Aula 22. Circuitos de primeira ordem 3 RL

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1 Aula 22 Circuitos de primeira ordem 3 L

2 Definições Os circuitos L, assim como os circuitos C, compõe os circuitos de primeira ordem (equação diferencial de primeira ordem) i L (t) = 1 L t0 tv(t) dt + i(t 0 ) v L (t) = L di L(t) dt

3 Tipos de resposta L esposta Natural (sem fonte) esposta Forçada (a um degrau) esposta natural ou carga ou resposta sem fonte, se refere ao comportamento de corrente ou tensão do circuito, sem a presença de uma fonte esposta forçada ou carga ou resposta ao degrau, se refere ao comportamento de corrente ou tensão do circuito, com a presença de uma fonte

4 esposta forçada L A corrente do indutor não muda de forma abrupta 0 representa o instante anterior ao chaveamento 0 + representa o instante postareior ao chaveamento i L 0 + = i L 0 = I 0 Análise da malha do indutor v s = i L + v L v s = i L + L di L dt v s i L = L di L dt v s i L L = di L dt Diferenciando em relação ao tempo v s i L L dt = di L 1 L dt = 1 di v s i L L L dt = i L v s di L

5 esposta L Integrando ambos os lados L dt = i L v s di L ln i L(t) v s I 0 v s = t L I 0 i L (t) i L v s di L = 0 t L dt i L (t) v s I 0 v s = e t L ln i L v s i L t I 0 = t L t 0 i L (t) v s = (I 0 v s )e t L i L t = v S + I 0 v s e t L ln i L (t) v s ln I 0 v s = t L

6 esposta L i L t = v S + I 0 v s e t L OU i L t = I S + I 0 I s e t L Equação geral, valida para C ou L τ = C e x = v C x t = x( ) + x(0) x( ) e t τ τ = L e x = i L

7 esposta L forçada (a degrau) i L t = v S + I 0 v s t e τ I 0 0 Caso o indutor não possua uma corrente inicial: I 0 = 0 i L t = v s t 1 e τ I 0 = 0

8 esposta L forçada (a degrau) Para calcularmos a corrente no capacitor, basta derivarmos a tensão. Sabemos que: v L t = L di L dt i L t = v s + I 0 v s t e τ v L t = (v s I 0 )e t τ v L t = v s e t τ se I 0 = 0

9 esposta L forçada (a degrau) i L t = v s t 1 e τ OU v L t = v s e t τ

10 esposta L forçada (a degrau) Como observado nos gráficos anteriores, a constante... L ou 1 τ onde τ = L...faz referência ao tempo de carga (ou descarga ) do indutor (S.I. tempo=seg.). Da mesma forma que a constante C é constante de tempo nos circuitos C, L\ é a constante de tempo nos circuitos L. Quanto maior a constante de tempo, maior o tempo para carga ou descarga, seja nos circuitos C, seja nos circuitos L

11 esposta L forçada (a degrau) Neste exemplo a constante de tempo (tau) é igual a: τ = L = 1m 10 = 0, 1ms ** A unidade de tal é o segundo Tempo e t τ Corrente Tensão % t = 1τ 0, ,63212A 3,6788V 63,212% t = 2τ 0, ,86466V 1,3534V 86,466% t = 3τ 0, ,95021V 0,4979V 95,021% t = 4τ 0, ,98168V 0,1832V 98,168% t = 5τ 0, ,99326V 0,0674V 99,326% i L t = t (1 e τ) i L 5τ = 10 5τ (1 e τ ) 10 v L t = 10e t τ

12 esposta L forçada (a degrau) esposta transiente: resposta temporária do circuito que se extinguirá com o tempo i completa = i estac + i trans i t = i + i 0 i e t τ esposta em regime estacionário: comportamento um longo tempo após excitação

13 esposta L natural A resposta natural de um circuito L avalia a descarga do indutor. Uma vez que o indutor possua energia armazenada (I 0 0) em seu campo magnético, a transferência da energia dar-se-á pela queda exponencial da corrente. Uma vez que a corrente no indutor, não pode variar bruscamente a direção do fluxo de corrente permanece a mesma. Para economizarmos a dedução da resposta natural do circuito L, vamos utilizar o mesmo circuito da dedução da resposta forçada, porém considerando que: I s = 0 e I 0 0

