Equações Não Lineares. 35T12 Sala 3G4 Bruno Motta de Carvalho DIMAp Sala 15 Ramal 227

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1 Equações Não Lineares 35T12 Sala 3G4 Bruno Motta de Carvalho DIMAp Sala 15 Ramal 227

2 Introdução Um tipo de problema bastante comum é o de achar raízes de equações da forma f() = 0, onde f() pode ser um polinômio ou uma função transcendental Raramente pode se obter as raízes de tais funções de modo eato Vários procedimentos fornecem métodos para se calcular uma seqüência de aproimações, que podem converger para uma solução tão precisa quanto necessária, resguardadas algumas condições 2

3 Teorema Antes de eaminarmos vários métodos para determinar raízes isoladas de f() = 0, vamos ver o teorema abaio e alguns eemplos Teorema: Se uma função contínua f() assume valores de sinais opostos nos pontos etremos do intervalo [a,b], isto é, f(a) * f(b) < 0, então eiste pelo menos um ponto [a,b], tal que f( ) = 0 3

4 Eemplos Vamos eaminar o comportamento das funções f()= ln() e f()= e() 4

5 Método da Bissecção Considere o intervalo [a,b] para o qual f(a) * f(b) < 0. No método da bissecção nós calculamos o valor da função f() no ponto médio 1 = (a + b)/2 Caso f() =0, 1 é a raiz procurada e o processo para. Se f(a) * f( 1 ) < 0, a raiz procurada está entre a e 1, e repete se o processo para o intervalo [a, 1 ]. Caso contrário, f( 1 ) * f(b) < 0, e a raiz procurada está entre 1 e b. Logo, repete se o processo para o intervalo [ 1,b] 5

6 Método da Bissecção Algoritmo: Para k=1, 2,..., faça Se f a f k { k = a b 2 < 0, b= k > 0, a= k 6

7 Eemplos Usando o método da bissecção, calcular a raiz positiva de f = 1 2 e 2 2 1=0 k a b k f k

8 Precisão e Processo de Parada Para usar um método numérico para encontrar uma raiz devemos ter uma idéia inicial da localização da mesma, o que geralmente é feito através da observação do gráfico da função ou do teorema mencionado anteriormente Para obtermos uma raiz com uma determinada precisão devemos, durante o processo iterativo, efetuar o seguinte teste k 1 k, k 1 onde é uma precisão pré fiada. 8 Se isto for verdade, temos = k 1

9 Precisão e Processo de Parada Cuidados Geralmente usamos =10 m, onde m é o número de casa decimais corretas que desejamos Alguns autores usam f k 1 como critério de parada, mas isso não garante a proimidade com a raiz procurada. Eemplo: f = 3 ln =0 Alguns autores usam o erro absoluto como critério de parada, isto é, k 1 k. Isso pode determinar uma condição de parada muito eigente 9

10 Precisão e Processo de Parada Cuidados Finalmente, quando calculamos =10 m o erro relativo de um processo iterativo, devemos usar a fórmula k 1 k ma { 1, } k 1 para que o processo iterativo não estacione em valores de muito próimos de 0 k 1 k Além disso, devemos estabelecer um número máimo de iterações para evitar loops infinitos 10

11 Eemplo ( ) f = 11

12 Checando o Intervalo f f Choose the bracket u = 0.00 = 0.11 ( 0.0) = ( ) =

13 Iteração 1 f f f m = 0, = u = = ( 0) = ( 0.11) = ( 0.055) = u = =

14 Iteração 2 m f f f a = 0.055, u = = = = 33.33% ( 0.055) ( 0.11) ( ) = = 0.055, = = u =

15 Iteração 3 m f f f = 0.055, = = 2 a = 20% u = ( 0.055) = ( ) = ( ) =

16 Convergência Iteration u m a % f( m )

17 Vantagens Sempre converge O intervalo é diminuído pela metade a cada iteração 17

18 Desvantagens Convergência é lenta Se uma das estimativas é próima da solução, a convergência é mais lenta ainda Em alguns casos, não conseguimos determinar estimativas inferior e superior para o intervalo f() 18

19 Desvantagens Tem problemas quando a função muda sinal mas não tem raiz f() f ( ) = 1 19

20 Método da Iteração Linear O método de iteração linear para o cálculo de uma raiz de uma equação se inicia epressando a mesma como um ponto fio, isto é f =0 é epressada como = Por eemplo epressada como f = 2 2=0 = 2 2 =1 2 pode ser = 2 = m, m 0 Caso a reta e a curva y 1 = e y 2 = não se interceptem, não eiste uma raiz real para a 20 equação

