Exercícios Complementares 3.4

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1 Eercícios Complementares A Falso ou Verdadeiro? Justi que. (a) se jc n j é convergente, então c n n é absolutamente convergente no intervalo [ ; ] ; (b) se uma série de potências é absolutamente convergente em um dos etremos de seu intervalo de convergência, então ela também converge absolutamente no outro etremo; (c) se uma série de potências converge em um etremo de seu intervalo de convergência e diverge no outro, então a convergência naquele etremo é condicional; (d) se R é o raio de convergência de c n n ; então p R é o raio de convergência de c n n ; (e) se lim p n jc n j = L > ; então a série c n ( (f) se c n ( das séries nc n ( a) n e a) n tem raio de convergência =L; a) n tem raio de convergência R > ; então R também é o raio de convergência c n n + ( a)n+ ; (g) uma série de potências c n n pode convergir apenas em dois valores de : (h) se R > é o raio de convergência da série c n ( convergência da série c n ( a) n+p. (i) se lim p n jc n j = L > ; então as séries c n ( convergência = p L; a) n, então R é também o raio de a) n e c n ( a) n+ têm raio de (j) Se c n n tem raio de convergência e d n n tem raio de convergência 3, então o raio de convergência de (c n + d n ) n é R = : 3.4B Em cada caso determine o intervalo de convergência da série de potências:

2 SÉRIES E EQUAÇÕES DIFERENCIAIS MMATOS 9 (a) n n ( 3) n (b) n+ ( 4) n (c) (d) ( ) n+ n (e) n ( 3 n (f) (g) n= (j) n (m) (p) ( ) n n n (ln n) (3 ) n p n (5 n + 5 n ) ( + ) 3n n 3.4C Comece com a fórmula (h) (k) (n) (q) = ) n ( + 5) n n n (n)! n 3 5 : : : (n ) n+ 4 6 : : : (n) 3 5 : : : (n ) n 4 6 : : : (n) (i) ( ) n+ n (n )! (l) p n n 3 5 : : : (n + ) ( ) n (n + ) 3 n (o) ( ) n n n (n + ) 3 (r) n arctg n ( ) n+ ( 3) 4n n =n : n, válida para jj < ; e represente cada função por uma série de potências de : Em cada caso determine raio e o intervalo de convergência. (a) (e) (i) ( ) 3 (b) + (f) ( + ) (c) + (j) 3 4 (d) ( ) (g) ln ( ) (h) (k) 3 (l) 4 3 ( 4 ) 6 : 3.4D. Represente a função f () = e p por uma série de potências de. 3.4E Use a série de e dada em (3.8) e calcule o valor da soma 3.4F Use uma epansão em série de potências de para ( ) n n : ( ) e mostre que n n = : 3.4G Encontre uma série de potências para representar a função e e, por derivação termo a termo, prove que n (n + )! = : 3.4H Encontre uma epansão em série de potências de para e e, derivando o resultado, prove que n= ( ) n (n + ) n+ = 8: 3.4I Derive duas vêzes, termo a termo, uma série de potências que representa a função

3 SÉRIES DE OTÊNCIAS CA. 3 ep e mostre que ( ) n+ (n + ) n = : 3.4J Dado um número inteiro positivo k, considere a k-ésima função de Bessel de a espécie J k (), de nida por: J k () = X ( ) n n+k : (n + k)! (a) mostre que o erro cometido ao aproimar J () ; ; pelo polinômio 6 34 ; é inferior a 5 ; (b) mostre que J = J e R 3 J () d = 3 J 3 () ; (c) esboce os grá cos das somas parciais S 3 () de J () e de J () ; no intervalo : 3.4K Mostre que ln = ln + 3.4L Usando a representação ln ( t) = ( ) n+ ( ) n n n ; < < 4: decimais e compare o valor com o resultado obtido em uma calculadora. t n+ ; jtj < ; calcule ln (:) com 3 casas n + 3.4M Integrando termo a termo de até a série de potências de ln ( t) dada no eercício precedente, mostre que representação é válida? n= n n (n ) = + ( ) ln ( ) : ara que valores de esta 3.4N Integrando de = até = uma série de potências que representa a função e, mostre que (n + ) = : 3.4O Desenvolva as funções f () = 3 e g () = 3 em séries de potências de, determine os respectivos intervalos de convergência e em seguida obtenha séries para representar f () e R g (t) dt: 3.4 Com auílio da série de potências de arctg, mostre que: 6 = p X ( ) n 3 3 n (n + )

