Método de Newton. 1.Introdução 2.Exemplos

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1 UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO CAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS CURSO DE ENGENHARIA CIVIL DISCIPLINA: CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Método de Newton Prof.: Rogério Dias Dalla Riva

2 Método de Newton 1.Introdução 2.Eemplos

3 Suponha que um vendedor de carro ponha um carro à venda por $ , ou em pagamentos de $ 375 por mês durante cinco anos. Você gostaria de saber qual a taa de juros mensal que o vendedor de fato está cobrando. Para resolver esse problema você necessitará da fórmula para o valor presente A de uma anuidade que consiste em n pagamentos iguais de tamanho R com uma taa de juros i por período de tempo: 3

4 A R = 1 1+ i ( i ) n Substituindo i por, teremos: = ( ) 60 4

5 Desenvolvendo a epressão anterior, obteremos: = 1 ( 1+ ) = = 1 1 ( 1+ ) ( ) 60 ( ) ( ) = 1+ 1 ( ) ( ) = 0 Equação 1 5

6 Como você resolveria essa questão? Para uma equação quadrática a 2 + b + c = 0 eiste uma fórmula bem conhecida para as raízes. Para as equações de terceiro e quarto grau também eistem fórmulas para as raízes, mas elas são etremamente complicadas. 6

7 Se f for um polinômio de grau 5 ou maior, não eiste nenhuma fórmula. Da mesma forma, não eiste uma fórmula que nos possibilite encontrar as raízes eatas de uma equação transcendental como cos =. Podemos encontrar uma solução aproimada para a Equação 1 desenhando o lado esquerdo da equação. Usando um recurso computacional para traçar o gráfico e, aplicando zoom para verificar o intervalo onde o gráfico tem ordenada igual a zero, obteremos a figura a seguir. 7

8 0,15 0,10 0,05 0,00 0,000 0,002 0,004 0,006 0,008 0,010 0,012-0,05 Gráfico da função f() = 48(1 + ) 60 (1 + )

9 0,15 0,10 0,05 0,00 0,0060 0,0065 0,0070 0,0075 0,0080-0,05 Zoom aplicado à função f() = 48(1 + ) 60 (1 + ) no intervalo de 0,006 a 0,008 9

10 Vemos que, além da solução = 0 (que não nos interessa), eiste uma solução entre 0,007 e 0,008. Dando um zoom verificamos que a raiz é aproimadamente 0,0076. Se precisarmos de maior precisão, poderemos dar repetidos zooms, mas isso se torna entediante. Uma alternativa mais rápida é usar um método numérico de encontrar raízes em uma calculadora ou em algum software matemático. Se fizermos isso, encontraremos que a raiz correta, até a nona casa decimal, é 0,

11 Como funcionam esses métodos numéricos de encontrar raízes? É usada uma variedade de métodos, mas a maior parte das calculadoras ou computadores usa o método de Newton, também denominado método de Newton-Raphson. Vamos eplicar agora como funciona esse método, parcialmente para mostrar o que acontece dentro de uma calculadora ou computador, e como uma aplicação da idéia de aproimação linear. 11

12 A geometria por trás do método de Newton está mostrada na figura a seguir, onde a raiz que tentamos encontrar é chamada r. Começamos com uma primeira aproimaçõa 1, que é obtida por conjectura, ou de um esboço do gráfico de f, ou de um gráfico gerado no computador da função f. 12

13 Método de Newton para a determinação da 1 a aproimação 13

14 Considere a reta tangente L à curva y = f() no ponto ( 1, f( 1 )). Olhando o intercepto de L, vamos denominá-lo 2. A idéia por trás do método de Newton é que a reta tangente fica próima da curva; assim, o intercepto, 2, está próimo do intercepto da curva (isto é, a raiz r que estamos procurando). Como a tangente é uma reta, podemos facilmente encontrar seu intercepto. 14

15 Para encontrar uma fórmula para 2 em termos de 1 usamos o fato de que a inclinação de L é f ( 1 ); assim, sua equação é y f ( ) = f ( )( ) Uma vez que o intercepto de L é 2, fazemos y = 0 e obtemos 0 f ( ) = f ( )( )

16 Se f ( 1 ) 0, podemos resolver essa equação para 2 : f ( 1) = f ( ) de r. Usamos 2 como a segunda aproimação 16

17 A seguir repetimos o procedimento com 1 substituído por 2, usando a reta tangente em ( 2, f( 2 )). Isso dá uma terceira aproimação: f ( 2) = f ( )

18 Se ficarmos repetindo esse processo, obteremos uma sequência de aproimações 1, 2, 3, 4,, conforme mostra a figura a seguir. Em geral, se n for a n-ésima aproimação e n e f ( n ) 0, então a aproimação seguinte é dada por = n+ 1 n f ( ) f Equação 2 n ( ) n 18

19 Método de Newton para a determinação das raízes 19

20 Se os números n ficam cada vez mais próimos de r à medida que n cresce, dizemos que a sequência converge para r e escrevemos lim n n = r 20

21 Embora a sequência de aproimações sucessivas convirja para a raiz desejada no caso das funções do tipo ilustrado na figura anterior, em certas circunstâncias a sequência pode não convergir. Por eemplo, considere a situação mostrada na figura a seguir. Você pode ver que 2 é uma aproimação pior que 1. 21

