Aplicação dos Métodos de Runge-Kutta de primeira, segunda, terceira e quarta ordem na Resolução de uma Equação Diferencial Ordinária.

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1 1 Aplicação dos Métodos de Runge-Kutta de primeira, segunda, terceira e quarta ordem na Resolução de uma Equação Diferencial Ordinária. Rodrigo Romais (FCSGN) 1 r.romais@gmail.com Resumo: Métodos numéricos são extremamente úteis na resolução de muitos problemas matemáticos e físicos, que em geral são modelados por equações diferenciais ordinárias, e surgem como alternativa para a obtenção de resultados que quase sempre não podem ser obtidos por procedimentos reais. Dentre os métodos numéricos utilizados na resolução de equações diferenciais ordinárias destaca-se os Métodos de Runge-Kutta, cuja simplicidade de implementação computacional e, também, pela facilidade na obtenção das aproximações de suas versões, diferenciando dos métodos cujo desenvolvimento parte da expansão em série de Taylor. Se tratando da resolução numérica de equações diferenciais ordinárias de primeira ordem, este trabalho objetiva apresentar e aplicar quatro métodos de Runge-Kutta na resolução de um problema governado pela lei de resfriamento de Newton. De maneira a confrontar os resultados numéricos advindos das aproximações obtidas com os quatro métodos com o valor analítico do problema. Palavras-chave: Métodos de Runge-Kutta, Equações Diferenciais Ordinárias, Lei de Resfriamento de Newton. Abstract: Numerical methods are extremely useful in solving many mathematical and physical problems, which are usually modeled by ordinary differential equations, and emerge as an alternative to obtaining results that often can t be obtained by actual procedures. Among the numerical methods used to solve differential equations stands out Runge-Kutta methods, whose simplicity of computational implementation, and also the ease in obtaining approaches its version, differing methods which development of the series expansion Taylor. If dealing with the numerical solution of ordinary differential equations of the first order, this work aims to present and apply four methods of Runge-Kutta in solving a problem governed by the law of cooling Newton. In order to compare the numerical results arising from the approximations obtained with methods with the actual value of the problem. Keyword: Runge-Kutta Methods, Ordinary Differential Equations, Newton's Law of Cooling. 1. INTRODUÇÃO A resolução de uma equação diferencial ordinária (EDO) pode ser encontrada em diversas aplicações como reações químicas, decaimento radioativo, teste de carbono 14 e corpos em 1 Rodrigo Romais, Licenciado em Matemática pela Universidade do Estado de Mato Grosso (UNEMAT, Sinop, 2011), Mestre em Engenharia Elétrica pela Universidade Estadual Paulista Julho de Mesquita Filho (UNESP, Ilha Solteira, 2014). Atualmente docente do ensino superior na Faculdade de Ciências Sociais de Guarantã do Norte-MT, Rua Jequitiba, nº 40, Jardim Aeroporto. Cep.: r.romais@gmail.com. Maio de 2016.

2 2 queda. No entanto, nem toda equação diferencial apresenta solução. Para contornar esta problemática, surgem os métodos numéricos que estimam tais soluções. Tratando da resolução de uma EDO de primeira ordem, destacam-se os Métodos de Runge- Kutta, devido à relativa facilidade de obtenção dos seus algoritmos, aproximações da possível solução analítica, e também, pela respectiva compreensão em que os mesmos apresentam em implementação computacional, como pode ser visto em Rugiero (1996). O que define o grau de uma EDO é a ordem da derivada da função objetivo, isto é, se a EDO é de ordem um, porque a derivada da função é de primeira ordem, consequentemente para graus superiores conforme pode ser visto em Zill (2006) e Stewart (2009). Este trabalho tem por finalidade apresentar e aplicar quatro métodos Runge-Kutta para resolver um problema referente ao estudo da variação da temperatura de um corpo meio a um ambiente termicamente controlado, conhecida por Lei de Resfriamento de Newton. De maneira a se constatar dentre os métodos aproximados aquele que mostrou ser o mais eficiente, além de apresentar uma alternativa de resolução de uma equação diferencial ordinária, mediante a importância das suas aplicações. 2. PROBLEMA MODELO Uma equação diferencial ordinária de primeira ordem fica expressa conforme equação (1) e é toda equação do tipo: y t + P t y t = Q(t) (1) Em que y é a função incógnita ou solução da EDO; y é a derivada de primeira ordem da função incógnita; P(t) e Q(t) são funções da variável independente t. O problema modelo é governado pela lei de Resfriamento de Newton e é contemplada conforme equação (2): T (t) = k(t(t) T m ) (2) Em que T é a temperatura do corpo variável ao longo do tempo t; T é a derivada de primeira ordem da função incógnita em relação ao tempo t; T m representa a Temperatura Ambiente é um valor numérico, uma constante; k é um coeficiente de proporcionalidade, expresso em valor absoluto. O sinal negativo na Equação (2) indica que, se a temperatura T for superior a T m então o

