1. dois nós: B e F. 2. três ramos: BAEF, BDF e BCGF. 3. três malhas: ABDFEA, BCGFDB e ABCGFEA A SOMA ALGÉBRICA DAS CORRENTES EM UM NÓ

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1 Capítulo 6 Leis de Kirchhoff 6.1 Definições Em alguns casos, um circuito não pode ser resolvido através de associações em série e paralelo. Nessas situações geralmente são necessárias outras leis, além da lei de Ohm, para sua resolução. Estas leis adicionais são as leis de Kirchhoff, as quais propiciam uma maneira geral e sistemática de análise de circuitos. Elas são duas, a saber: Primeira lei de Kirchhoff ou lei das Correntes Segunda lei de Kirchhoff ou lei das Tensões Para o uso destas leis são necessárias algumas definições: Nó: é um ponto do circuito onde se conectam no mínimo três elementos. É um ponto onde várias correntes se juntam ou se dividem. Ramo ou braço: é um trecho de um circuito compreendido entre dois nós consecutivos. Todos os elementos pertencentes ao ramo são percorridos pela mesma corrente elétrica. Malha: é um trecho de circuito que forma uma trajetória eletricamente fechada. 1. dois nós: B e F 2. três ramos: BAEF, BDF e BCGF 3. três malhas: ABDFEA, BCGFDB e ABCGFEA 6.2 Primeira Lei de Kirchhoff Uma boa introdução à Primeira Lei de Kirchhoff já foi vista no circuito paralelo. Num dado nó entrava a corrente total do circuito e do mesmo nó partiam as correntes parciais para cada resistor. Como no nó não há possibilidade de armazenamento de cargas ou vazamento das mesmas, tem-se que a quantidade de cargas que chegam ao nó é exatamente igual à quantidade de cargas que saem do nó. Desta constatação surge o enunciado da primeira lei de Kirchhoff: A SOMA ALGÉBRICA DAS CORRENTES EM UM NÓ É SEMPRE IGUAL A ZERO. n i=0 I i = 0 (6.1) Por convenção, consideram-se as correntes que entram em um nó como positivas e as que saem como negativas. Considere o circuito da figura 6.2. Ao se aplicar a lei de Kirchhoff das correntes aos nós B e F, obtém-se: Nó B: I 1 + I 2 I3 = 0 Nó F: I 1 I 2 + I3 = 0 Figura 6.1: Circuito elétrico com dois nós Na figura 6.1, por exemplo, identifica-se: Observa-se que as equações dos nós B e F são na realidade as mesmas, ou seja, a aplicação da lei das correntes de Kirchhoff ao nó F não aumenta a informação sobre o circuito. Assim, o número de equações independentes que se pode obter com a aplicação da lei das correntes de Kirchhoff em um circuito elétrico é igual ao número de nós menos um. Se equação do nó B, isolarmos de um lado da igualdade as correntes que chegam no nó (nesse caso I 1 e I 2 ) e 57

2 um potencial mais elevado. Nas quedas de tensão as cargas se dirigem para um potencial mais baixo havendo o consumo da energia das cargas convertendo-a para uma forma de energia não-elétrica, por exemplo, calor, luz etc. Assim, ao percorrer uma malha fechada, percebese que toda a energia entregue às cargas num trecho do circuito elétrico é dissipada num outro trecho. A tensão, por definição, está associada à energia cedida às cargas ou retirada das mesmas durante o seu movimento. Daí é obtido o enunciado da Segunda Lei de Kirchhoff: Figura 6.2: A SOMA ALGÉBRICA DAS TENSÕES (f.e.m.s e quedas de tensão) AO LONGO DE UMA MALHA ELÉTRICA É IGUAL A ZERO. do outro lado as correntes que saem do mesmo nó (nesse caso apenas a I 3 ), temos: I 1 + I 2 = I3 Observando o resultado da equação podemos concluir que a soma das correntes que entram no nó é igual a soma das correntes que saem dele. Essa é uma outra forma de se interpretar a primeira lei de Kirchhoff. 