CÁLCULO NUMÉRICO. Profa. Dra. Yara de Souza Tadano

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1 CÁLCULO NUMÉRICO Profa. Dra. Yara de Souza Tadano

2 Aula 6 Resolução Numérica de Equações Diferenciais Ordinárias

3 Objetivo: Resolver Equações Diferenciais Ordinárias utilizando métodos numéricos Cálculo Numérico 3/45

4 Pêndulo Oscilante O movimento de um pêndulo oscilante, sob certas hipóteses simplificadoras é descrito pela equação diferencial de segunda ordem: d 2 θ dt + g 2 L senθ = 0 onde: L é o comprimento do pêndulo; g é a constante gravitacional (g 9,8 m/s 2 ); θ é o ângulo que o pêndulo faz com a vertical. Cálculo Numérico 4/45

5 Pêndulo Oscilante d 2 θ dt 2 + g L senθ = 0 Problema de Valor Inicial (PVI): θ ( t 0 ) =θ 0 θ '( t 0 ) =θ 0 ' Cálculo Numérico 5/45

6 Pêndulo Oscilante Para valores pequenos de θ, a aproximação θ = senθ pode ser utilizada para simplificar o problema, para um problema linear. Com condições iniciais: d 2 θ dt 2 + g L θ = 0 θ ( t ) 0 =θ 0, θ '( t ) 0 =θ ' 0 Cálculo Numérico 6/45

7 Pêndulo Oscilante Para valores maiores de θ, a solução se torna mais complexa e fogem do contexto de um curso básico de EDO. Então, é aconselhável a aplicação de um método numérico. Observe que especificar as condições iniciais não é a única maneira de individualizar as soluções, então temos: Problema de Valor Inicial: O valor da função e suas derivadas são especificados no mesmo ponto; Problema de Valores de Contorno: O valor da função e suas derivadas são dados em pontos distintos. Cálculo Numérico 7/45

8 Métodos de Passo Simples Cálculo Numérico 8/45

9 São resolvidas equações diferenciais ordinárias do tipo: dy dx = f x, y ( ) Formal geral do método de passo simples: y i+1 = y i +φh Cálculo Numérico 9/45

10 A estimativa da inclinação ϕ é usada para extrapolar de um valor antigo y i para um valor novo y i+1 em uma distância h. Cálculo Numérico 10/45

11 Método de Euler Cálculo Numérico 11/45

12 Método de Euler A abordagem mais simples de estimativa da inclinação é usar a equação diferencial para obter uma estimativa na forma da primeira derivada em x i. y i+1 = y i +φh φ = f ( x i, y ) i Cálculo Numérico 12/45

13 Exemplo 1 Use o método de Euler para integrar numericamente a equação: dy dx = 2x3 +12x 2 20x +8, 5 de x = 0 a x = 4 com um tamanho de passo de 0,5. A condição inicial em x = 0 é y = 1. Lembre-se de que a solução exata é dada por: y = 0, 5x 4 + 4x 3 10x 2 +8, 5x +1 Cálculo Numérico 13/45

14 Resultados do Exemplo 1 Cálculo Numérico 14/45

15 Comparação da solução verdadeira com a solução numérica usando o método de Euler para o exemplo. Observe Apesar dos cálculos capturarem a tendência geral dos dados, o erro é considerável. Cálculo Numérico 15/45

16 Análise de Erro O erro local se refere ao erro provocado por um único passo e é calculado com a expansão em série de Taylor, que será apresentada a seguir. O erro global é a discrepância global por causa dos passos passados, bem como do passo atual. Cálculo Numérico 16/45

17 Série de Taylor Seja f uma função tal que f e suas n primeiras derivadas são contínuas no intervalo fechado [a, b]. Além disso, f (n+1) (x) existe para todo x no intervalo aberto ]a, b[. Então, existe um número ξ no intervalo aberto ]a, b[ tal que: f ( b) = f ( a) + f ' ( a ) 1! + f (n) ( a) n! ( ) ( b a) + f " a 2! ( b a) n + f (n+1) ( b a) ξ ( ) ( n +1)! ( b a) n+1 Cálculo Numérico 17/45

18 Exemplo 2 Use a Equação (3) para obter uma estimativa do erro do primeiro passo do exemplo 1. Use-a também para determinar o erro devido a cada termo de ordem mais alta da expansão em série de Taylor. E t = f ' ( x i, y i ) h 2 +!+O( h n+1 ) 2! (3) Cálculo Numérico 18/45

