Eletromagnetismo - Instituto de Pesquisas Científicas AULA 09 CIRCUITO RC

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1 ELETROMAGNETISMO

2 AULA 09 CIRCUITO RC

3 A PONTE DE WHITESTONE Antes de inserirmos um novo elemento em nosso circuito vamos estudar um caso especial de montagem (de circuito) que nos auxilia na determinação de um resistor desconhecido. A essa montagem damos o nome de ponte de Whitestone. Ela é montada como se segue:

4 Nosso objetivo é determinar o valor do resistor R 4 (supondo que saibamos os valores dos outros resistores). Para isso colocamos um aparelho no centro do sistema cuja função é medir pequenas correntes. Esse aparelho é o galvanômetro e é representado por um G. Para determinar o valor de R 4 devemos fazer com que a ponte esteja em equilíbrio. Isso quer dizer que a corrente medida em G tem de ser zero ( i CD = 0 = i DC ). Os potenciais, portanto, são: V AC = i 1 R 1 V CB = i 1 R 2 V AD = i 2 R 3 V DB = i 2 R 4 Analisando os pontos de potencial desse circuito, vemos que: V AC = V AD V CB = V DB

5 Para entender o que foi feito anteriormente, note que esse circuito pode ser colocado como um circuito com R 1 e R 2 em série e paralelos com R 3 e R 4 (que estão em série entre si). Logo, os potencias nos extremos são iguais (mas note que um extremo diz respeito ao fio que está ligado ao galvanômetro, nos pontos C e D). A partir disso: i 1 R 1 = i 2 R 3 i 1 R 2 = i 2 R 4 Dividindo a equação de cima pela de baixo, obtemos: R 1 = R 3 R 2 R 4 Ou então: R 1 R 4 = R 3 R 2 E assim obtemos uma relação simples que determina o valor do resistor procurado. Não há muito o que falarmos sobre isso. Vamos analisar um circuito um pouco mais interessante agora, colocando um elemento já conhecido: o capacitor!

6 O CIRCUITO RC Circuitos que apresentam resistores e capacitores são chamados de circuitos RC. No circuito abaixo temos uma fonte de alimentação (uma bateria) e uma chave que abre e fecha o circuito. Se a chave é colocada na posição a, então o circuito se fecha e uma corrente é gerada, passando pelo resistor e chegando até o capacitor, onde passa a carrega-lo.

7 Olhando para esse circuito como uma malha, podemos aplicar as leis de Kirchhoff. Sabendo que o potencial no capacitor é dado por q/c e percorrendo a malha no sentido horário (iniciando na bateria com V = E) teremos: E ir q C = 0 Note que no capacitor estamos indo do terminal positivo para o negativo, logo o potencial é q/c. Se fôssemos no sentido oposto, seria +q/c. A corrente em um circuito RC não se mantém constante, como era o caso até então. O que ocorre é que o capacitor é carregado e descarregado com o tempo e isso altera a corrente no circuito. Nosso próximo passo para a resolução de um circuito RC é aplicar um pouco de álgebra e equações diferenciais. Segure-se e tenha calma, a resolução é bem simples!

8 A lei das malhas nos forneceu: Lembremos que, da definição de corrente: Logo: Vamos dividir tudo por R: Isolando o termo diferencial: E ir q C = 0 i = dq dt E dq dt R q C = 0 E R dq dt q RC = 0 dq dt = E R q RC dq dt = CE q RC q CE = RC

9 Portanto, devemos simplesmente resolver essa equação diferencial, que nada mais é do que uma equação separável. Então: dq q CE = 1 RC dt Integrando ambos os lados: q dq 0 q CE = 1 t dt RC 0 A integral da direita é trivial. A da esquerda também é, mas precisamos fazer uma substituição. Chamando u = q CE e derivando: du = dq Como C e E são constantes, então o produto entre eles é constante, de modo que a derivada deles é zero. Então, nossa integral se torna: u du u 0 u = t RC Agora a integral do lado esquerdo ficou muito fácil. O resultado se torna: ln q CE CE = t RC

10 Tirando o exponencial de ambos os lados: q CE = e t/rc CE q CE = CEe t/rc q = CEe t/rc + CE Logo, nossa solução se torna: q t = CE 1 e t/rc Sendo Q = CE a carga final no capacitor: q t = Q 1 e t/rc Esse resultado é muito importante. Note que para t = 0 a carga no capacitor é nula! A partir desse resultado, podemos analisar a corrente no capacitor. Para isso, fazemos: i = dq dt Ou seja, derivamos a equação de q(t): 1 i(t) = CE RC e t/rc

11 O que fornece: i t = E R e t/rc Definindo i 0 = E/R: i t = i 0 e t/rc Atente que o produto RC possui dimensão temporal, logo podemos definir a constante de tempo capacitiva como: τ = RC Os gráficos a seguir nos fornecem a corrente e a carga no capacitor em função do tempo:

12 Retornando ao nosso circuito RC, vamos colocar a chave na posição b. Ao fazer isso, fechamos um circuito apenas entre o capacitor e o resistor. Isso fará com que o capacitor comece a ser descarregado (a bateria não está mais alimentando o sistema). Supondo que a carga no capacitor seja q, a lei de Kirchhoff nos dará: q C ir = 0 Note que a corrente na descarga vai da placa negativa para a positiva no capacitor. O capacitor está perdendo energia, portanto podemos escrever a corrente como: i = dq dt Então, a lei de Kirchhoff ficará: R dq dt + q C = 0

13 Resolvendo essa equação diferencial encontraremos: q t = Qe t/rc i t = dq dt = i 0e t/rc Onde i 0 = Q/RC. Vejamos um exemplo: um capacitor está descarregando através de uma resistência R. Em termos da constante de tempo τ = RC, em que instante a carga no capacitor será metade do valor inicial? Para resolver esse exercício fazemos: q = Qe t/rc = 1 2 Q e t/rc = 1 2 Tirando o logaritmo natural de ambos os lados: t RC = ln 1 2 t = RC ln 2 0,69τ

14 Hora da reflexão: como se comporta um capacitor no exato momento em que uma chave é fechada para carrega-lo? E como ele se comportará depois de um longo tempo sendo alimentado?

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