21 Método da Iteração Linear O método de iteração linear consiste então, em usar o seguinte processo iterativo para achar a solução desejada k 1 = k,k=0,1, Entretanto, é comum o caso em que seqüências deste tipo divergem, como no eemplo abaio = 2 2 e 0 =2.5 1 = 0 = 0 2 2= = = 1 = 1 2 2= = = 2 = 2 2 2= =

22 Teoremas O teorema que fala das condições nas quais o processo descrito anteriormente converge, estabelece que isso só é possível quando ' 1 No caso anterior temos ' =2, logo ' 1 para 1 2 Entretanto, se usarmos = 2 temos ' = 1 e ' 1 sse

23 Eemplo Deste modo, usando o processo iterativo k 1 = 2 k e temos = 2 2 e 0 =2.5 1 = 0 = 2 2.5= 4.5= = 1 = = = = 2 = = = = 3 = = = = 4 = = = = 3 = = = = 4 = = =

24 Ordem de Convergência A ordem de convergência de um método mede a velocidade com que as iterações produzidas por um método aproimam se da solução eata. Quanto maior for a ordem de convergência, mais rapidamente encontraremos a solução aproimada desejada A convergência do processo iterativo será tanto mais rápida quanto menor for o valor de A ordem de convergência p de um método pode ser aproimada por 24 p ln e k 1 /e k ln e k /e k 1 '

25 Eemplo A ordem de convergência do método iterativo linear é linear, ou seja, p=1 k k 1 = 2 k e k = k p

26 Eemplo Gráfico 26

27 Método de Newton Raphson O método de Newton Raphson pode ser deduzido usando a notação do método da iteração linear da seguinte forma: De acordo com o teorema visto anteriormente, temos a garantia da convergência quando Deste modo, se escolhermos A tal que ' =0, garantimos a convergência do método. Assim, temos 27 = A f, com f ' =0 e A 0 ' =1 A' f A f ', e fazendo = ' =1 A f ' pois f =0 A = 1 f ' k 1 = k f k ma ' 1 para I. Assim temos que = A f = f f ' e f ' k

28 Método de Newton Raphson O método de Newton Raphson converge sempre que 0 for suficientemente pequeno Dado o valor k, o valor k 1 pode ser obtido graficamente traçando se pelo ponto a tangente à curva y= f k. A interseção da tangente com o eio determina k 1 k, f k 28

29 Método de Newton Raphson Pela lei das tangentes, temos que f ' k =tg = f k k k 1 k k 1 = f k f ' k k 1 = k f k f ' k Por isso, o método de Newton Raphson também é chamado de método das tangentes 29

30 Eemplo ( ) f = 30

31 Iteração a = 0.02 = 0 f f = 75.96% ( 0 ) ( ) ' = =

32 Iteração a = = 1 f f = 42.86% ( 1 ) ' ( ) = =

33 Iteração a = = 2 f f = 6.592% ( 2 ) ' ( ) = =

34 Ordem de Convergência Teorema: Se f, f ', f ' ' são contínuas em I cujo centro é a solução de f =0 e se f ' 0, então a ordem de convergência do método de Newton é quadrática, ou seja, p=2 Isso significa que o número de dígitos significativos corretos duplica à medida que os valores da seqüência se aproimam de Cálculo da derivada a cada passo pode ser caro computacionalmente 34

35 Vantagens Converge rápido, se convergir!! Só precisa de uma estimativa inicial 35

36 Desvantagens 10 f() f ( ) = ( 1) 3 = 0-20 Ponto de Infleão 36

37 Desvantagens 1.00E E-06 f() 5.00E E E E E E E-05 f ( ) = = 0 37 Divisão por zero

38 Desvantagens f() f ( ) = Sin = Alternância de raízes (root jumping) 38

39 Desvantagens 6 f() f ( ) 2 = + 2 = Oscilações próimo de máimos ou mínimos locais 39

40 Método das Secantes Uma séria desvantagem do método de Newton é a necessidade de se obter calcular seu valor a cada passo Para eliminar esse problema, pode se substituir a derivada f ' k pelo quociente das diferenças f ' k f k f k 1 k k 1 f ' O método de Newton, quando modificado assim, é chamado de método das secantes e 40

