Equações Diferenciais Problemas de Valor Inicial. Computação 2º Semestre 2016/2017

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1 Equações Diferenciais Problemas de Valor Inicial Computação 2º Semestre 2016/2017

2 Equações Diferenciais Uma equação diferencial é uma equação cuja incógnita é uma função que aparece na equação sob a forma das respectivas derivadas. Equações diferenciais ordinárias (EDO) são equações de forma ( n) f x, y, y,, y 0 que envolvem uma função incógnita y y(x) e algumas das suas derivadas em ordem à sua única variável independente. Ex: dy dx 2x 3 12x 2 20x 8.5 Equações diferenciais parciais (PDE) envolvem mais do que uma variável independente. Ex: 2

3 Equações Diferenciais Chama-se ordem da equação diferencial à maior das ordens das derivadas que nela aparecem. Ex: 1ª ordem 9ª ordem 2ª ordem "Resolver" a equação diferencial consiste em encontrar funções y y(x) que a satisfaçam. 3

4 Equações Diferenciais y 0.5x 4 4x 3 10x 2 8.5x 1 é uma solução possível dy dx 2x 3 12x 2 20x 8.5 tem infinitas soluções y x 4x 10x 8. 5x C 4

5 Equações Diferenciais y 0.5x 4 4x 3 10x 2 8.5x 1 é uma solução possível dy dx 2x 3 12x 2 20x 8.5 tem infinitas soluções y x 4x 10x 8. 5x C 5

6 Equações Diferenciais Uma equação diferencial de ordem n requer a especificação de n condições adicionais para obter uma solução única. Problema de Valor Inicial: Se todas as condições são especificadas para o mesmo valor da variável independente. Ex: Problema de Valor Fronteira: Se as condições são especificadas para valores diferentes da variável independente. Ex: y 2 0 y(0) 3 y(0) 2 y 2 0 y(1) 0 y(0) 2 y 2x 2 solução única: 3 y 2 solução única: 3 x x 2x 6

7 Equações Diferenciais y 0.5x 4 4x 3 10x 2 8.5x 1 solução única dy dx 2x 3 12x 2 20x 8.5 y( 0) 1 7

8 Equações Diferenciais As equações diferenciais são fundamentais em ciência e engenharia onde muitos fenómenos físicos são formulados matematicamente em termos das suas taxas de variação. dv dt g cdv m 2 v- variável dependente t- variável independente 8

9 Modelos Matemáticos Problema: a velocidade de um bungee jumper Segunda Lei de Newton: a aceleração de um corpo é igual à razão entre a força exercida sobre ele e a sua massa a A aceleração é a taxa de variação da velocidade: F m acelerar um corpo é variar a sua velocidade num período de tempo dv dt a Introdução à Computação Numérica 9

10 Modelos Matemáticos Problema: a velocidade de um bungee jumper dv F dt m Num corpo em queda livre actuam duas forças: A força da gravidade F D A força da resistência do ar F R F F D F R Introdução à Computação Numérica 10

11 Modelos Matemáticos Problema: a velocidade de um bungee jumper dv FD FR dt m Num corpo em queda livre actuam duas forças: A força da gravidade F D A força da resistência do ar F R F F D F R De acordo com a 2ª lei de Newton: F D mg em que g é a aceleração da gravidade. Introdução à Computação Numérica 11

12 Modelos Matemáticos Problema: a velocidade de um bungee jumper Num corpo em queda livre actuam duas forças: dv dt mg F m A força da gravidade F D A força da resistência do ar F R F F D F R FR m A força da resistência do ar é aproximadamente proporcional ao quadrado da velocidade do corpo: F R em que c d é o coeficiente de resistência. R c d v 2 g Introdução à Computação Numérica 12

13 Modelos Matemáticos Problema: a velocidade de um bungee jumper 2 dv cdv g dt m Assumindo velocidade inicial nula: v(0)=0 Modelo diferencial: v( 0) 0 2 dv cdv g dt m e resolvendo em ordem a v obtém-se Modelo analítico: v t gm c d tanh gc m d t Introdução à Computação Numérica 13

