Regularidade Lipschitziana dos Minimizantes no Cálculo das Variações e Controlo Óptimo. Delfim F. Marado Torres

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1 Regularidade Lipschitziana dos Minimizantes no Cálculo das Variações e Controlo Óptimo Delfim F. Marado Torres

2 Estrutura da apresentação I Enquadramento do trabalho (Cap. 1, 2 e 3) Exposição do problema A condição necessária de Euler-Lagrange Teorema da existência de Tonelli O estado da arte em resultados de regularidade Lipschitziana II Contribuição original (Cap. 4) Regularidade Lipschitziana para o Problema Básico do CV Reg. Lipschitziana para prob. com derivadas superiores Casos particulares III Conclusão Trabalho futuro (em curso) Resumo

3 Posição do Problema. O Cálculo das Variações. J [x( )] = b a L (t, x(t), ẋ(t)) dt min, x ( ) X com condições de fronteira (P) x (a) =x a e x (b) =x b. Exemplo (Braquistócrona, Johann Bernoulli, 1697): b 1+(ẋ (t)) 2 J [x( )] = dt min, 2 gx(t) 0 x (0)=0 e x (b) =x b.

4 Questões (Q1) Existe solução para o problema? teorema da existência de Tonelli, 1915 (Q2) Como determinar uma solução? equação de Euler-Lagrange, 1744 condição de Legendre, 1786 primeira condição de Erdmann, 1877 condição de Weierstrass, 1879 equação de Jacobi, (Q3) A solução é regular? (e.g., derivada limitada?) condição de Bernstein, condição de Tonelli-Morrey,

5 Equação de Euler-Lagrange Na forma diferencial Na forma integral d dt {L v (t, x (t), ẋ (t))} = L x (t, x (t), ẋ (t)) Observações: L v (t, x (t), ẋ (t)) = c + t 0 L x (τ, x(τ), ẋ (τ)) dτ * As equações só são idênticas quando X C 1 * Está assumida à priori a existência de solução pertencente à classe W 1, de funções Lipschitzianas

6 Existência Teorema da existência de Tonelli (TET): Sob as hipóteses: L C 2 L é coercivo: α>0, β IR : L (t, x, v) α v 2 + β, (t, x, v) L (t, x, ) convexa para cada (t, x) o problema (P) tem solução na classe W 1, 1 das funções absolutamente contínuas. (W 1, 1 W 1, ) Observações: A prova moderna usa conceitos da Análise Funcional A prova original do Tonelli é apenas feita para o caso escalar Na dissertação usou-se a abordagem do Lavrentiev + Tonelli

7 Mais questões (Q1) É mesmo necessário lidar com funções absolutamente contínuas, ou a solução será sempre Lipschitziana? Não. Ball & Mizel, 1984: L = rv 2 + ( x 3 t 2) 2 v 14. Solução única: x (t) =kt 2/3 (Clarke & Vinter) (Q2) Sob as hipóteses do TET, a eq. E-L éválida? Não. Ex. de Ball & Mizel não verifica a E-L, forma integral (Q3) Poderá oínfimo de (P) quando X = W 1, 1, ser estritamente menor que o ínfimo quando X = C 2 ou mesmo X = W 1,? Sim. Lavrentiev, 1926: condições para que inf J [x ( )] < inf J [x ( )] x( ) W 1, 1 x( ) C 2 ou W 1, Manià, 1934: L = ( x 3 t ) 2 v 6 (Não responde a (Q1): lagrangeano não coercivo)

8 Discrepância Eq. Euler-Lagrange x( ) W 1, Teorema da Existência x( ) W 1, 1 Duas linhas de investigação herdadas do Tonelli: 1. Estabelecer condições necessárias para o problema com X = W 1, 1 2. Postular condições adicionais, de modo a garantir soluções em W 1, REGULARIDADE LIPSCHITZIANA No trabalho seguiu-se a linha 2

9 Condições de Regularidade Lipschitziana Tonelli-Morrey: L x + L v c L + r (c >0) Bernstein, n = 1; Clarke & Vinter, n>1: L 1 vv (L x L vt L vx v) ) c ( v 3 +1, (L vv > 0) Clarke & Vinter: (P) autónomo L t c L + k (t), (k ( ) L 1 ) L x c L + k (t) L v + m (t), (k ( ),m( ) L 1 ) Vinter: L (t,, ) convexa para cada t Nesta dissertação: ( L t + L x ) v µ cl β + r (β <2, µ max {β 1, 1})