41 Método das Secantes k 1 = k f k f k f k 1 = k k k 1 f k f k f k 1 k k 1 = k 1 f k k f k 1 f k f k 1 41

42 Eemplo ( ) f = 42

43 43 Iteração 1 ( ) ( ) ( ) ( ) 22.61% , = = = = = a f f f

44 Iteração a = 0.05, = 1 f f 1 = = 3.525% = ( ) ( ) ( ) f ( )

45 Iteração a = , = 2 f f = = % = ( 2 )( 2 1 ) ( ) f ( )

46 Ordem de Convergência A ordem de convergência deste método é p= 1 5 / Apesar da ordem de convergência ser menor do que a do método de Newton, este método não requer o cálculo e avaliação da derivada, só necessitando do cálculo de um valor por passo 46

47 Método Regula Falsi Variação do método das secantes, que mantém um intervalo [a,b] durante sua eecução, tal que Logo, utilizamos os seguintes valores no cálculo de k 1 f a f b 0 k e i, onde i =ma i=1...k 1 i k 0 47

48 Eemplos 48

49 Ordem de Convergência Igual ao do método das secantes p= 1 5 / Podem ocorrer problemas de overflow, além de convergência demorada devido a escolha do intervalo 49

50 Sistemas de Equações Não Lineares Agora iremos abordar a resolução de problemas do tipo { f 1 2,, m =0 1, f 2 1, 2,, m =0 f m 1, 2,, m =0 Veremos como resolver um sistema 22, por questões de simplicidade 50

51 Método Iterativo Linear para Sistemas Não Lineares Similar ao método original. Primeiro reescrevemos o sistema { f, y =0 g, y =0 como { =F, y y=g, y O sistema então pode ser resolvido usando o processo iterativo abaio { =F k 1 k, y k y k 1 =G k, y k O processo acima convergirá caso: 1 F e G e suas derivadas parciais de primeira ordem sejam contínuas numa vizinhança V da raiz, y 2 As seguintes desigualdades sejam satisfeitas F F y k 1 1 e G G y k A aproimação inicial 0, y 0 pertença a vizinhança V de, y 51

52 Método Iterativo Linear para Sistemas Não Lineares Eemplo: { f, y = y 0.6=0 g, y = y 2 y 0.5=0 { = y 0.6=F, y y= y 2 0.5=G, y Nós temos que F = y, F y =0.2,G = y 2 e g y =0.2y que podemos reescrever como Escolhendo 0, y 0 = 0.9,1.1 temos que F,G e suas derivadas são contínuas em 0, y 0. Além disso, temos que F F y = e G G y = = =0.96 y 1 = = = = y 2 = = = = y 3 = =0.9802

53 Método de Newton para Sistemas Não Lineares Seja 0, y 0 uma aproimação para a solução, y do sistema de equações não lineares anterior, e admitindo que f e g sejam suficientemente diferenciáveis, podemos epandir f, y e g, y usando uma série de Taylor em torno de 0, y 0 obtendo { f, y = f 0 f y 0, 0 0 f y y 0, y y 0 0 g, y =g 0 g 0, y 0 0 g y 0, y 0 y y 0 Admitindo se que 0, y 0 esteja suficientemente próimo de, chegamos a, y { f 0 f y y y 0 = f g 0 g y y y 0 = g onde f = f 0, y 0 e g=g 0, y 0 53

54 Método de Newton para Sistemas Não Lineares Agora nós temos um sistema linear. A solução deste sistema nos dará a nova estimativa da solução, isto é 1, y 1. Resolvendo o sistema, temos = f g 1 0 f g f y y g [ f y = fg y g y gf y J f, g ] 0, y 0 onde J f, g = f g y f y g 0 em 0, y 0, y 1 y 0 = f f g g f f y g g y = [ gf fg J f, g ] 0, y 0, A função e g J f,g é chamada de jacobiano das funções f 54

55 Método de Newton para Sistemas Não Lineares Deste modo, o método de Newton para sistemas não lineares é dado por fg gf y y J f, g ] k, y k [, com J f, g = f y k 1 =y gf fg g y f y g k J f, g ] k, y k { k 1= k [ 55

56 Ordem de Convergência Quando converge, a convergência é quadrática Converge quando: f,g e suas derivadas até a segunda ordem são contínuas e limitadas numa vizinhança V contendo, y ; o jacobiano J f, g não se anula em V ; e a aproimação inicial 0, y 0 for escolhida suficientemente próima da raiz, y Critério de parada deve ser calculado termo a termo do vetor solução ou então através de norma A cada etapa da iteração deve se calcular derivadas parciais e funções. Custo computacional pode ser proibitivo 56