4 SÉRIES E EQUAÇÕES DIFERENCIAIS MMATOS e aproime 4 usando os cinco primeiros termos da série de arctg, estimando o valor do erro. 3.4Q Se a probabilidade n de um fóton receptor absorver eatamente n fótons é dada por n = e n ; > ; mostre que n = : 3.4R Represente as integrais Z ln ( t) dt e t Z e t dt por séries de potências de, in- t dicando o intervalo de convergência de cada uma delas. Em cada caso o integrando em t = é de nido pelo limite quando t! : 3.4S Usando uma série de potências adequada, aproime cada integral dada abaio com 4 casas decimais: (a) Z =3 d + 6 (b) Z = arctg d (c) 3.4T Seja f () = = n n n= Z :5 e 3 d (d) Z sen d:, de nida para jj < : Integrando duas vezes, sucessivamente, esta série de até, identi que a função f como sendo 3.4U Identi que a função de nida pela série (n + ) n : Idem para 3.4V Falha na derivação termo a termo. Mostre que a série sen (n) converge absolutamente em qualquer e, ainda assim, a série de derivadas diverge quando = n: n ( ) : (n + ) n n+ : Eercícios Complementares A Represente as seguintes funções em séries de potências de : (a) f () = e (b) f () = sen (c) f () = 3 + (d) f () = ln + (e) f () = sen (f) f () = cos (g) f () = e 4 (h) f () = sen (i) f () = senh (j) f () = sen 4 (k) f () = cosh (l) f () = cos 3 3.6B Em estatística a função E () = p Z e t dt recebe o nome de Função Erro. Encontre

5 SÉRIES DE OTÊNCIAS CA. 3 a Série de Maclaurin da função E () : indicado: 3.6C Determine as constantes a ; a ; a ; a 3 e a 4, de modo que: = a 4 ( ) 4 + a 3 ( ) 3 + a ( ) + a ( ) + a : 3.6D ara cada função f dada abaio, encontre sua epansão de Taylor em torno do ponto (a) f () = p ; a = 9 (b) f () = tg ; a = (c) f () = cos ; a = =3 (d) f () = e ; a = 4 (e) f () = 3p ; a = (f) f () = sen ; a = =6 (g) f () = ; a = (h) f () = ; a = (i) f () = 3 + ; a = 3 : 3.6E Qual a Série de Maclaurin do polinômio () = a + a + a + + a n n? 3.6F Encontre uma série de potências de para representar a função f () = cos cos usando o resultado, conclua que lim = :! e, 3.6G Determine uma série de potências de + para a função f () = e e uma série de potências de para g () = ln : 3.6H Uma função f () tem as seguintes propriedades: f () > ; f () = f () ; 8 R; e f () = : Encontre uma série de potências que represente a função f () : Idem para uma função g () com as propriedades: g () = ; g () = e g () = g () ; 8 R: 3.6I reencha a seguinte tabela com os valores das derivadas indicadas, considerando as seguintes funções f () = sen ; g () = cos ; h () = ln + e p () = R e t dt : f (5) () f (8) () g (6) () h () () p (7) () 3.6J Encontre o valor aproimado de e :4, com erro menor do que 5 4 : 3.6K Considere a função f : R! R de nida por: 8 < ep = ; se 6= f () = : ; se = :

6 SÉRIES E EQUAÇÕES DIFERENCIAIS MMATOS 3 Use indução e mostre que f (n) () = ; 8n = ; ; ; 3; : : : : A função f não pode ser representada por uma Série de Maclaurin numa vizinhança de =? É a função f analítica em =? 3.6L Suponha que uma função par tenha representação em série de potências c n n. Mostre que os coe cientes c n = ; 8n = ; ; 3; : : : : E se a função fosse ímpar? Eercícios Complementares A Usando a série binomial para f () = p, mostre que: arcsen = + X 3 5 : : : (n ) (n + ) n n+ ; jj < : 3.8B Usando a série binomial para 3p +, calcule o valor de 3p 5 com 3 casas decimais e compare o valor com o resultado obtido em uma calculadora. 3.8C Calcule Z p 3 d com 4 casas decimais. 3.8D ara que valores de podemos substituir sen por, sem que o erro supere 5 4? 3.8E Substituindo cos por =; jj < :, qual a estimativa do erro? 3.8F Se jj < :, qual o erro cometido ao substituir p + por + =?

