Circuitos Elétricos I

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1 Universidade Federal do ABC Eng. De Instrumentação, Automação e Robótica Circuitos Elétricos I Capacitores e Indutores Redes de Primeira Ordem Circuitos RC e RL Prof. José Azcue; Dr. Eng. 1

2 Capacitor O capacitor é um elemento passivo projetado para armazenar energia em seu campo elétrico. A tensão nos terminais do elemento é definida unicamente pela carga acumulada no elemento. Símbolo: q(t) = Cv(t) i(t) = C dv(t) dt 2

3 Capacitor Tensão no capacitor: Energia Potência w 1 2 C v 2 3

4 Capacitor 1. O capacitor é um circuito aberto em CC; v(t) constante i t = C dv t dt = 0 (circuito aberto) 2. A tensão é um capacitor não pode mudar abruptamente Uma mudança descontinua na tensão requer uma corrente infinita (o que é fisicamente impossível). 4

5 Associação de capacitores 1. Associação paralelo: LKT i = i 1 + i 2 + i i N dv i = C 1 dt + C dv 2 dt + C dv 3 dt + + C dv N dt N i = C k k=1 dv dt = C dv eq dt C eq = C 1 + C 2 + C C N 5

6 Associação de capacitores 1. Associação serie: LKC v = v 1 + v 2 + v v N v = 1 C 1 t i τ dτ + v 1 t t i τ dτ + v t 0 C 2 t t i τ dτ + v 2 t 0 C 3 t 0 3 t 0 t i τ dτ + v C N (t 0 ) N t 0 v = N 1 C k k=1 t i τ dτ + v 1 t 0 + v 2 t 0 t 0 + v 3 t v N t 0 = 1 t i τ dτ C eq t 0 + v(t 0 ) 1 C eq = 1 C C C C N 6

7 Indutor O indutor é um elemento passivo projetado para armazenar energia em seu campo magnético. A corrente que flui pelo elemento é definida unicamente pelo fluxo magnético do elemento. Símbolo: ψ(t) = Li(t) v t = L di(t) dt 7

8 Indutor A corrente Energia Potência 8

9 Indutor 1. O indutor é um curto-circuito em CC; i(t) constante v t = L di(t) dt = 0 (curto-circuito) 2. A corrente através de um indutor não pode mudar instantaneamente. Uma mudança descontinua na corrente através de um indutor requer uma tensão infinita (o que não é fisicamente possível) 9

10 Associação de Indutores 1. Associação serie: LKT v = v 1 + v 2 + v v N di v = L 1 dt + L di 2 dt + L di 3 dt + + L di N dt N v = L k k=1 di dt = L eq di dt L eq = L 1 + L 2 + L L N 10

11 Associação de indutores 1. Associação paralelo: LKC i = i 1 + i 2 + i i N i = 1 L 1 t v τ dτ + i 1 t t v τ dτ + i t 0 L 2 t t v τ dτ 2 t 0 L L N t v τ dτ + i N (t 0 ) t 0 t 0 + i 3 t 0 i = N 1 L k k=1 +i 3 t i N t 0 = 1 L eq t v τ dτ + i 1 t 0 + i 2 t 0 t 0 t v τ dτ + i(t 0 ) t 0 1 = L eq L 1 L 2 L 3 L N 11

12 Circuito RC e RL de Primeira Ordem Circuitos compostos por resistores e um elemento armazenador de energia (ou vários elementos que podem ser associados num único equivalente) : indutor ou capacitor WL 1 2 Li 2 WC 1 2 Cv 2 As tensões e correntes nos circuitos RL e RC são descritas por equações diferenciais de primeira ordem 12

13 Circuito RC sem fontes (resposta natural) Considere o circuito da figura abaixo. Capacitor inicialmente carregado e fornecendo energia após a chave ser aberta. Como a tensão no capacitor não pode variar abruptamente, tem-se que: V c 0 = V c 0 + = V c 0 = V o 13

14 Circuito RC sem fontes O circuito anterior após a chave abrir. a Capacitor carregado com tensão V o em t = 0. Energia em t = 0, w 0 = 1 2 CV o 2 Aplicando a LKC no nó a i C + i R = 0 14

15 Circuito RC sem fontes Sendo i c t = C dv(t) dt i R (t) = v(t) R Então: i C + i R = 0 C dv(t) dt + v(t) R = 0 dv(t) v(t) = 1 RC dt Integrando ambos os lados dv(t) v(t) = 1 RC t dt ln v t = RC + K v t t ( = e RC +K ) = Ae t RC 15

16 Circuito RC sem fontes K é uma constante de integração e é determinado pelas condições iniciais. Em t = 0 v t t ( = e RC +K ) = Ae t RC v 0 = A = V o v t = V o e t RC 16

17 Circuito RC sem fontes A velocidade de decaimento da tensão é expressa através de um termo denominado constante de tempo denotada pela letra grega τ (tau). v t τ = RC Para t = τ v t = V o e t RC = V o e t τ = V o e 1 = 0, 368 V o Por tanto a constante de tempo de um circuito é o tempo necessário para que a resposta caia por um fator de 1/e, ou seja 36,8% do seu valor inicial. 17