6.3 Segunda Lei de Kirchhoff A lei de Kirchhoff das tensões é aplicada nas malhas. Ela já foi usada no estudo dos circuitos de resistores em série, onde a soma das quedas de tensão nos resistores é igual à f.e.m. da fonte. Se no circuito existe mais de uma fonte de f.e.m. deve-se determinar a resultante das mesmas, ou seja, somá-las considerando os seus sentidos relativos. n i=0 V i = 0 (6.2) Para a aplicação da lei de Kirchhoff das tensões, fazse necessário adotar alguns procedimentos que são descritos a seguir: 1. Atribuir sentidos arbitrários para as correntes em todos os ramos; 2. Polarizar as fontes de f.e.m. com positivo sempre na placa maior da fonte, conforme a figura 6.4; Figura 6.4: 3. Polarizar as quedas de tensão nos resistores usando a convenção de elemento passivo e sentido convencional de corrente elétrica. Isto equivale a colocar a polaridade positiva da queda de tensão no resistor no terminal por onde a corrente entra no mesmo, conforme a figura 6.5; Figura 6.3: E t = V AB +V BC +V CD Como a tensão em um resistor pode ser calculada pela lei de Ohm, temos: E 1 E 2 = R 1 I + R 2 I + R 3 I +E 2 E 1 + R 1 I + R 2 I + R 3 I = 0 Entenda-se que, na fonte de f.e.m., uma forma de energia não-elétrica é convertida para elétrica cedendo energia para as cargas, ou seja, colocando as cargas em Figura 6.5: 4. Montar a equação percorrendo a malha e somando algebricamente as tensões. O sinal da tensão corresponde ao sinal da polaridade pela qual se ingressa no componente, independentemente do sentido da corrente elétrica. De acordo com o circuito apresentado na figura 6.6, ao se aplicar a lei das tensões de Kirchhoff às malhas ABDFEA e BCGFDB, no sentido horário, obtém-se: RODRIGO SOUZA E ALVACIR TAVARES 58 CURSO DE ELETROMECÂNICA/IFSUL

3 Malha ABDFEA: R 1 I 1 + E 2 R 2 I 2 + R 4 I 1 + E 1 = 0 Malha BCGFDB: E 1 + R 3 I 3 + E 4 + R 2 I 2 E 2 = 0 3. Polarizar as fontes de tensão; 4. Polarizar as quedas de tensão nos resistores de acordo com o sentido adotado para a corrente; 5. Havendo nós, aplicar a 1 a Lei de Kirchhoff, obtendo-se N e1 equações (N e1 = n 1); 6. Se o número de equações ainda não for suficiente para resolver o circuito, aplicar a 2 a Lei de Kirchhoff, onde o número de equações é dado por N e2 = (r n + 1); 7. Escolher um ponto de partida e adotar um sentido de percurso para analisar a(s) malha(s). Exemplo 6.1 : Calcule o sentido e o módulo da corrente elétrica no circuito da figura 6.7. Figura 6.6: No circuito da figura 6.6, existe ainda mais uma malha (a malha externa ABCGFEA). Nesta malha poderia ser aplicada também a lei das tensões de Kirchhoff. Entretanto, como no caso da lei das correntes, a equação resultante seria dependente das duas já obtidas. Portanto, esta equação seria inútil. Supondo-se que, no circuito da figura 6.6, fossem conhecidos os valores de todas as f.e.m.s das fontes de tensão e todas as resistências, restariam como incógnitas as três correntes. Para resolver um sistema de equações lineares com três incógnitas são necessárias três equações. Uma equação já foi obtida com a aplicação da lei da correntes de Kirchhoff. Portanto, são necessárias mais duas, que podem ser obtidas pela aplicação da lei das tensões de Kirchhoff. Em síntese, pode-se concluir que, em um circuito elétrico com r ramos e n nós, tem-se r correntes, uma em cada ramo. A lei das correntes de Kirchhoff fornece N e1 = n 1 equações e, portanto, a lei das tensões de Kirchhoff deve fornecer N e2 = r n + 1 equações para que o problema possa ser