que, na fórmula do erro, aparece a derivada quarta da função. Pode ser demonstrado que, quando o grau, n, do polinômio é par, então as fórmulas de Newton-Cotes do tipo fecado têm grau de eatidão (n + ). (v) Para obter o resultado de uma integral com uma determinada precisão, pode-se impor que o erro, em módulo, seja menor que,5 - k, onde k é o número de casas decimais corretas que se deseja e, assim, determinar em quantas partes deverá se dividido o intervalo de integração. Outra alternativa é aumentar, sucessivamente, o número de pontos e comparar dois resultados consecutivos até que seja obtida a precisão desejada. Este segundo procedimento é o mais comumente utilizado. Notas de aulas de Cálculo Numérico Integração Numérica

19 Aplicação das Fórmulas de Newton-Cotes na Integração Dupla Sendo z = f(, y), uma função tabelada nos intervalos [, m ] e [y, y p ], pode-se calcular a integral dupla I m y y p f (, y) dyd como o produto de dois operadores integrais, um em e outro em y: Seja Substituindo (.) em (.) tem-se que p I f (, y)dy (.) m d () y y y p G f (, y)dy (.) y m I G()d (.) Observe-se que (.) e (.) são duas integrais simples. Portanto, podem ser resolvidas utilizando-se as regras de integração estudadas. Resolver (.) corresponde a integrar em, e o resultado é da forma: I = c.[a.g( ) + a.g( ) + a.g( ) a m.g( m )] Este resultado é uma representação genérica das regras de integração estudadas, ou seja, uma constante que multiplica a soma ponderada das ordenadas dos pontos dados. Colocando de forma mais compacta, tem-se: De. tem-se que m I c aig(i ) (.) i G ( ) Aplicando uma regra de integração, obtém-se i y y p f ( i, y) dy Notas de aulas de Cálculo Numérico Integração Numérica 9

20 G( i ) = c y.[b f( i, y ) + b f( i, y ) + b f( i, y ) + b p f( i, y p )], i =,,..., m Resultado que pode ser escrito da forma: p G(i ) cy b j.f (i, y j) (.5) j Finalmente, substituindo (.5) em (.), tem-se: m p I c.c a.b.f (.y ) (.6) y i j i j i j Eemplo. sen(.y),9,5 Sendo f (, y) estime I = f(, y)dy.d com, e, y y,,. Considere, nos cálculos, quatro casas decimais. Solução:,9, a) m, (subdivisões em ) a regra de Simpson,5, p, (subdivisões em y) a regra de Simpson Notas de aulas de Cálculo Numérico Integração Numérica

21 b) O quadro a seguir apresenta uma forma de organizar os cálculos. j y j,,,,5 i i a i b j,,95,96,975,9,,5,7,9,6,5,,5 6 6,9,77,56,99,,69,5,6,77,,9, =,7 Cada célula do corpo do quadro é preencida da seguinte forma: f( i, y j ) a i b j Tem-se então =.f(, ;,) +.f(, ;,) +.f(, ;,) f(,9 ;,5) =,7 c) I,..y. =..,.[,7] I, 6 Eemplo. Sendo f (, y) estime I f (, y)dy.d com, e, 5 y ( y). Consi- dere, nos cálculos, quatro casas decimais. Solução: m 5, (subdivisões em ) Regra dos Trapézios p,5 (subdivisões em y) a regra de Simpson Notas de aulas de Cálculo Numérico Integração Numérica

22 j y j,,5,5,75 i i a i b j,65,55,9,,,,567,55,5,,7,,57,6,7,77,,6,7,5,5,9,9,,,9,56,5,97 5,.,6,,,7 =,97 Tem-se então,,5 I.. y. =..[,97] I =,9 Notas de aulas de Cálculo Numérico Integração Numérica