10 Problemas de ordem superior J [x( )] = b a L ( ) t, x(t), ẋ(t),..., x (m) (t) dt min, x ( ) W m, 1 Eq. Euler-Poisson: válida para X W m, d dt {L ẋ} d2 dt 2 {L ẍ} + +( 1) m+1 d m dt m {L x (m)} = L x Existência: teorema de Tonelli pode ser estendido ( t, x, ẋ,..., x (m)) L ( t, x, ẋ,..., x (m)) C 1 coercividade em x (m) : L α x (m) 2 + β L convexa em x (m)

11 Regularidade para problemas de ordem superior Questão tratada pela 1 a vez em 1990, Clarke & Vinter: condição do tipo de Morrey: L x (i) c ( L + x (m) ) + γ (t) r ( x,..., x (m 1)) i {0,..., m 1}, γ integrável, r localmente limitada Nesta dissertação: ( L t + L x (i) ) x (m) µ cl β + r, i =0,..., m 1 β<2, µ max {β 1, 1}

12 Parte II - Contribuição original The very essence of Mathematics lies in transforming a problem. (H. Poincaré, citado por L. C. Young em [p. 64, 34])

13 Transformações em problemas de Controlo Óptimo J [x( )] = b a L (t, x(t), ẋ(t)) dt min, x (a) =x a e x (b) =x b Problema de Lagrange do CO b [u(t) =ẋ(t)] a L (t, x, u) dt min, ẋ (t) =u (t), x (a) =x a, x (b) =x b Problema com funcional terminal τ(b) min, [ τ (t) = ẋ (t) =u (t) τ (t) =L (t, x (t),u(t)), t a ] L (θ, x, u) dθ x (a) =x a, x (b) =x b τ (a) =0

14 Transformação num problema de tempo mínimo Se L>0 existe t ( ), inversa de τ ( ). Fazendo z(τ) =x(t(τ)), v(τ) =u(t(τ)) podemos reescrever o problema num de tempo mínimo: ṫ(τ) = ż(τ) = T min, 1 L (t(τ), z(τ), v(τ)) v(τ) L (t(τ), z(τ), v(τ)), t(0) = a, t(t )=b z(0) = x a, z(t )=x b

15 Compactificação (à Gamkrelidze, 50 s) T min v IR n, z IR n ṫ = ż = 1 L (t, z, v) v L (t, z, v) L (t, z, v) θ ( v ) > 0 lim v + v θ ( v ) =0 Compactificamos o espaço IR n de controlos, adicionando o ponto e transformando-o na esfera S n π : S n IR n (projecção estereográfica) Assim garantimos que {( 1 L (t, z, v), ) v L (t, z, v) : v IR n } é compacto

16 Compactificação à Gamkrelidze (cont.) Obtemos agora o problema autónomo de tempo mínimo ṫ(τ) = ż(τ) = T min 1 L (t, z, π(w)) π(w) L (t, z, π(w)), w S n com conjunto compacto de controlos. ẋ limitado v limitado w ŵ pólo norte da esfera

17 Princípio do Máximo de Pontryagin Teorema: Se ( x, ũ) é solução do problema ẋ(τ) =ϕ (x(τ), u(τ)) T min, x(a) =x a,x(t )=x T u(τ) U IR r ϕ (, ) C ϕ x (, ) C existe 0 ψ (τ) AC de tal modo que para H = ψ, ϕ se verifica: o sistema hamiltoniano a condição do máximo ( H x(t), ψ(t), ) ũ(t) = M e ainda M ( x (t), ψ ) (t) x = H ψ, ψ = H x, ( x (t), ψ ) (t) const 0 =sup u U H ( x(t), ψ(t), ) u

18 Aplicabilidade do Princípio do Máximo Para aplicar o Princípio do Máximo ao problema de tempo mínimo com o espaço de controlos estendido (compactificado) precisamos que a respectiva extensão do segundo membro seja da classe C 1. Para isso exigimos que γ>0, β<2, µ max {β 1, 1} e η IR: ( L x i + L t ) v µ γl β + η

19 Aplicação do PMP e conclusão ( t, z, w ) ( sol. do problema PMP = 0 ψt, ψ ) z AC: ψ t (τ)+ ψz (τ), v L ( t(τ), z(τ), v ) = c 0 sup v IR n c =0 ψ z (τ) 0 ψ t (τ) 0 v = (absurdo) e por conseguinte c>0 Conclusão: cl= ψ t + ψz, ṽ M + M ṽ θ ( ṽ ) ṽ L ṽ c 1 M 1+ ṽ ṽ 2 c 1 M, quando ṽ 1 Pode ser obtida estimativa superior de ṽ