19 Erro para o Método de Euler A série de Taylor fornece apenas uma estimativa do erro de truncamento local (o erro criado durante um único passo do método). Em problemas reais, lidamos com funções mais complicadas do que simples polinômios. Por isso, as derivadas que são necessárias para calcular a expansão em série de Taylor nem sempre são fáceis de obter, e portanto, não teremos uma análise exata do erro. Cálculo Numérico 19/45

20 Erro para o Método de Euler OBSERVAÇÕES O erro pode ser reduzido diminuindo-se o tamanho do passo. O método fornecerá previsões livres de erros se a função subjacente (isto é, a solução da equação diferencial) for linear, porque, para uma reta, a segunda derivada seria nula. Cálculo Numérico 20/45

21 Erro dos Métodos de Passo Único Em geral, um método de ordem n fornecerá um resultado perfeito se a solução subjacente for um polinômio de grau n. Além disso, o erro de truncamento local será O (h n+1 ) e o erro de truncamento global será O (h n ). Cálculo Numérico 21/45

22 Exercício 1 Repita os cálculos do Exemplo 1, mas use um tamanho de passo de 0,25. Cálculo Numérico 22/45

23 Exercício 1 A divisão do tamanho de passo por 2 reduz o valor absoluto do erro médio global para 40% e o valor absoluto do erro local para 6,4% (valores com tamanho de passo de 0,5: 90% e 24,8%, respectivamente) Cálculo Numérico 23/45

24 Efeito do tamanho do passo no erro de truncamento global do método de Euler para a integral de: y = -2x 3 +12x 2-20x+8,5 Cálculo Numérico 24/45

25 Método de Heun Cálculo Numérico 25/45

26 Método de Heun Preditor Cálculo Numérico 26/45

27 Método de Heun Corretor Cálculo Numérico 27/45

28 Etapas do Método de Heun Inclinação no início do intervalo: y i ' = f ( x i, y ) i Equação preditora: 0 y i+1 = y i + f ( x i, y i )h Inclinação na extremidade final: y i+1 ' = f ( 0 x i+1, y ) i+1 Inclinação média: y ' = y ' i ' + y i+1 2 ( ) 0 + f x i+1, y i+1 = f x i, y i 2 ( ) Equação corretora: y i+1 = y i + y 'h Cálculo Numérico 28/45

29 Exemplo 3 Use o método de Heun para integrar y = 4e 0,8x 0,5y de x = 0 a x = 4 com tamanho de passo 1. A condição inicial em x = 0 é y = 2. Cálculo Numérico 29/45

30 Resultados Exemplo 3 Cálculo Numérico 30/45

31 Comparação da solução verdadeira com soluções numéricas usando os métodos de Euler e de Heun para a integração de: y = -2x x 2-20x + 8,5. Cálculo Numérico 31/45

32 Método do Ponto Médio Cálculo Numérico 32/45

33 Método do Ponto Médio Cálculo Numérico 33/45

34 Método do Ponto Médio x i+1/2 Cálculo Numérico 34/45

35 Etapas do Método do Ponto Médio y no ponto médio do intervalo: y i+1 2 = y i + f ( x i, y ) h i 2 Inclinação no ponto médio: y' i+1 2 = f ( x i+1 2, y ) i+1 2 Cálculo de y i+1 : y i+1 = y i + f ( x i+1 2, y i+1 2 )h Cálculo Numérico 35/45

36 Métodos de Runge-Kutta Cálculo Numérico 36/45

37 Métodos de Runge-Kutta A forma geral dos métodos de Runge-Kutta é: onde: y i+1 = y i +φ x i, y i, h ( )h φ = a 1 k 1 + a 2 k 2 +!+ a n k n e k 1 = f ( x i, y ) i k 2 = f x i + p 1 h, y i + q 11 k 1 h ( ) k 3 = f x i + p 2 h, y i + q 21 k 1 h + q 22 k 2 h ( ) k n = f ( x i + p n 1 h, y i + q n 1,1 k 1 h + q n 1,2 k 2 h +!+ q n 1,n 1 k n 1 h) Cálculo Numérico 37/45