18 Circuito RC sem fontes V c t = V o e 1 τ t V o = 100 τ = 2 18

19 Circuito RC sem fontes reta tangente Reta tangente à curva em t = 0 intercepta o eixo de t em t = τ. Função v 1 (reta tangencial) A reta intercepta o eixo do tempo em v 1 = 0, o que requer que t = τ. 19

20 Circuito RC regime permanente v t = V o e t τ V o = 100 Calculando a tensão no capacitor para t = τ, 2τ, 3τ, 4τ, 5τ, tem-se a seguinte tabela Tempo (t) Geralmente se considera que o circuito atingiu o regime permanente após transcorrido um tempo igual a 5τ V(t) τ 36,788 2τ 13,534 3τ 4,979 4τ 1,832 5τ 0,674 20

21 Circuito RC sem fontes diferentes τ V c t = V o e 1 τ t V o =

22 Problema prático 7.1 Para o circuito da figura abaixo. Seja Vc(0)=60V. Determine vc, vx e io, para t>=0. Rpta: vc=60exp(-0,25t) V;vx=20exp(0,25t) V e io=-5exp(-0,25t)a 22

23 Circuito RL sem fontes (resposta natural) O indutor inicialmente carregado está fornecendo energia após a chave ser aberta. Como a corrente no indutor não pode variar abruptamente, tem-se que: i 0 = i 0 + = i 0 = I o 23

24 Circuito RL sem fontes O circuito anterior após a chave abrir. A corrente inicial I o no indutor em t = 0, Energia em t = 0, w 0 = 1 2 LI o 2 Aplicando a LKT na malha interna V L + V R = 0 24

25 Circuito RL sem fontes Sendo V L t = L di(t) dt V R (t) = Ri t Então: V L + V R = 0 L di(t) dt + i t R = 0 di(t) i(t) = R L dt Integrando ambos os lados di(t) i(t) = R L dt ln i t = R L t + K i t = e ( R L t+k) = Ae R L t 25

26 Circuito RL sem fontes K é uma constante de integração e é determinado pelas condições iniciais. Para t = 0 i t = e ( R L t+k) = Ae R L t i 0 = A = I o i t = I o e R L t = I o e t τ τ = L R V L = L di(t) dt = RI o e R L t 26

27 Problema prático 7.3 Determine i e vx no circuito da figura abaixo. Considere i(0)=12a. Rpta: i=12exp(-2t) A e vx=-12exp(-2t) V, t>0. 27

28 Funções de singularidade São funções que são descontinuas ou então que apresentam derivadas descontinuas. A três funções de singularidade mais usadas na análise de circuitos: degrau unitário, impulso unitário e rampa unitária. A função degrau unitário u(t) é 0 para valores negativos de t e é 1 para valores positivos de t. Em termos matemáticos: u t 0, t 0 1, t 0 28

29 Degrau unitário Se a mudança abrupta ocorre em t=to, u t t 0 0, 1, t t t t 0 0 Se a mudança abrupta ocorre em t=-to u t + t 0 = 0, t < t 0 1, t > t 0 29

30 Circuito equivalente Fonte de tensão V 0 u(t) e seu circuito equivalente Fonte de corrente I 0 u(t) e seu circuito equivalente 30

31 Função impulso unitário A derivada da função degrau unitário resulta numa função impulso unitário. t 0 t 0 Undefined t 0 0 t 0 Uma tensão desta forma ocorre durante operações de comutação. 31

32 Função rampa unitária A integração da função degrau unitário resulta numa função rampa unitária. r t 0, t 0 t, t 0 32

33 Resposta a uma função excitação constante Circuitos que além de uma energia inicial armazenada, são excitados por fontes independentes e constantes de tensão ou de corrente (funções de excitação). A resposta destes circuitos consiste de duas partes, na qual uma delas é sempre uma constante. Capacitor: v(0 ) = V0 33

34 Resposta a uma função excitação constante Para t > 0, a chave é fechada: Capacitor: v(0+) = v(0 ) = V0 E a equação nodal no nó superior fica: 34

35 Resposta a uma função excitação constante Resolvendo pelo método de separação de variáveis: 35

36 Resposta a uma função excitação constante 36

37 Resposta a uma função excitação constante A solução geral possui duas partes: uma função exponencial idêntica a da resposta natural de circuitos RC sem fontes (resposta natural vn). uma função constante, dada por RI0, devida integralmente à função de excitação (resposta forçada vf). 37

38 Resposta a uma função excitação constante Com o passar do tempo a resposta natural desaparece e a solução fica simplesmente RI0. Valor de A deve ser escolhido de forma a satisfazer a condição de tensão inicial. Em t = 0+: V 0 + = V 0 = V o 38

39 Resposta a uma função excitação constante Portanto, em t = 0+, substituindo na solução temos requer que substituindo na solução temos 39