3 3 corpo perde temperatura para o meio, isto é, a taxa de variação é negativa, caso contrário, o corpo ganha temperatura do meio, portanto, a taxa de variação positiva. Para melhor expressar o problema modelo é apresentada uma ilustração conforme Figura 1. Figura 1 Representação do Problema Modelo Fonte: Próprio Autor O problema modelo é um problema de valor inicial (PVI), isto é, necessita de condições iniciais para sua resolução. As condições propostas é que a temperatura do meio termicamente controlado (sempre constante) T m = 5ºC, a temperatura inicial do objeto T(t = 0min) = 60ºC (condição inicial) e a sua temperatura decorridos 10 minutos T(t = 10min) = 40ºC. Necessário encontrar inicialmente o valor para a constante k do objeto e consequentemente, a sua temperatura no instante de 22 minutos Resolução Analítica do Problema Modelo A equação (2) pode ser reescrita assim como expressa a equação (3). T (t) + P(t). T(t) = Q(t) (3) Fazendo analogia entre a equação (3) com a equação (1), constata-se as igualdades expressas nas equações (4) e (5): P(t) = k (4) Q t = k T m (5) A solução da equação (2) utilizando a técnica do fator integrante é expressa pela equação (6).

4 4 T(t) = 1 U U. Q(t)dt + C (6) Da equação (6), a função U(t) é dada pela equação (7): U = e P(t)dt (7) Substituindo as equações (4), (5) e (7) na equação (6) e, realizando-se algumas operações algébricas, tem-se: T t = e k t e k.t k T m dt + C T t = e k t k T m e k t dt + C Em que C é uma constante de integração. Fazendo duas substituições de w = k t e dw = k dt. Com o desenvolvimento algébrico resultando na equação (8), assim: T(t) = e k.t. k. T m. 1 k e w dw + C T(t) = e k.t T m. e w + C T t = T m + C e k t (8) A equação (8) é chamada de solução geral da EDO. Como condição inicial admitimos que quando o tempo é igual a zero, a temperatura do corpo é T 0, e dessa forma, a solução particular da equação 2 fica expressa por: T 0 = T m + C e k 0 C = T 0 T m Substituindo na equação (8): T t = T m + T 0 T m e k t T(t) = Tm+T 0 e k t T m e k t Encontra-se a solução particular do problema para t = 0, T(t = 0) = T 0 conforme expresso na equação (9). T t = T m 1 e k t + T 0 e k t (9) Do problema modelo é conhecido que a temperatura inicial do corpo T 0 = 60ºC e que a sua temperatura após 10 minutos é de T(t = 10 min) = 40ºC, pode-se agora determinar o valor da constante k, assim como expressa a equação 10, com seu respectivo desenvolvimento algébrico.

5 5 40 = 5 1 e k e k = 5 5 e 10k + 60 e 10k 40 = e 10k 35 = 55 e 10k = e 10k Aplicando a função logarítmica na equação: ln = ln e 10k ln 35 ln 55 = 10k k = ln 35 + ln Conhecido o valor de k, a função de temperatura do corpo fica expressa pela equação (11). (10) T t = 5 1 e ln 55 ln t + 60 e ln 55 ln t (11) A Figura 2 ilustra a variação da temperatura da barra ao longo do tempo. Figura 2 - Variação de temperatura do corpo conforme problema modelo. Fonte: Próprio Autor Conforme equação (11) é possível determinar a temperatura do corpo no decorrer de 22 minutos. Para o instante de 22 minutos temos a temperatura em graus celcius: T(t = 22 min) = 25, ºC Esta é a resolução analítica deste problema, em outras palavras, esta solução chamada de solução real do problema modelo. Esta é a solução que será comparada com a resolução aproximada advinda dos quatro métodos de Runge-Kutta.