14 Métodos de Passo Simples Vamos considerar equações diferenciais da forma: Os métodos denominados de passo simples têm todos o formato geral: dy dt f t, y em que é a função incremento, usada para saltar do valor anterior de y i para o novo valor y i+1. y i1 y i h 14

15 Método de Euler A primeira derivada dá uma estimativa directa da inclinação em t i : dy dt ti ft i, y i O método de Euler usa essa estimativa como a função incremento: f t i, y i y i1 y i f t i, y i h 15

16 Método de Euler Exemplo: usar o método de Euler para integrar: t y 4e y y( 0) 2 de t = 0 a t = 4 com um passo de tamanho 1. Solução: y y f t y h i 1 i i, i (solução analítica) 1º passo: y(1) y(0) f 0 0, y(0) (1) 2 4e 0.5(2) 5 solução analítica: erro relativo: 16

17 Método de Euler Exemplo: usar o método de Euler para integrar: t y 4e y y( 0) 2 de t = 0 a t = 4 com um passo de tamanho 1. Solução: y y f t y h i 1 i i, i (solução analítica) 2º passo: solução analítica: y( 2) erro relativo: t 23.19% 17

18 Método de Euler Exemplo: usar o método de Euler para integrar: t y 4e y y( 0) 2 de t = 0 a t = 4 com um passo de tamanho 1. Solução: (solução analítica) 18

19 Método de Euler Exemplo: usar o método de Euler para integrar: t y 4e y y( 0) 2 de t = 0 a t = 4 com um passo de tamanho 1. Solução: (solução analítica) 19

20 Erros dos Métodos Numéricos A solução numérica de EDOs envolve 2 tipos de erro: Erros de Truncatura, causados pela natureza dos algoritmos usados (ex: utilização de um número finito de termos) Erros de Arredondamento, originados pela representação aproximada dos números reais e das operações aritméticas O erro global de truncatura pode ser dividido em: Erro de truncatura local que resulta da aplicação do método num único passo, e Erro de truncatura propagado que resulta das aproximações produzidas durante os passos anteriores. 20

21 Erros dos Métodos Numéricos Se y(t) é uma função com derivadas contínuas pode ser representada pela série de Taylor: em que h = t i+1 t i e R n é: Sendo: fica: dy dt f t, y com: i [ t i, t 1] O(h n+1 ) significa que o erro de truncatura local é proporcional ao tamanho do passo elevado a n+1 21

22 Método de Euler Caso geral: Método de Euler: Logo o erro de truncatura local: Que é geralmente aproximado por: Pode ser demonstrado que o erro global de truncatura é proporcional ao tamanho do passo: O(h) 22

23 Método de Euler O erro local de truncatura é O(h 2 ) e proporcional à derivada de f(t,y) O erro global de truncatura é O(h). Como consequência: O erro global pode ser reduzido por diminuição do tamanho do passo; O método de Euler calcula estimativas correctas no caso de a função y(t) ser linear. Em geral para um método de ordem n o erro local de truncatura é O(h n+1 ) e o erro global de truncatura é O(h n ). 23

24 Método de Euler function [t,y] = eulode(dydt,tspan,y0,h,varargin) % eulode: Euler ODE solver % [t,y] = eulode(dydt,tspan,y0,h,p1,p2,...): % uses Euler's method to integrate an ODE % input: % dydt = name of the M-file that evaluates the ODE % tspan = [ti, tf] where ti and tf = initial and % final values of independent variable % y0 = initial value of dependent variable % h = step size % p1,p2,... = additional parameters used by dydt % output: % t = vector of independent variable % y = vector of solution for dependent variable 24

25 Método de Euler if nargin<4,error('at least 4 input arguments required'),end ti = tspan(1);tf = tspan(2); if ~(tf>ti),error('upper limit must be greater than lower'),end t = (ti:h:tf)'; n = length(t); % if necessary, add an additional value of t % so that range goes from t = ti to tf if t(n)<tf t(n+1) = tf; n = n+1; end y = y0*ones(n,1); %preallocate y to improve efficiency for i = 1:n-1 %implement Euler's method y(i+1) = y(i) + dydt(t(i),y(i),varargin{:})*(t(i+1)-t(i)); end 25