14 esposta L natural esposta forçada: i L t = v S + I 0 v s t e τ τ = L esposta natural: I 0 0 e V s = 0 i L t = I 0 e t τ τ = L

15 esposta L natural i L t = I 0 e t τ τ = L v L t = L di L dt v L t = I 0 e t τ τ = L Por que a tensão é negativa? Deduzimos a relação de tensão utilizando os parâmetros do circuito anterior (resposta forçada), portanto a referência da tensão continua a mesma. A transferência de energia do indutor para uma carga é efetuada por meio do decaimento exponencial da corrente. Para o campo magnético existir, é necessário um fluxo de cargas e a dinâmica deste fluxo não varia de forma brusca. Assim, para que o indutor se comporte como o componente que transfere energia (potência negativa corrente na elevação de tensão), a referência da tensão é invertida instantaneamente.

16 esposta L Exemplo: Qual o tempo para alcançar aproximadamente 99% da carga (5τ) do indutor, qual o tempo para transferir aproximadamente 99% da energia armazenada, encontre 0 e 0 + da tensão e da corrente do indutor. Encontre as equações, de tensão e corrente, que representa a resposta a degrau e a resposta natural do indutor. *A energia inicial do indutor é igual a zero. (fecha em t=0) (depois de 22ms abre)

17 esposta L 1) esposta forçada V th = = 5V th = = 5Ω τ 1 = L th = 20m 5 = 4ms 5τ 1 = 20ms i L t = v s 1 e t τ v L t = v s e t τ * Note que Vs e são agora as relações de Thevénin i L t = 1 1 e 250t A v L t = 5e 250t V i 0 = i 0 + = 0A v 0 = 0V i 22m 1A v 0 + = 5V

18 esposta L 2) esposta Natural τ 2 = 20m 10 = 2ms 5τ 2 = 10ms i L t = I 0 e t τ i L t = 1 e 500t A v L t = I 0 e t τ v L t = 10e 500t V i L 22m = i 22m + = I 0 = 1A v L 22m = 0V v L 22m + = 10V Essa seria a resposta se considerássemos que t = 0 para a resposta natural, porém como t 0. i L t = 1 e 500(t 22m) A v L t = 10e 500(t 22m) V

19 esposta L Corrente i 22m = i 22m + 1A Chave abre i 0 = i 0 + = 0A 5τ 1 5τ 2 v 0 + = 5V Tensão v 22m = 0V v 0 = 0V Inversão da polaridade v 22m + = 10V

20 esposta L 3) Como expressar a resposta do circuito? t < 0 i L t = 0A 0 t < 22m i L t = 1 1 e 250t A t 22m i L t = 1 e 500(t 22m) A t < 0 v L t = 0V 0 t < 22m v L t = 5e 250t V t 22m v L t = 10e 500(t 22m) V

21 Exercícios Exercício: Caso a chave passasse apenas 3m segundos fechada. Como seria a equação da corrente para a resposta natural? Qual será o tempo para descarregar o indutor?

22 Exercícios Exercício: Caso a chave passasse apenas 3m segundos fechada. Como seria a equação da corrente para a resposta natural? Equação para resposta forçada i L t = 1 1 e 250t A i L 10m = 1 1 e 0,75 = 0, 53A Neste caso I0 seria igual a 0,53A. O indutor não atingiria sua saturação i L t = I 0 e t τ t < 0 i L t = 0 0 t < 3m i L t = 1 1 e 250t A i L t = 0, 53 e 500(t 3m) A t 3m i L t = 0,53 e 500(t 3m) A

23 Exercícios Exercício: Caso a chave passasse apenas 3m segundos fechada. Como seria a equação da corrente para a resposta natural? I 0 = 0,53A 10ms A constante de tempo independe de I0

24 Exercício: A chave passou um longo período fechada. Encontre i(t). Exercícios

25 Exercícios Exercício: A chave passou um longo período fechada. Encontre i(t) = 4 12 = 3Ω i 4 12 = 40 5 = 8A I 4Ω = I 0 = 8 12 Como o indutor se comporta como um curto circuito, não há corrente no resistor de 16Ω, assim se encontrarmos a corrente que passa pelo τ = = 8Ω τ = L = 2 8 = 0,25s 1 τ = = 6A resistor de 4Ω teremos I0. i t = 6 e 4t A

26 Exercícios Exercício: A chave passou um longo período fechada. Encontre i(t). I 0 = 6A t = 0 i t = 6 e 4t A