6 Métodos Numéricos Basicamente, o desenvolvimento e consequentemente, a melhoria das aproximações de métodos numéricos aplicados a resolução de equações diferenciais ordinárias fundamentam-se em séries de Taylor, cuja melhoria das aproximações ficam atreladas ao termo do truncamento da mesma. Para resolução de EDO s de primeira ordem segundo esta metodologia, destacam-se os métodos de Eüler e Eüler Melhorado, cujas aproximações são definidas mediante o truncamento dos termos de primeira e segunda ordem da série respectivamente. Para a obtenção de aproximações de ordem superior segundo a expansão em séries de Taylor, o procedimento algébrico utilizado na determinação dos algoritmos se torna cada vez mais complexo, havendo necessidade de obter derivadas de ordens superiores. Os Métodos de Runge-Kutta evitam essas dificuldades, utilizando expressões menos complicadas e fornecendo precisão igual ao da expansão da série de Taylor de mesma ordem. A expressão do método de Runge-Kutta de ordem m é expressa pela Equação 12. m y i+1 = y i + a j. k j j =1 Com i variando de 0 até n 1. em que: aj são constantes para cada método de ordem m; (12) k1 h. f (xi, yi); kj h. f j 1 (xi + pj. h, y i + l=1 (r j,l. k 1 ), sendo pj e r j,l, constantes para cada método de ordem m, para j > 1. Em seguida são apresentados as cinco versões do método de Runge-Kutta. Mais detalhes sobre o método podem ser encontrados nos trabalhos de Romais (2015) e Ruggiero (1996), como também sobre as referentes equações diferencias em Boyce & DiPrima (1994) e Zill (2003).

7 Método de Runge-Kutta de 1 a Ordem Seja a EDO y = f(x, y), com condições iniciais x0 e y0. Deseja-se obter y = f(x), para x = x. Pela expressão acima, a Equação 12, temos: y i+1 = y i + a 1. k 1 (13) em que: a1 uma constante para o método de ordem 1; k1 h. f (xi, yi) Método de Runge-Kutta de 2 a Ordem Pelo mesmo procedimento utilizado na dedução anterior da expressão do método de Runge- Kutta de ordem um, temos na Equação 14 o método de segunda ordem, também conhecida como método de Heun, por expansão da série de Taylor: y i+1 = y i + a 1. k 1 + a 2. k 2 (14) em que: a1 = a2 = 1 ; 2 k1 = h. f (xi, yi); k2 = h. f (xi + p2. h, yi + r2,1. k1) = h. f (xi + h, yi + k1); p2 = 1 e r2,1 = Método de Runge-Kutta de 3 a Ordem Adotando o mesmo procedimento de dedução da expressão do método anterior, encontramos, a partir da expressão do método anterior, encontramos a forma geral para terceira ordem y i+1 = y i + a 1. k 1 + a 2. k 2 + a 3. k 3 (15) em que: k1 = h. f (xi, yi);

8 8 k2 = h. f (xi + h 2 k3= h. f (xi + 3.h 4, yi + k1 2 ); i variando de 0 até n 1., yi + 3. k1 4 ); Método de Runge-Kutta de 4 a Ordem Este é um dos mais utilizados dos métodos numéricos desta categoria, pela precisão de resultados que ele apresenta, e, principalmente, devido à simplicidade da expressão que utiliza: y i+1 = y i (k k k 3 + k 4 ) (16) em que: k1= h. f (xi, yi); k2 = h. f (xi + h 2 k3= h. f (xi + h 2, yi + k1 2 );, yi + k2 2 ); k4 = h. f (xi + h, yi + k3); Com i variando de 0 até n Resolução Aproximada do Problema Modelo Para a verificação do erro gerado nas aproximações, utiliza-se a medida de erro percentual relativo, assim como expressa a equação (17). Erro = 100 S An S Ap S An (17) Em que S An é a solução obtida pelo procedimento analítico, real; S Ap é a solução obtida pelo procedimento aproximado, métodos. Uma vez que o erro relativo é dado em porcentagem. Para a verificação das aproximações segundo os métodos citados aqui são utilizadas respectivamente 5, 10 e 20 partições no intervalo do problema modelo que varia de 10 a 22 minutos, lembrando que temperatura de interesse é referente ao tempo de 22 minutos.

9 Temperatura ºC Aproximações Por Cinco Partições Do Domínio A Tabela 1 apresenta os valores das aproximações para os quatro métodos de Runge-Kutta considerando-se cinco partições no intervalo de tempo de interesse. Tabela 1 - Aproximações para cinco partições e o erro encontrado. Xn 1ª Ordem 2ª Ordem 3ª Ordem 4ª Ordem 10 40, , , , ,4 36, , , , ,8 32, , , , ,2 29, , , , ,6 27, , , , , , , , Erro(%) 2, , , , O gráfico da Figura 3 ilustra a forma como as aproximações são realizadas para ambos os métodos. Figura 3 - Gráfico das aproximações da temperatura para cinco partições no intervalo de tempo Tempo 16 (min) Fonte: Próprio Autor 1ª Ordem 2ª Ordem 3ª Ordem 4ª Ordem

10 Aproximações Por Dez Partições Do Domínio A Tabela 2 abaixo apresenta os valores das aproximações para os quatro métodos de Runge- Kutta considerando-se dez partições no intervalo de tempo de interesse. Tabela 2 - Aproximações para dez partições e erro encontrado. X n 1ª Ordem 2ª Ordem 3ª Ordem 4ª Ordem 10 40, , , , ,2 38, , , , ,4 36, , , , ,6 34, , , , ,8 33, , , , , , , , ,2 30, , , , ,4 28, , , , ,6 27, , , , ,8 26, , , , , , , , Erro(%) 1, , , , O gráfico da Figura 4 ilustra a forma como as aproximações são realizadas para ambos os métodos.