57 Equações Polinomiais Podem ser resolvidas pelos métodos eplicados anteriormente, mas possuem algoritmos específicos mais eficientes Seja n P =a n n a n 1 n 1 a 1 a 0 = a i i,a n 0, então i=0 1 P possui pelo menos uma raiz 2 P possui eatamente n raízes, desde que uma raiz de multiplicidade k seja considerada k vezes 3 Se os valores numéricos de dois polinômios de grau n coincidem para mais do que n valores distintos de, os polinômios são idênticos 4 Se os coeficientes a k k=0,1,, n forem reais, e se a bi for uma raiz complea de P, então, a bi será também uma raiz de P 57

58 Determinação de Raízes Reais Para medir a eficiência dos algoritmos que calculam o valor do polinômio num ponto, isto é, P, usamos para denotar o custo computacional de uma multiplicação e uma adição, respectivamente Algoritmo original Algoritmo de Briot Ruffini Horner é usado para calcular com um menor número de operações P, P ', k = k 1 requerem n 1 a k n k requerem n e a soma dos termos requer n Total = 2n 1 n e 58

59 Algoritmo de Briot Ruffini Horner Considerando n=4, reescrevemos a fórmula para como P =a 4 4 a 3 3 a 2 2 a 1 a 0 P Assim, gastamos apenas Algoritmo = a 4 a 3 a 2 a 1 a 0 4 4, ou seja, n Dados a n,a n 1,, a 0, calcular b n, b n 1,,b 0 usando b n =a n, b n k =b n k 1 a n k, k=1,2,,n P =b 0, e é uma raiz de P se b 0 =0 Repetindo essa operação, nós temos Dados b n,b n 1,,b 0, calcular c n,c n 1,,c 0 usando c n =b n, c n k =c n k 1 b n k, k=1,2,,n 1 59 P ' =c 1,

60 Algoritmo de Briot Ruffini Horner A tabela abaio resume o algoritmo de Briot Ruffini Horner para o cálculo de P e P ' 60

61 Algoritmo de Briot Ruffini Horner No caso do método de Newton, o processo iterativo é dado por Se, podemos afirmar que é uma raiz de, e que k 1 = k P P' b 0 =0 P Q =b n n 1 b n 1 n 2 P b 1 =, ou seja, P = z Q z Podemos agora trabalhar com Q para calcular as outras raízes de P. Esse processo é chamado de deflação 61

62 Algoritmo de Briot Ruffini Horner Eemplo: Determinar todas as raízes de P = com precisão de =0.9 b c = = b c = e ar = e ar = Assim, podemos reescrever Q =

63 Algoritmo de Briot Ruffini Horner Aplicando o algoritmo mais uma vez, obtemos Assim, podemos reescrever Usando a fórmula para resolução de equações do segundo grau, obtemos as outras raízes = e = Q =

64 Determinação de Raízes Compleas Se P é um polinômio com coeficientes reais, as raízes compleas ocorrem em pares conjugados, e, correspondendo a cada par de raízes compleas, há um fator quadrático de P na forma 2, onde e são números reais Considere a divisão de polinômio P de grau n 2 por um fator quadrático. Podemos epressar P como P = 2 Q b 1 b 0, onde Q é um polinômio de grau n 2 que representamos assim P = 2 Q =b n n 2 b n 1 n 3 b 2, e b 1 b 0 é o resto 64

65 Determinação de Raízes Compleas A idéia é se obter valores para seja um divisor eato de P e tal que Para obtermos os valores de b k,k=0,1,,n para valores arbitrários de, representamos deste modo e P 2, P = 2 b n n 2 b n 1 n 3 b 2 b n n 2 b n 1 n 3 b 2 b n n 2 b n 1 n 3 b 2 b 1 b 0 =b n n b n 1 b n n 1 b n 2 b n 1 b n n b 1 b 2 b 3 b 0 b 1 b 2 65

66 Determinação de Raízes Compleas Assim, temos as fórmulas de recorrência abaio Como b 1 e b 0 são funções de e, encontrar o divisor de P equivale a resolver o sistema de equações não lineares Se 0, 0 forem aproimações das raízes,, podemos tentar resolver esse sistema usando o método de Newton, isto é, resolvendo o sistema linear, onde as derivadas parciais devem ser calculadas em 0, 0 66 { b, =0 1 b 0, =0 b n =a n, b n 1 =a n 1 b n, b n 2 =a n 2 b n 1 b n, b 1 =a 1 b 2 b 3, b 0 =a 0 b 1 b 2. { b1 b 1 0 = b 0 1 0, 0 b 0 b 0 0 = b 0 0 0, 0