38 Métodos de Runge-Kutta O método de Runge-Kutta de primeira ordem (n = 1) é o método de Euler. O método de Runge-Kutta de segunda ordem (n = 2): onde: k 1 = f ( x i, y ) i k 2 = f x i + p 1 h, y i + q 11 k 1 h ( ) y i+1 = y i + ( a 1 k 1 + a 2 k 2 )h Cálculo Numérico 38/45

39 Série de Taylor Seja f uma função tal que f e suas n primeiras derivadas são contínuas no intervalo fechado [a, b]. Além disso, f (n+1) (x) existe para todo x no intervalo aberto ]a, b[. Então, existe um número ξ no intervalo aberto ]a, b[ tal que: f ( b) = f ( a) + f ' ( a ) 1! + f (n) ( a) n! ( ) ( b a) + f " a 2! ( b a) n + f (n+1) ( b a) ξ ( ) ( n +1)! ( b a) n+1 Cálculo Numérico 39/45

40 Métodos de R-K de Segunda Ordem Comparando a forma geral do método de Runge-Kutta de segunda ordem com uma expansão em série de Taylor, vemos que: 3 equações 4 incógnitas a 1 + a 2 =1 a 2 p 1 = 1 2 a 2 q 11 = 1 2 Solução NÃO é única Existe uma família de Métodos de Runge Kutta de segunda ordem Cálculo Numérico 40/45

41 Métodos de R-K de Segunda Ordem Comparando a forma geral do método de Runge-Kutta de segunda ordem com uma expansão em série de Taylor, vemos que: 3 equações 4 incógnitas a 1 + a 2 =1 a 2 p 1 = 1 2 a 2 q 11 = 1 2 Variação de a 2 a 1 =1 a 2 p 1 = q 11 = 1 2a2 Cálculo Numérico 41/45

42 Métodos de R-K de Segunda Ordem Como os métodos de Runge-Kutta de segunda ordem usam uma função incremento com dois termos (n = 2). Eles serão exatos se a solução da EDO for quadrática e todos darão a mesma solução para funções quadráticas, lineares ou constantes. Além disso, como os termos com h 3 e com grau mais alto foram desprezados durante a dedução, o erro de truncamento local é O (h 3 ) e o erro global é O (h 2 ). Nos métodos de Runge-Kutta de terceira e quarta ordem (n = 3 e n = 4, respectivamente), os erros de truncamento globais, são, respectivamente, O (h 3 ) e O (h 4 ). Cálculo Numérico 42/45

43 Métodos de R-K de Segunda Ordem Método de Heun com um único corretor (a 2 = ½); que é o método de Heun sem iterações. em que: k 1 = f ( x i, y ) i! y i+1 = y i + # 1 2 k k 2 " $ &h % k 2 = f x i + h, y i + k 1 h ( ) Cálculo Numérico 43/45

44 Métodos de R-K de Segunda Ordem Método do Ponto Médio (a 2 = 1). em que: k 1 = f ( x i, y ) i y i+1 = y i + k 2 h k = f xi + h, yi + k1h 2 2 Cálculo Numérico 44/45

45 Métodos de R-K de Segunda Ordem Método de Ralston (a 2 = 2/3). Este valor de a 2 fornece um limitante mínimo para o erro de truncamento. em que: k 1 = f ( x i, y ) i! y i+1 = y i k k $ # 2 &h " %! k 2 = f x i h, y + 3 i 4 k h $ # 1 & " % Cálculo Numérico 45/45

46 Exemplo 4 Use o método do ponto médio e o método de Ralston para integrar numericamente a equação: f (x,y) = -2x x 2 20x + 8,5 de x = 0 a x = 4 usando um tamanho de passo de 0,5. A condição inicial em x = 0 é y = 1. Cálculo Numérico 46/45

47 Exemplo 4 Valores verdadeiros e aproximados utilizando diferentes métodos de Runge-Kutta de segunda ordem. Cálculo Numérico 47/45

48 Exemplo 4 Comparação da solução verdadeira com soluções numéricas usando três métodos de RK de 2 a ordem e o método de Euler. Cálculo Numérico 48/45

49 Métodos de R-K de Terceira Ordem Neste caso, n = 3. Resultando em seis equações com oito incógnitas. Os erros local e global são, respectivamente, de O (h 4 ) e O (h 3 ). Estes métodos fornecem resultados exatos, se a solução for uma função cúbica. Cálculo Numérico 49/45