11 Temperatura ºC 11 Figura 4 - Gráfico das aproximações da temperatura para dez partições no intervalo de tempo ª Ordem 2ª Ordem 3ª Ordem 4ª Ordem Tempo (min) Fonte: Próprio Autor Aproximações Por Vinte Partições Do Domínio A Tabela 3 abaixo apresenta os valores das aproximações para os quatro métodos de Runge- Kutta considerando-se vinte partições no intervalo de tempo de interesse. Tabela 3 - Aproximações para vinte partições e erro encontrado. Xn 1ª Ordem 2ª Ordem 3ª Ordem 4ª Ordem 10 40, , , , ,6 39, , , , ,2 38, , , , ,8 37, , , , ,4 36, , , , , , , , ,6 34, , , , ,2 33, , , ,

12 Temperatura ºC 12 14,8 33, , , , ,4 32, , , , , , , , ,6 30, , , , ,2 30, , , , ,8 29, , , , ,4 28, , , , , , , , ,6 27, , , , ,2 26, , , , ,8 26, , , , ,4 25, , , , , , , , Erro(%) 0, , , , O gráfico da Figura 5 ilustra a forma como as aproximações são realizadas para ambos os métodos. Figura 5 - Gráfico das aproximações da temperatura para vinte partições no intervalo de tempo Tempo (min) Fonte: Próprio Autor 1ª Ordem 2ª Ordem 3ª Ordem 4ª Ordem 5ª Ordem

13 13 Conforme Tabelas 1, 2 e 3 e Figuras 3, 4 e 5, pode-se constatar visualmente que, quanto maior for a partição de domínio em cada um dos métodos, melhor será a aproximação do método numérico em relação a sua solução analítica, consequentemente, analisadas nove casas decimais, constata-se que o erro relativo, tende a zero. 3. CONCLUSÃO Como comentado anteriormente, as quatro versões do métodos dos Métodos e Runge-Kutta mostram-se como forma alternativa para resolução de equações diferenciais ordinárias de primeira ordem, sendo de fundamental importância em se tratando de problemas desprovidos de solução analítica. A metodologia de se resolver um problema físico com solução analítica mostrou ser interessante sobre dois aspectos, um motivando o estudo de métodos analíticos e numéricos de resolução de equações diferenciais ordinárias e o outro, para se discutir de forma clara os erros encontrados nas aproximações. É importante destacar que, em se tratando de problemas sem soluções analíticas conhecidas, a solução do problema para algum valor de domínio de interesse é encontrada quando a diferença entre dois valores sucessivos calculados sobre o mesmo ponto para várias malhas, com aumento progressivo, é menor que uma tolerância, o erro, pré-estabelecida. Como era de se esperar, os resultados advindos da versão de Runge-Kutta de quarta ordem, aplicados na resolução do problema modelo, independente do número de partições de domínio, mostrou ser mais preciso que os demais métodos. Também, da Tabela 3, percebe-se que para uma malha com vinte partições, o método de Runge-Kutta de primeira ordem já foi capaz de apresentar uma solução aproximada com erro em torno de 0,6%. Para finalizar, a utilização de um dos Métodos de Runge-Kutta pode apresentar resultados satisfatórios a medida em que a malha do problema é aumentada, o que acarreta em um número maior de iterações e consequentemente, aumento em trabalho computacional. REFERÊNCIAS BOYCE, W. E.; Di PRIMA, R. C. Equações Diferenciais Elementares e Problemas de Valores de Contorno. 5ª Ed. Rio de Janeiro. Guanabara Koogan, ROMAIS, R.; Aplicação dos Métodos de Euler e de Euler Melhorado na Resolução de uma Equação Diferencial Ordinária. NATIVA, Revista de Ciências Sociais do Norte de Mato Grosso. V. 4, N. 1, Ver artigo em: RUGGIERO, M.A.G.; LOPES, V.L.R. Cálculo Numérico: Aspectos teóricos e computacionais. 2 ed. São

14 14 Paulo. Pearson Makron Books, STEWART, James. Calculo - Volume 1. 6 ed. São Paulo: Cengage Learning, ZILL, D.G. Equações Diferenciais com Aplicações em Modelagem. 1ª Ed. São Paulo. Thomson, 2003.