22 Falta de convergência no Método de Newton 22

23 Esse é provavelmente o caso quando f ( 1 ) está próimo de 0. Pode até acontecer de uma aproimação (tal como 3 na figura anterior) cair fora do domínio de f. Então o Método de Newton falha e uma melhor aproimação inicial 1 deve ser escolhida. 23

24 2. Eemplos Eemplo 1: Começando com 1 = 2, encontre a terceira aproimação 3 para a raiz da equação = 0. 24

25 2. Eemplos Solução: Vamos aplicar o método de Newton com f f 3 2 ( ) = 2 5 e ( ) = 3 2 O próprio Newton usou essa equação para ilustrar seu método, e escolheu 1 = 2 após alguns eperimentos, pois f(1) = -6, f(2) = -1 e f(3) = 16. A Equação 2 fica 3 n n+ 1 = n 2 n 2 5 n

26 2. Eemplos Com n = 1, temos = = 2 = 2, Então com n = 2, obtemos 2 5 (2,1) 2 (2,1) 5 = = 2,1 2, (2,1) Resulta que essa terceira aproimação 3 2,0946 é precisa até quatro casas decimais. Por quê? 26

27 2. Eemplos 6,00 4,00 2,00 0,00 1,00 1,20 1,40 1,60 1,80 2,00 2,20 2,40 2,60-2,00 (2, -1) -4,00-6,00 Gráfico da função f() = e sua reta tangente y = no ponto de coordenadas (2, -1) 27

28 2. Eemplos 1,00 y = ,50 0,00 1,80 1,90 2,00 2,10 2,20-0,50 2-1,00 (2, -1) -1,50-2,00 Zoom aplicado ao gráfico da função f() = e sua reta tangente y = no ponto de coordenadas (2, -1), cujo zero está em 2 = 2,1 (resultado da 1 a aproimação obtido pelo Método de Newton) 28

29 2. Eemplos Suponha que iremos obter uma dada precisão, digamos de oito casas decimais, empregando o método de Newton. Como saber quando devemos parar? O procedimento eperimental geralmente usado é que devemos parar quando duas aproimações sucessivas n e n+1 são iguais até a oitava casa decimal. 29

30 2. Eemplos Observe que o procedimento para ir de n para n + 1 é o mesmo para todos os valores de n. (Isso é chamado um processo iterativo.) Isso significa que o método de Newton é particularmente adequado ao uso de calculadoras programáveis ou de um computador. 30

31 2. Eemplos Eemplo 2: Use o método de Newton para encontrar correta até a oitava casa decimal

32 2. Eemplos Solução: Observamos primeiro que encontrar o valor da epressão 6 2 equivale a determinar a raiz positiva da equação 6 2 = 0 dessa forma, tomamos f() = 6 2. Então f () = 6 5, e a Fórmula 2 (método de Newton) fica 6 n n+ 1 = n 5 6n 2 32

33 2. Eemplos Se escolhermos 1 = 1 como a aproimação inicial, então obtemos , , , , , Uma vez que 5 e 6 são iguais até a oitava casa decimal, concluímos 6 2 1, até a oitava casa decimal. 33

34 2. Eemplos Eemplo 3: Encontre a raiz da equação cos =, correta até a seta casa decimal. 34

35 2. Eemplos Solução: Primeiro reescrevemos a equação na fórmula-padrão: cos = 0 Portanto, fazemos f() = cos. Então f () = -sen -1, e assim a Fórmula 2 fica cos cos = = + n n n n n+ 1 n n sen n 1 sen n

36 2. Eemplos A fim de determinar um valor adequado para 1, esboçamos o gráfico de y = cos e y = na figura a seguir. É evidente que elas se interceptam em um ponto cuja coordenada é um pouco menor que 1; dessa forma, vamos tomar 1 = 1 como uma primeira aproimação conveniente. Então, lembrando de colocar a calculadora no modo radiano, obtemos 36

37 2. Eemplos 2,00 1,50 y = 1,00 y = cos 0,50 0,00-6,00-4,00-2,00 0,00 2,00 4,00 6,00-0,50-1,00-1,50-2,00 Gráficos das funções y = cos e y = 37

38 2. Eemplos , , , , Como 4 e 5 são iguais até a seta casa decimal (na realidade, oitava), concluímos que a raiz da equação, correta até a seta casa decimal, é 0,

39 2. Eemplos Em vez de usarmos o esboço da figura anterior para obter a aproimação inicial para o método de Newton no Eemplo 3, poderíamos ter usado um gráfico mais apurado fornecido por calculadora ou computador. A figura a seguir sugere o uso de 1 = 0,75 como a aproimação inicial. 39

40 2. Eemplos 1,50 1,30 1,10 0,90 y = cos 0,70 0,50 0,30 y = 0,10-0,100,00 0,20 0,40 0,60 0,80 1,00-0,30-0,50 Zoom aplicado às funções y = cos e y = 40

41 2. Eemplos Então o método de Newton dá , , , e assim obtemos a mesma resposta anterior, mas com um número menor de passagens. 41

( ) ( ) 60 ( ) ( ) ( ) ( ) R i. Método de Newton. Método de Newton = Substituindo i por x, teremos: 1.Introdução 2.

( ) ( ) 60 ( ) ( ) ( ) ( ) R i. Método de Newton. Método de Newton = Substituindo i por x, teremos: 1.Introdução 2. UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO CAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS CURSO DE ENGENHARIA CIVIL DISCIPLINA: CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I R A = + i ( i ) n

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