26 Método de Euler Exemplo: usar o método de Euler para integrar: y e. y( 0) 2 t y de t = 0 a t = 4 com um passo de tamanho 1. Solução: >> dydt=@(t,y) 4*exp(0.8*t) - 0.5*y; >> [t,y] = eulode(dydt,[0 4],2,1); >> disp([t,y]) (solução analítica) 26

27 Método de Heun Melhoria do método de Euler baseada na média das derivadas calculadas no início e na estimativa do fim do intervalo: Primeiro estima o novo valor de y, depois corrige-o baseado na derivada calculada nesse novo valor. Este processo predictor-corrector pode ser iterado até convergir: 27

28 Método de Heun Exemplo: usar o método de Heun iterativo para integrar: t y 4e y y( 0) 2 de t = 0 a t = 4 com um passo de tamanho 1. Usar um critério de paragem de % Solução: (solução analítica) 28

29 Método de Heun Exemplo: usar o método de Heun iterativo para integrar: t y 4e y y( 0) 2 de t = 0 a t = 4 com um passo de tamanho 1. Usar um critério de paragem de % Solução: (solução analítica) 29

30 Método de Heun Exemplo: usar o método de Heun iterativo para integrar: t y 4e y y( 0) 2 de t = 0 a t = 4 com um passo de tamanho 1. Usar um critério de paragem de % (solução analítica) 30

31 Método de Heun O erro local de truncatura é O(h 3 ) e proporcional à segunda derivada de f(t,y) O erro global de truncatura é O(h 2 ). Como consequência: O erro global pode ser reduzido mais rapidamente que no método de Euler por diminuição do tamanho do passo; O método de Heun calcula estimativas correctas no caso de a função y(t) ser quadrática. 31

32 Método do Ponto Médio Melhoria do método de Euler baseada na derivada calculada na estimativa do ponto médio do intervalo: Tal como no método de Heun, o erro local de truncatura é O(h 3 ) e o erro global de truncatura é O(h 2 ). 32

33 Métodos de Runge-Kutta Os métodos de Runge-Kutta (RK) conseguem a precisão das séries de Taylor sem calcular derivadas de ordem superior. y i1 y i h Onde a função incremento pode ser escrita como: a 1 k 1 a 2 k 2 a n k n com a s constantes e k s: k 1 f t i, y i k 2 f t i p 1 h, y i q 11 k 1 h k 3 f t i p 2 h, y i q 21 k 1 h q 22 k 2 h k n f t i p n1 h, y i q n1,1 k 1 h q n1,2 k 2 h em que os p s e os q s são constantes. q n1,n1 k n1 h 33

34 Métodos de Runge-Kutta Vários tipos de métodos RK podem ser obtidos considerando um numero diferente de termos na função incremento. yi1 yi h a 1 k 1 a 2 k 2 a n k n O método de Euler é um método RK de 1ª ordem com n=1. k 1 f t i, y i Uma vez escolhido o n, os valores dos a s, p s, e q s são calculados igualando a equação geral a uma expansão da série de Taylor. Para n=1: a 1 =1 34

35 Métodos de Runge-Kutta Para n=2: Os valores de a 1, a 2, p 1, e q 11 são obtidos igualando a equação de 2ª ordem à expansão de 2º ordem da série de Taylor. São derivadas as seguintes 3 equações para as 4 incógnitas: 35 ), ( ), ( ) ( h k q y p h x f k y x f k h k a a k y y i i i i i i q a p a a a Um valor é assumido para uma das incógnitas (a 2 ) e resolve-se em relação às outras 3

36 Métodos de Runge-Kutta Para n=2: i1 ( a k k2 f ( xi p1h, yi q11k1h) Como podemos escolher infinitos valores para a 2, existem infinitos métodos RK de 2ª ordem. Qualquer um daria exactamente o mesmo resultado para funções (soluções da EDO) quadráticas, lineares, ou constantes. No entanto, os resultados seriam diferentes para soluções mais complicadas. Os 3 métodos mais usados são: Método de Huen sem iteração (a 2 =1/2) Método do ponto Médio (a 2 =1) Método de Ralston (a 2 =2/3) y k 1 y i f ( x i, y i 1 ) 1 a 2 k 2 ) h 36

