Microeconomia. Maximização da Utilidade Função Utilidade Cobb-Douglas. Prof.: Antonio Carlos Assumpção

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1 Microeconomia Maimização da Utilidade Função Utilidade Cobb-Douglas Prof.: Antonio Carlos Assumpção

2 Escolha por Parte do Consumidor O consumidor escolhe uma combinação de bens (cesta de consumo) que irá maimizar sua utilidade ou satisfação, que seja compatível com a restrição orçamenmtária com a qual ele se defronta. A cesta de mercado maimizadora de utilidade deverá satisfazer duas condições: 1) Ela deverá estar sobre a linha do orçamento. 2) Ela deverá proporcionar ao consumidor sua combinação preferida de bens e serviços, dados os preços e a renda.

3 y y* A Escolha por Parte do Consumidor O Consumidor escolhe a cesta de consumo que se encontra na curva de indiferença mais distante da origem (maior utilidade) que satisfaz a restrição orçamentária. Logo, a maimização de utilidade ocorre quando a curva de indiferença tangencia a restrição orçamentária. Dito de outro modo, a maimização de utilidade ocorre quando a inclinação da curva de indiferença (TMgS(y,)) for igual a inclinação da restrição orçamentária (relação de preços = P/Py) U 0 *

4 Escolha por Parte do Consumidor A inclinação de uma curva de indiferença é a TMgS, ou seja, taa à qual o consumidor aceita substituir y por, permanecendo com o mesmo nível de utilidade. TMgS (Y,X) Y = = X dy dx

5 Derivando a Condição Anterior Dada uma função utilidade, tal que uma curva de indiferença seja representada por U(X;Y) = C, onde C é uma constante que mede o nível de utilidade, se tomarmos a diferencial total, devemos ter: U X dx + U Y dy = 0 Variação na utilidade total proveniente de uma variação na quantidade do bem Y. Variação na utilidade total proveniente de uma variação na quantidade do bem X.

6 Derivando a Condição Anterior Resolvendo para para dy / dx, a inclinação da curva de indiferença, temos: U Y dy = U X dx dy dx = U X U Y dy dx = UMgX UMgY = TMgS YX Logo, a TMgS é a razão entre as utilidades marginais de X e Y e é dada pela inclinação da curva de indiferença em um ponto.

7 Escolha por Parte do Consumidor A inclinação da restrição orçamentária é dada pela relação de preços, que mostra quanto o consumidor deve ceder de um bem para adquirir uma unidade do outro bem. Restrição Orçamentária X I = PX X + PY Y Y = X PY PY PX Inclinação da R. O. = P Y I P

8 Escolha por Parte do Consumidor Portanto, pode ser dito que utilidade é maimizada quando: TMgS (Y,X) = P P X Y Note que, taa marginal de substituição quanto a inclinação da R.O. são negativas. A escolha maimizadora de utilidade ocorre quando a taa marginal de substituição se iguala a relação de preços, ou seja, quando a inclinação da curva de indiferença é igual a inclinação da restrição orçamentária.

9 Escolha por Parte do Consumidor Vestuário (unidades por semana) PV = $2 P A = $1 I = $80 B Note que a cesta B não maimiza a satisfação porque a TMgS = [-(-10/10)] = 1, portanto, maior que a relação de preços (1/2). Isto significa que o consumidor está disposto a substituir uma unidade de V por uma unidade de A, mas pode substituir uma unidade de V por duas de A. Logo, ele substituirá V por A. -10V 20 Linha do Orçamento C +10A U Alimentação (unidades por semana)

10 Escolha por Parte do Consumidor Se o consumidor escolhe a cesta b ou a cesta C, ele gasta toda a sua renda. Porém, ele poderia atingir um nível de utilidade mais elevado escolhendo uma cesta intermediária entre B e C. Dito de outra forma, a diversificação (no caso de uma função utilidade Cobb-Douglas) proporciona mais utilidade ao consumidor.

11 Um Eemplo Suponha que a função utilidade de um consumidor possa ser representada por: ( Y,X) 0,5 0,5 U = Y X Note que a representação acima implica que o consumidor gosta igualmente de ambos os bens (a variação de utilidade proveniente de uma unidade adicional de vestuário é igual a variação de utilidade proveniente de uma unidade adicional de alimentação). Sua renda monetária é dada por são PY = 2 e PX = 1. I = 80 e os preços

12 Um Eemplo A Restrição Orçamentária (I/PY) I PX 1 I = PY Y + PX X Y = X Y = 40 X P P 2 Y 40 Y Y (I/PX) 0 80 X

13 Um Eemplo A Escolha Ótima U Y X ( Y,X) U 0,5 0,5 = Pode ser escrita como: ( Y,X ) = Y X TMgS (Y,X) U 1 Y dy 2 Y 2 Y Y = = X = X = TMgS (Y,X) = dx U 1 X 2 X X X Y 2 Y OBS. Se Y dy = X = dx 2 1 X

14 Um Eemplo Igualando a TMgSYX à relação de preços e substituindo o resultado na restrição orçamentária temos: Y = Y = X X = 40 X X = 40 Y = 20 X TMgSYX Relação de Preços Quantidades de Y e X que maimizam a utilidade do consumidor.