7 4 SÉRIES DE OTÊNCIAS CA. 3 Respostas e Sugestões Eercícios A (a) V (b) V (c) V (d) V (e) V (f) V (g) F 3.4B (a) f3g (b) ( ; ) (c) ( ; ) (d) ( ; ) (e) ( ; 4) (f) ( ; ) (g) ( ; ] (h) [ 6; 4] (i) ( ; ) (j) fg (k) ( ; ) (l) ( ; )(m) (; 4] (n) ( ; 4] (o) ( ; ) (p) j + j = 3p 5 (q) ; (r) (; 4) 3.4C (a) (n + ) (n + ) n ; jj < (b) ( ) n+ n n ; jj < (c) 4n ; jj < (d) 4 n n ; jj < =4 (e) ( ) n n n+ ; jj < (f) (n + ) n ; jj < (g) n+ n + ; jj < (h) n 4n ; jj < (i) n+ ; jj < (k) = =: 3 n n+ n+ ; jj < =3 (l) 5 3.4D 3.4G e = k= = : :8 (j) 3 n n+ n+ ; jj < ( ) n 3 n+ + n+ n= ; : 3.4E p 3.4F e k k! ( ) = d d k= n ; jj < ) d e = (k ) k d k! = n n = ; jj < : Faça n n. Agora faça (n + )! 3.4J (a) R = (b) J ' S 3 (), com erro menor do que a 4 = 6: L ln (:) ' 3.4O f () = 3 n n ; jj < =3; g () = f () n3 n n ; jj < =3; R g (t) dt = n n ; jj < 3= 3n+ n t n+ ; jtj < 3= (n + ) 3n+ 3.4 Observe que 6 = arctg =p 3 e 4 = arctg. Na série arctg = ( ) n n+ ; jj n +

8 SÉRIES E EQUAÇÕES DIFERENCIAIS MMATOS 5, faça = = p 3 e = para obter, respectivamente: 6 = p X ( ) n 3 (n + ) 3 n e 4 = X ( ) n n + ' :835; E < a 6 ' :99: 3.4R ln ( t) = t n+ ln ( t) ) = n + t t n n + ) Z ln ( t) dt = t n+ (n + ), representação válida para jj < : e t t = t n ) Z e t dt = n, representação válida em qualquer real. t n 3.4S (a) :399 (b) :43 (c) :4849 (d) : U f () = 4 ; jj < e g () = ; jj < : ( ) ( ) Eercícios A (a) e = ( ) n n ; R (b) sen = ( ) n n+ ; R (n + )! (c) 3 + = 3 (ln 3) n n ; R (d) ln + = ( ) n n+ ; jj < n + (e) sen = (g) e 4 = e 4 (i) senh = (k) cosh = ( ) n n+ ; 6= (f) cos = + (n + )! ( ) n n ; R (h) sen = n+ (n + )! ; R: (j) sen (4) = n (n)! ; R (l) cos (3) = ( ) n () n ; R (n)! ( ) n () n ; R (n)! ( ) n 4 n+ n+ ; R (n + )! ( ) n 3 n n ; R (n)! 3.6B Integrando a série obtida em 3.4A(a) de até, obtemos E () = p ( ) n n+ (n + ) : 3.6C a = 6; a = ; a = ; a 3 = 5 e a 4 = 3: 3.6D

9 6 SÉRIES DE OTÊNCIAS CA. 3 (a) p = ( 9) + ( ) n+ :3:5: : : : : (n 3) n 3 n ( 9) n (b) tg = (c) cos = (d) e = e 4 :e 4 = e 4 p p 3 ( =3) 4 ( =3) + 3 ( =3)3 ( 4) n (e) 3p = + ( ) =3 ( ) =3 + 5 ( ) 3 =3 4 (f) sen = + p 3 ( p 6 )! ( 3 6 ) 3! ( (g) = ( ) n (n + ) ( ) n ; < < (h) 3 = 3 (i) + = ( ) n ( ) n n+ ( ) n n ( 3) n 7 n+ ; < < 3 : 3.6E () = a k k ; sendo a k = para k n + : 3.6F cos k= segue que lim( cos ) = :! 6 )3 + = ( ( ) n n ) = ( ) n n (n)! (n)! 3.6G e = e (+) e = e ln = R 3.6H f () = (t ) + dt = n, g () = = + 3 4! n ( + ) n ; R. ( ) n ( ) n+, < < : n + ( ) n n+ (n + )! 5 6! + 7 8! e daí 3.6I Todas as derivadas devem ser obtidas a partir das respectivas séries que representam as funções. Da epansão de Maclaurin, sabemos que os coe cientes c n das séries são dados por f (n) () = c n e com cuidado você deve encontrar: f (5) () = ; f (8) () = 8; g (6) () = 6! 8! ; h() () =! ; p(7) () = 6! 8! : 3.6J Aproime a série de e determinada no Eercício 3.4A(a) pela soma parcial S 3 () e, em seguida, faça = : para obter e :4 ' :968, com erro menor do que :6 5 :

10 SÉRIES E EQUAÇÕES DIFERENCIAIS MMATOS 7 Eercícios B 3p 5 = 3 3p 5=7 = 3 3p =7 e usando a série binomial com = =3 e = =7, encontramos a aproimação 3p 5 ' :96: 3.8C Considere os três primeiros termos da epansão de 3 =, integre de = até = e obtenha Z p 3 d ' :857: 3.8D jj < 5p :6 :57 3.8E E < : F E < :3 5 :