37 Métodos de Runge-Kutta Os métodos RK mais populares são os de 4ª ordem, e a forma mais usada é: 1 yi 1 yi k1 2k2 2k3 k4 h 6 com: k 1 f t i, y i k 2 f t i 1 2 h, y i 1 2 k 1h k 3 f t i 1 2 h, y i 1 2 k 2h k 4 f t i h, y i k 3 h 37

38 Métodos de Runge-Kutta Exemplo: usar o método RK de 4ª ordem para integrar: t y 4e y y( 0) 2 de t = 0 a t = 1 com um passo 1. Solução: 38

39 Métodos de Runge-Kutta Exemplo: usar o método RK de 4ª ordem para integrar: t y 4e y y( 0) 2 de t = 0 a t = 1 com um passo 1. Solução: 39

40 Sistemas de Equações Muito problemas requerem a resolução de um sistema de equações diferenciais ordinárias: dy 1 dt f 1t, y 1, y 2, dy 2 f 2 t, y 1, y 2, dt dy n dt f n t, y 1, y 2, A solução de um sistema com n equações requer a especificação de n condições., y n, y n, y n 40

41 Sistemas de Equações Uma equação diferencial de ordem k: Pode ser transformada num sistema equivalente de k equações 1ª ordem: 41

42 Sistemas de Equações Os métodos para resolução de uma equação também podem ser usados para resolver sistemas de equações O método tem que ser aplicado a todas as equações em cada passo antes de proceder ao passo seguinte. 42

43 Sistemas de Equações Exemplo: 43

44 Sistemas de Equações function [tp,yp] = rk4sys(dydt,tspan,y0,h,varargin) % rk4sys: fourth-order Runge-Kutta for a system of ODEs % [t,y] = rk4sys(dydt,tspan,y0,h,p1,p2,...): integrates % a system of ODEs with fourth-order RK method % input: % dydt = name of the M-file that evaluates the ODEs % tspan = [ti, tf]; initial and final times with output % generated at interval of h, or % = [t0 t1... tf]; specific times where solution output % y0 = initial values of dependent variables % h = step size % p1,p2,... = additional parameters used by dydt % output: % tp = vector of independent variable % yp = vector of solution for dependent variables 44

45 Sistemas de Equações if nargin<4,error('at least 4 input arguments required'), end if any(diff(tspan)<=0),error('tspan not ascending order'), end n = length(tspan); ti = tspan(1);tf = tspan(n); if n == 2 t = (ti:h:tf)'; n = length(t); if t(n)<tf t(n+1) = tf; end else n = n+1; t = tspan; end tt = ti; y(1,:) = y0; np = 1; tp(np) = tt; yp(np,:) = y(1,:); i=1; 45

46 Sistemas de Equações while(1) tend = t(np+1); hh = t(np+1) - t(np); if hh>h,hh = h;end while(1) if tt+hh>tend,hh = tend-tt;end k1 = dydt(tt,y(i,:),varargin{:})'; ymid = y(i,:) + k1.*hh./2; k2 = dydt(tt+hh/2,ymid,varargin{:})'; ymid = y(i,:) + k2*hh/2; k3 = dydt(tt+hh/2,ymid,varargin{:})'; yend = y(i,:) + k3*hh; k4 = dydt(tt+hh,yend,varargin{:})'; phi = (k1+2*(k2+k3)+k4)/6; y(i+1,:) = y(i,:) + phi*hh; tt = tt+hh; i=i+1; if tt>=tend,break,end end np = np+1; tp(np) = tt; yp(np,:) = y(i,:); if tt>=tf,break,end end 46

47 Sistemas de Equações Exemplo: Solução: function dy = dydtsys(t, y) dy = [y(2); /68.1*y(2)^2]; >> [t y] = rk4sys(@dydtsys,[0 10],[0 0],2); >> disp([t' y(:,1) y(:,2)])

48 Sistemas de Equações Exemplo: Solução: function dy = dydtsys(t, y) dy = [y(2); /68.1*y(2)^2]; >> tspan=[0 6 10]; >> [t y] = rk4sys(@dydtsys,tspan,[0 0],2); >> disp([t' y(:,1) y(:,2)])