50 Métodos de R-K de Quarta Ordem São os métodos mais populares. Cálculo Numérico 50/45

51 Método de R-K de Quarta Ordem Método Clássico em que: k 1 = f x i, y i y i+1 = y i + 1 ( 6 k 1 + 2k 2 + 2k 3 + k 4 )h ( ) k 2 = f # x i h, y + 1 i 2 k h 1! " $ & %! k 3 = f x i h, y i k $ # 2h& " % k 4 = f ( x i + h, y i + k 3 h) Cálculo Numérico 51/45

52 Exemplo 5 Use o método de Runge-Kutta de quarta ordem clássico para integrar: f (x,y) = -2x x 2 20x + 8,5 utilizando um tamanho de passo h = 0,5 e uma condição inicial de y = 1 em x = 0. Cálculo Numérico 52/45

53 Exemplo 6 Use o método de Runge-Kutta de quarta ordem clássico para integrar: f (x,y) = 4e 0,8x 0,5y utilizando um tamanho de passo h = 0,5 e uma condição inicial de y = 2 em x = 0 de x = 0 a 0,5. Cálculo Numérico 53/45

54 Métodos de R-K de Ordem Superior Método de Runge-Kutta de quinta ordem de Butcher é o mais recomendado. Fórmulas de Runge-Kutta de ordem superior estão disponíveis, porém muitas vezes, o ganho em precisão não compensa o esforço e complexidade computacional exigida. Cálculo Numérico 54/45

55 Cálculo Numérico 55/45 Método de R-K de quinta ordem ( )h k k k k k y y i i = + ( ) x i y i f k, 1 = + + = h k y h x f k i i , = h k h k y h x f k i i , = h k h k y h x f k i i , = h k h k y h x f k i i , = h k h k h k h k h k y h x f k i i ,

56 Exercício 2 Use métodos de Runge-Kutta de primeira a quinta ordem para resolver: f (x,y) = 4e 0,8x 0,5y com y (0) = 2 de x = 0 a x = 4 com diversos tamanhos de passo. Compare a precisão dos diversos métodos para o resultado em x = 4 com base na resposta exata y (4) = 75, Os cálculos são feitos usando os métodos de Euler, nãoiterativo de Heun, RK de 3 a ordem, RK de 4 a ordem clássico e RK de 5 a ordem de Butcher. Cálculo Numérico 56/45

57 Exercício 2 Cálculo Numérico 57/45

58 Sistemas de Equações Cálculo Numérico 58/45

59 Sistemas de Equações É muito comum termos que resolver problemas envolvendo um sistema de equações diferenciais ordinárias ao invés de uma única equação. Para resolvê-los, qualquer um dos métodos apresentados aqui podem ser aplicados. Em cada caso, o procedimento para resolver o sistema de EDOs envolve simplesmente a aplicação da técnica de passo único em todas as equações para cada passo, antes de prosseguir para o próximo passo. Cálculo Numérico 59/45

60 Exemplo 1 Resolva o seguinte conjunto de equações diferenciais usando o método de Euler, supondo que, em x = 0, y 1 = 4 e y 2 = 6. Integre até x = 2 com um tamanho de passo de 0,5. dy 1 dx = 0, 5y 1 e dy 2 dx = 4 0,3y 2 0,1y 1 Cálculo Numérico 60/45

61 Exemplo 1 Resultados para todos os passos, até x = 2,0. Cálculo Numérico 61/45

62 Sistemas de Equações É preciso tomar cuidado na determinação das inclinações, quando aplicar os métodos de RK de ordem superior, ou seja, primeiro desenvolvemos inclinações para todas as variáveis no valor inicial. Essas inclinações (um conjuntos de k i s) são então usadas para fazer previsões da variável independente no ponto médio do intervalo. Cálculo Numérico 62/45

63 Exemplo 2 Resolva o sistema de equações do exemplo anterior usando o método de R-K de quarta ordem, supondo que, em x = 0, y 1 = 4 e y 2 = 6. Integre até x = 2 com um tamanho de passo de 0,5. dy 1 dx = 0, 5y 1 e dy 2 dx = 4 0,3y 2 0,1y 1 Cálculo Numérico 63/45

64 Exemplo 2 Resultado para todos os passos, até x = 2,0. Cálculo Numérico 64/45