20 Teorema: Sob as hipóteses (H1) L (,, ) C 1 (H2) L (t, x, v) θ ( v ) >ζ, Enunciado do Teorema lim v + v θ ( v ) =0 (H3) existem constantes γ>0, β<2, µ max {β 1, 1} e η: ( L x i + L t ) u µ γl β + η as soluções (caso existam) de (P) são Lipschitzianas. 1 [ (ẋ4 Exemplo: +1 ) 3 e (ẋ 4 +1)(t+ π 2 arctan x ) ] dt min 0 Nenhuma das condições conhecidas de regularidade é aplicável O teorema acima permite concluir que a solução Lip

21 Esquema da demonstração 1) Reduzir o problema a um de tempo mínimo. 2) Compactificar o conjunto dos controlos e o conjunto das velocidades admissíveis. 3) Verificar a aplicabilidade do Princípio do Máximo 4) Aplicar o PMP e: 4.1) garantir que a constante dada pela condição do máximo é estritamente positiva c>0 4.2) tirar a conclusão pretendida o controlo óptimo deve ser limitado (consegue-se estimativa superior)

22 Teorema para problemas de ordem superior Teorema: Sob as hipóteses (H1) L ( ) C 1 (H2) θ ( ) :L ( t, x, ẋ,..., x (m)) θ ( x (m) ) >ζ,e r lim r + θ (r) =0 (H3) existem constantes γ>0, β<2, µ max {β 1, 1} e η: ( L x (i) + L t ) x (m) µ γl β + η, i {0,..., m 1} as soluções para (P m ) a W m, (m-ésima derivada limitada). Para provar c>0 precisamos de envolver o sistema hamiltoniano

23 Caso particular Corolário: Se x( ) é solução de b a L ( x (m) (t) ) dt min, x( ) W m, 1 então x( ) W m,, desde que L C 1 e x (m) IR n L ( x (m)) x (m) α + ξ, (α >1). Exemplo: (significado físico para o minimizante a aceleração é limitada) 1 0 ẍ 2p (t) dt min (p IN) x (0) = x 0,x(1) = x 1, ẋ (0) = v 0, ẋ (1) = v 1

24 Parte III - Conclusão e Perspectivas...regularity theory for the optimal control problem, outside very special situations where it can be reduced to the basic problem in the calculus of variations, is, to date, a completely undeveloped area of research. Clarke & Vinter, [p. 228, 10]

25 Panorama no Controlo Óptimo O Princípio do Máximo pode não ser válido no espaço onde é formulado o teorema da existência (Teorema de Filippov) a discrepância continua Resultados existentes (Clarke & Vinter, 1990): b a L (t, x, u) dt min ẋ (t) =A x(t)+b u(t)+d (t) x (a) =x a,x(b) =x b (sistema linear) Se γ ( ) integrável t.q. L x + L u γ (t) então ũ é limitado A abordagem de Clarke & Vinter está baseada na passagem ao problema do CV

26 Trabalho futuro (em curso) Classe importante de prob. de controlo óptimo não lineares são: b a L (t, x, u) dt min ẋ (t) =f (x (t)) + g (x (t)) u (t) x (a) =x a,x(b) =x b modelos cinemáticos em mecânica e geometria generaliza o problema anterior (= ϕ (x, u)) No seguimento da abordagem aqui proposta: seũ é extremal de Pontryagin normal e i {1,..., n} ( L x i + Lϕ x i L x i ϕ + L t ϕ ) ϕ µ γl β + η então ũ é limitado em [a, b] γ>0, β<2, µ max {β 2, 2}

27 Resumo Os pontos fortes da abordagem aqui proposta são: permite obter resultados para problemas não abrangidos pelas condições existentes Exemplo: 1 [ (ẋ4 J [x ( )] = +1 ) 3 e (ẋ 4 +1)(t+ π 2 arctan x ) ] dt min 0 (Obs.: verifica as condições do teorema da existência de Tonelli) Nenhuma das condições conhecidas de regularidade é aplicável, enquanto o resultado apresentado permite concluir que a solução Lip A abordagem é estendível a problemas mais gerais: do Cálculo das Variações e do Controlo Óptimo