Cálculo Numérico. Resumo e Exercícios P2

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1 Cálculo Numérico Resumo e Exercícios P2

2 Fórmulas e Resumo Teórico P2 Interpolação Em um conjunto de n pontos (x #, y # ), consiste em encontrar uma função f tal que f x # = y # para todo i = 1,2,, n. Na prática, f é uma função que liga os pontos. Interpolação através de spline linear Organizando-se os pontos de maneira que os x # estejam em ordem crescente, a spline linear é uma função interpoladora em que x # e x #67 são conectados por um segmento de reta. Um segmento de reta para cada par de pontos consecutivos Para pontos com x x 7, prolonga-se o segmento que liga x 7 e x : Para pontos com x > x, prolonga-se o segmento que liga x =7 e x Interpolação através de polinômio interpolador Com n pontos, existe apenas um polinômio interpolador de grau menor ou igual a n-1 Por 1 ponto, só existe uma função constante Por 2 pontos, só existe uma reta (ou função constante) Forma de Newton (diferenças divididas) x y Δ 1 Δ 2 Δ 3 x 1 y 7 Δ 7,: = y : y 7 x : x 7 x 2 y : Δ 7,F = Δ :,F Δ 7,: x F x 7 Δ :,F = y F y : x F x : Δ 7,G = Δ :,G Δ 7,F x G x 7 x 3 y F Δ :,G = Δ F,G Δ :,F x G x : Δ F,G = y G y F x G x F x 4 y G p #J x = y 7 + Δ 7,: x x 7 + Δ 7,F x x 7 x x : + Δ 7,G x x 7 x x : x x F 1

3 Para mais pontos, o procedimento é o mesmo (montar os Δ utilizando a coluna anterior e os x correspondentes) Sempre é possível conferir o resultado verificando se p x # = y # Erro no Polinômio Interpolador Usado quando sabe a f x que gerou o conjunto de n+1 pontos (x #, y # ) f x p #J x MNO P QRS O 67! #UV x x #, para x em [a,b] Integração Supondo a integral X N Método dos trapézios: x # = a + i X=N X f x dx N f x dx = x V + ih Erro abc Pdd O X=N e Método de n-simpson P N : + f x 7 + f x : + + P X : = MNO Pdd O X=N g f 7: f 7: Definição de h pode variar, tomar cuidado Motivo: n-simpson usa 2n espaços h = X=N ou h = X=N : Usaremos h = X=N h, para x em [a,b] x # = x V + i g : X f x dx f a + 4f x N 7 + 2f x : + 4f x F + 2f x G + + f b g k Erro abc P l O X=N m, para x em [a,b] = abc P l O X=N g l :nnv l :nnv 2

4 Resolução de Equações Diferenciais Ordinárias oo J = f(t, x t ) oj x t V = x V Método de Euler x #67 x # + hx r t # = x # + hf t #, x # Método de Runge-Kutta de segunda ordem x #67 x # + g : f t #, x # + f t # + h, x # + hf t #, x # Caso tenha uma equação de maior ordem Inserir variáveis auxiliares oo J = y t o f O J = f(t, x t, x r oj t ) oj f ou J x t V = x = f(t, x t, y t ) V oj x r t V = x V x t V = x V y t V = x V Fazer a iteração ao mesmo tempo para x t e y(t) Zeros de Funções Para uma função f x, encontrar x tal que f x = 0 Método das Aproximações Sucessivas Utiliza princípio do ponto fixo Em uma função φ x, se x é ponto fixo, φ x = x Usa φ(x) tal que, se f x = 0 φ x = x Partir de f x = 0 e colocar x em evidência de alguma maneira x : 3x + 1 = 0 x : = 3x 1 x = 3x 1 = φ x = 3x 1 x : 3x + 1 = 0 x x 3 = 1 x = =7 =7 = φ x = O=F O=F Iterações: x 67 = φ x Convergência para uma raíz no intervalo [a,b] 1) Existência de raíz: f a f b 0 2) Ф(x) e Ф (x) continuas em [a,b] 3) k = max φ r x 1 no intervalo [a,b] 4) x V a, b Se satisfaz as 4 condições, o método converge 3

5 Erro na iteração n x x k (b a) Método de Newton x x 7= x x =7 Caso particular do método das aproximações sucessivas φ x = x P O P d O Convergência x 67 = x P O Q P d O Q Mesmas regras, mas pode simplificar por saber φ(x) 1) f a f b 0 2) f r x e f (x) continuas em [a,b] 3) f r x 0 4) f rr x 0 Erro na iteração n Convergência monótona decrescente Se φ x ε > x ε, então x ε é uma aproximação de x com erro menor ou igual a ε Convergência monótona crescente Se φ x + ε x + ε, então x + ε é uma aproximação de x com erro menor ou igual a ε Convergência alternada Se x x =7 ou igual a ε ε, x é uma aproximação de x com erro menor 4

6 Exercícios 1. Interpolação (P2 de 2016 Questão 4 Adaptada) a. Interpole a função x t = e :J + e =:J por um polinômio de grau menor ou igual a 3 nos pontos t # = i h, i = 0,,3, h = 0.2. b. Use o polinômio do item (a) para estimar o valor de x(0.5) e estime o erro cometido. Compare sua estimativa com o erro efetivamente cometido. c. Estime o erro que se obteria usando os polinômios de grau menor ou igual a 2 possíveis com os pontos do item a) e estime o valor de x(0.5) com o melhor deles. 2. Integração (P3 de 2014 Questão 3 Adaptada) ˆ/: a. Calcule o valor de cos x dx V espaçamentos π/2, π/4, π/8. pelo método dos trapézios com b. Estime o valor do erro obtido com o espaçamento h = π/8 e compare com o erro efetivamente obtido. Qual deveria ser o valor de h de forma a garantir erro menor que ? c. Calcule o h necessário para garantir erro menor que utilizando o método de n-simpson h = X=N 3. Resolução de Equações Diferenciais Ordinárias (P2 de 2016 Questão 2 Adaptada). a. Considere a equação diferencial x (t) 4x(t) = 0, com condições iniciais x(0) = 2 e x (0) = 0, cuja solução exata é x(t) = e :J + e =:J. Escreva a equação como um sistema de EDO s de primeira ordem nas variáveis 5

7 x(t) e y(t) = x (t) e utilize o método de Euler com passo h = 0.25 para aproximar a solução em t = 0.5. b. Faça o mesmo com o método de Euler Modificado com passo h = 0.5. Compare os resultados obtidos com o valor da solução exata. Método de Euler modificado para x r t = f t, x t : x #67 = x # + h 2 f t #, x # + f t # + h, x # + hf t #, x # 4. Zeros de Funções (P1 de 2010 Questão 4) Um tanque esférico de raio 1m apoiado em uma superfície horizontal plana é usado para armazenar um produto líquido. Determine, com um erro de 1cm, qual é a altura do líquido em relação à superfície quando ele ocupa 1/4 do volume do tanque. Explique suas contas. 6

8 Gabarito 1. a. p #J t = t 0.4 t 0.2 t t 0.2 t t + 2 b. p #J 0.5 = f 0.5 p #J c. Pontos Erro estim 0,0.2, ,0.2, ,0.4, ,0.4, p #J 0.5 = a. h = π/ h = π/ h = π/ b. Erro J#M h c. h a. x 0.5 = 2.5 b. x 0.5 = 3 4. Resposta exata: h = m = 0.65 ± 0.01m 7