40 Resposta a uma função excitação constante Resposta natural vn para V0 RI0 > 0 e a resposta forçada vf: Resposta completa v: 40

41 Resposta a uma função excitação constante Corrente no capacitor para t > 0: Corrente no resistor para t > 0: Tensão no resistor muda abruptamente de RI0 em t = 0 para V0 em t = 0+. Enquanto que, a tensão no capacitor é contínua. 41

42 Resposta a uma função excitação constante Resposta transitória: porção da resposta completa que tende a zero com o aumento do tempo. Resposta em regime permanente: porção da resposta completa que permanece após a resposta transitória ter se anulado. 42

43 Resposta a um degrau: circuito RC A resposta completa pode ser escrita como: Para quando a chave muda em t=0 v t = v + [v 0 v ]e t τ Para quando a chave muda em t=t 0 v t = v + [v t 0 v ]e (t t 0) τ Encontrar a resposta a um degrau requer três coisas: 1. Tensão inicial v(0) no capacitor. 2. A tensão final v no capacitor. 3. A constante de tempo τ. 43

44 Resposta a um degrau: circuito RL A resposta completa pode ser escrita como: Para quando a chave muda em t=0 i t = i + [i 0 i ]e t τ Para quando a chave muda em t=t 0 i t = i + [i t 0 i ]e (t t 0) τ Encontrar a resposta a um degrau requer três coisas: 1. Corrente inicial i(0) no indutor. 2. A corrente final i no indutor. 3. A constante de tempo τ. 44

45 Problema prático 7.10 Determinar v(t) para t>0 no circuito da figura abaixo. Suponha que a chave esteja aberta há um longo período e que é fechada em t=0. Calcule v(t) em t=0,5s. Rpta: v(t)=9,375+5,625exp(-2t) V para qualquer t>0; v(0,5)=11,444v 45

46 Problema prático 7.12 A chave da figura abaixo foi fechada por um longo tempo, sendo aberta em t=0. Determine i(t) para t>0. Rpta: i(t)=4+2exp(-10t) A para qualquer t>0. 46

47 Procedimento simplificado Obtenção dos valores de correntes e tensões de circuitos, sem fontes dependentes, pela formulação da solução através de inspeção do circuito. Exemplo: Calcular i2 para t > 0, dado que i2(0) = 1 A: 47

48 Procedimento simplificado Sabemos que: i2n = resposta natural = mesma forma que a resposta sem fontes. i2f = resposta forçada = constante (regime permanente). Determinar a resposta natural: i2n Pode-se ver a rede sem função excitação (fonte de 10 V é curtocircuitada): 48

49 Procedimento simplificado Determinar a resposta forçada: i2f Olhando o circuito quando i2n = 0, nesta hora o indutor é um curto-circuito, onde Portanto 49

50 Procedimento simplificado A constante A é determinada a partir da condição inicial i2(0)=1: portanto, A = 1/2. Assim, a solução é dada por: Obs.: O cálculo de A deve ser feito sempre aplicando a condição inicial à resposta completa. 50

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52 Problema 7.6 A chave na figura abaixo foi fechada há um bom tempo e é aberta em t=0. Determine v(t) para t>=0. Rpta: v(t)=6,667exp(-12,5t) V 52

53 Problema 7.9 A chave da figura abaixo abre em t=0. Determine vo para t>0. Rpta: vo(t)=4exp(-t/12) V. 53

54 Problema 7.18 Considere o circuito da figura abaixo. Determine vo(t) quando i(0)=5a e v(t)=0. Rpta: vo(t)=6exp(-3t) V. 54

55 Problema 7.19 No circuito da figura abaixo, determine i(t) para t>0 se i(0)=6a. Rpta: i(t)=6exp(-5t)u(t) A 55

56 Problema 7.46 Para o circuito da figura abaixo, is(t)=5u(t). Determine v(t). Rpta: v(t)=30(1-exp(-t/2))u(t) V. 56

57 Problema 7.63 Obtenha v(t) e i(t) no circuito da figura abaixo. Rpta: v(t)=-8exp(-8t)u(t) V e i(t)=2exp(-8t)u(t) A. 57

58 Próxima Aula 1. Redes de Primeira Ordem (Cont. ) 58

59 Referências 1. ALEXANDER, C. K.; SADIKU, M. N. O. Fundamentos de Circuitos Elétricos, 5ª edição, Ed. Mc Graw Hill, ORSINI, L.Q.; CONSONNI, D. Curso de Circuitos Elétricos, Vol. 1( 2ª Ed ), Ed. Blücher, São Paulo. 3. CONSONNI, D. Transparências de Circuitos Elétricos I, EPUSP. 4. BALDINI, R. Transparências de Circuitos Elétricos, UNICAMP. 5. BELATI, E. Transparências de Circuitos Elétricos I, UFABC. 6. NILSSON, J.W., RIEDEL, S. A. Circuitos Elétricos, 8ª Ed., Editora Pearson,