15 Um Eemplo Podemos checar o resultado, calculando a utilidade gerada pelo consumo da cesta (20;40). U 0,5 0,5 ( ) = = 28, ;40 Não eiste qualquer outra cesta que dê ao consumidor uma utilidade maior que esta.

16 Um Eemplo Y (I/PY) = U0 =28, X (I/PX)

17 Etensões: Utilizando o Lagrangeano Demandas de Uma Função Cobb-Douglas U (, y) = α y α 1 β 0 y P 0 α β 1 0 y 0 ( ) y α β Logo, o lagrangeano I = y + λ I P P y Cond. de primeira ordem : I = α λ = I = β y y λ P = β I = 0 I P Py y = 0 λ α y P β Logo : = Py y = P β P α y

18 Etensões: Utilizando o Lagrangeano α y P β Logo : = Py y = P β P α Substituindo na R. O. I. y β β I β I = P + Py y P + P = I P 1 + = I = 1+ α α P α I α + β I α I β I = P = = e y = P α α + β ( α + β ) P ( α + β ) P α * α I Se ( α + β ) = 1 = P y I I Se α = β = 0,5 = ; ana log amente : y =. 2P 2P y

19 Etensões: Utilizando o Lagrangeano Observação Importante Note que as funções de demanda por e y, derivadas de uma função utilidade Cobb-Douglas, são dadas por α β α I β U = y = e y = (, y) ( α + β ) P ( α + β ) I P y Sendo assim: Proporção da renda gasta com = Proporção da renda gasta com y = ( + ) α / α β ( + ) β / α β

20 Etensões: Utilizando o Lagrangeano Eemplificando: Suponha que U (, y) = 0,4 0,6 y Logo, 40% da renda será gasta com o bem e 60% da renda será gasta com o bem y. Suponha que U (, y) 3 2 = y Logo, 60% da renda será gasta com o bem e 40% da renda será gasta com o bem y.

21 Etensões: Utilizando o Lagrangeano Como no eemplo anterior U Y, X = Y X : I I Y =. Ana log amente : X = 2P 2P Y ( ) 0,5 0,5 Note então, que poderíamos calculas as quantidades ótimas escolhidas pelo consumidor, no caso de uma função utilidade Cobb-Douglas fazendo: y α I 0,5 $80 1 $80 = = = = 40 0,5 0,5 $1, 00 2 $1, 00 ( α + β ) P ( + ) β I 0,5 $80 1 $80 = = = = 20 0,5 0,5 $2, 00 2 $2, 00 ( α + β ) P ( + ) y X Demandas Marshalianas por Y e X

22 Etensões: Função de Utilidade Indireta Agora, podemos obter a função de utilidade indireta (cálculo da utilidade) para o nosso eamplo, substituindo * e y* na função utilidade. (,, ) (,, ) y V P Py I V P P I ( ) 0,5 0,5 I I I = = 2P y 2P 4P P Como P = 1, P = 2 e I = 80: y ( ) 80 V P,, (,, ) Py I = V P 28,2843 0,5 Py I = Onde V denota a utilidade maimizada. ( ) y 0,5

23 Eemplo 1) Analista - Bacen Prova tipo As preferências de um consumidor que adquire apenas dois bens são representadas pela função utilidade ( ) U, y = y Caso a renda do consumidor seja 300, o preço do bem X seja 5 e o do bem Y igual a 10, no equilíbrio do consumidor,

24 Eemplo a) a quantidade consumida do bem X corresponderá a 40 unidades. b) a quantidade consumida do bem Y corresponderá a 20 unidades. c) o dispêndio efetuado pelo consumidor com o bem X será 100. d) o dispêndio efetuado pelo consumidor com o bem Y será 200. e) o dispêndio efetuado pelo consumidor com cada um dos dois bens será igual.

25 Note que 2/3 da renda é gasta com. Como a renda é igual a 300 (gastará 200 com ) e o preço de é igual a 5, o consumidor comprará 40 unidades de. Note que 1/3 da renda é gasta com y. Como a renda é igual a 300 (gastará 100 com y) e o preço de y é igual a 10, o consumidor comprará 10 unidades de. Utilizando as funções de demanda: y α I 0, 667 $300 = = = 40 0, 67 0,33 $5, 00 ( α + β ) P ( + ) β I 0,333 $300 = = = 10 0, 67 0,33 $10, 00 ( α + β ) P ( + ) y Eemplo

26 Eemplo Y 10 Logo, que o consumidor maimiza sua utilidade comprando 40 unidades de e 10 unidades de y. Note que o consumidor gasta toda a sua renda ao comprar a cesta maimizadora de utilidade. I = P + P y y $300 = $ $ U0 X