67 Determinação de Raízes Compleas As derivadas parciais podem ser calculadas derivandose os b i,n=0,1,,n em relação a e. Assim, temos 67 b n =0, b n 1 =b n, b n 2 b n 3 =b n 1 b n 1 =b n 2 b n 2 b 1 =b 2 b 2 b 3, b 0 =b 1 b 1 b 2., b n 1, Fazendo c k 1 = b k c n =b n c n 1 =b n 1 c n, c n 2 =b n 2 c n 1 c n, c n 3 =b n 3 c n 2 c n 1, c 2 =b 2 c 3 c 4, c 1 =b 1 c 2 c 3., k=n 1, n 2,,1, 0, temos

68 Determinação de Raízes Compleas De modo similar podemos obter. Deste =c e b 1 2 =c 3 modo o sistema de equações não lineares a ser resolvido é { c c = b , 0 c 1 0 c 2 0 = b 0 0, 0 Esse algoritmo para determinar um fator quadrático e suas raízes é chamado de método de Newton Bairstow, e possui convergência quadrática Um problema com esse método é a seleção de uma aproimação 0, 0 inicial adequada Também pode ser usado para clacular raízes reais (parte imaginária igual a 0) b 0 68

69 Algoritmo Quociente Diferença Os métodos de Newton Raphson e Newton Bairstow são eficientes se conhecemos uma boa aproimação inicial da raiz ou do fator quadrático, respectivamente O algoritmo Quociente Diferença ou algoritmo QD, introduzido por Rutishauer, fornece simultaneamente aproimações para todos os zeros de um polinômio, sejam eles reais ou compleos 69

70 Algoritmo Quociente Diferença Seja P um polinômio de grau n 1 com a k 0 para k=0,1,, n A partir de P construimos linhas de termos q e e começando a tabela calculando a primeira linha de e a segunda linha de da seguinte maneira e' s q ' s q 0 0 = a n 1, q k 0 =0, k=2,,n, a n e k 0 = a n k 1, k=2,,n 1, e 1 n 0 =e 0 =0 a n k 70

71 Algoritmo Quociente Diferença Assim, as duas primeiras linhas da tabela são As novas linhas com os valores dos usando k q novo Os valores dos k e novo = q k 1 e k q k =e k e k 1 q k k=1,2,, n, e' s são calculados usando k=1,2,,n 1, e 0 =e n =0 são calculadas Usamos as fórmulas acima até que os e' s tendam a zero, isto é, os valores de q aproimam os valores das 71 raízes q ' s

72 Algoritmo Quociente Diferença Caso o polinômio tenha um par de raízes compleas conjugadas, um dos e' s não tenderá a 0 e flutuará em torno de um valor. Neste caso, devemos montar um fator quadrático da forma 2 r s, onde r é aproimado pela soma dos dois q ' s vizinhos ao e em questão, e s é aproimado pela multiplicação do valor de q acima e à esquerda pelo valor de q abaio e a direita. Fazendo 2 r s=0 determinamos as raízes compleas Os resultados do algoritmo QD são aproimações das raízes de um polinômio P. Caso desejmos um resultado com mais casas decimais corretas, pode se aplicar os métodos de Newton Raphson ou Newton Bairstow para refinar a solução até a precisão desejada 72

73 Algoritmo Quociente Diferença Eemplo: P =

74 Algoritmo Quociente Diferença Eemplo: P = O valor de q 1 está convergindo para 4 enquanto que o valor de q 1 está convergindo para 1, ou seja, e são aproimações de duas raízes de P Como e 2 não está convergindo para 0, representam o fator quadrático 2 r s, r= =0.990 e s= = q 2 e q 3 onde Assim, temos que as outras duas raízes podem ser aproimadas por ou seja, 0.495±1.6568i, P = i i 74

75 Algoritmo Quociente Diferença O algoritmo QD não funciona quando: Durante o processo ocorrer algum (divisão por 0) q=0 O polinômio dado tiver raízes nulas (solução: eliminar as raízes nulas e depois aplicar o algoritmo) Eistir algum coeficiente igual a 0 (solução: fazer uma mudança de variável) 75