resolvido. Por exemplo, no circuito da figura 6.6, tem-se r = 3, n = 2. Se r = 3, o número de correntes é 3. O número de equações fornecidas pela lei das correntes é N e1 = 2 1 = 1 e o número de equações fornecidas pela lei das tensões é N e2 = 3 1 = 2, conforme discutido anteriormente. A seguir, apresenta-se um resumo para aplicação da LKC e LKT. Resumo para aplicação das Leis de Kirchhoff 1. Identificar os nós, ramos e malhas do circuito elétrico; 2. Atribuir para cada ramo do circuito um sentido para a corrente elétrica; Resolução: Figura 6.7: 1. Escolhe-se um sentido para a corrente elétrica no circuito. Por exemplo, o sentido indicado na figura Polarizam-se as quedas de tensão nos resistores (polaridade positiva no terminal por onde a corrente entra) e as f.e.m.s das fontes (o terminal maior é o positivo). 3. Percorre-se a malha, somando algebricamente as tensões (o sinal da tensão corresponde ao sinal da polaridade da tensão encontrada na entrada do componente). Estas etapas estão mostradas na figura 6.8 e na equação abaixo. Figura 6.8: 1I + 4,7I + 3,3I = 0 9I = 9 I = 1A RODRIGO SOUZA E ALVACIR TAVARES 59 CURSO DE ELETROMECÂNICA/IFSUL

4 O sinal negativo que aparece para o valor da corrente I significa que o sentido escolhido para ela está invertido. Neste exemplo, o sentido correto da corrente elétrica I é para baixo na figura 6.8 e não para cima como foi arbitrado no início da resolução. Exemplo 6.2 : No circuito da figura 6.9, calcule os valores das correntes I 1, I 2 e I 3 a partir dos valores das f.e.m.s e das resistências elétricas usando as leis de Kirchhoff. das correntes. Então, simplificando-se as equações e colocando-as na forma de um sistema, obtém-se: I 1 +I 2 I 3 = 0 4I 1 = 24 4I 1 +6I 2 = 0 6. Existem vários métodos para se resolver um sistema de equações. Nesse caso foi usado o método da substituição: Da segunda equação obtém-se: I 1 = 24 4 = 6A Substituindo-se o valor de I 1 na terceira equação obtém-se: I 2 = 0; Logo: I 2 = 24 6 = 4A Resolução: Figura 6.9: 1. O circuito possui 2 nós, 3 ramos e 3 malhas. 2. Os sentidos de corrente e polaridades foram arbitrados conforme Então, substituindo-se os valores de I 1 e I 2 na primeira equação obtém-se: I 3 = 0; Logo: I 3 = 10A 6.4 Técnica da Análise de Malhas Partindo das Leis de Kirchhoff, várias técnicas foram desenvolvidas com o objetivo de facilitar a resolução de circuitos elétricos. Uma das mais conhecidas é a Técnica de Análise de Malhas que será estudada nesta seção. Consideremos então o circuito da figura 6.11, em que foi atribuída uma corrente em cada ramo. Figura 6.10: 3. Aplicando-se a lei de Kirchhoff das correntes temse apenas uma equação obtida em relação aos nós, pois nos dois nós a equação será a mesma: I 1 + I 2 I 3 = 0 4. Aplicando-se a lei de Kirchhoff das tensões, tem-se duas equações obtidas pelas malhas: Malha ACDA: Começando pelo nó A, percorrendo a malha no sentido horário e chegando novamente ao no A tem-se: +4I = 0 Malha ABCA: Começando pelo nó A, percorrendo a malha no sentido horário e chegando novamente ao no A tem-se: +3,3I 2 + 2,7I 2 4I 1 = 0 5. Fica-se então com três equações e três incógnitas, o que nos permite encontrar o valor de cada uma Figura 6.11: Circuito para análise de malhas Pela aplicação da Lei de Kirchhoff das correntes temos: I 1 I 2 I 3 = 0 Isolando-se I3: I 3 = I 1 I 2 Logo, podemos indicar as correntes no circuito desprezando a existência de I 3, pois esta pode ser escrita como I 1 I 2. Então as correntes no circuito ficam como na figura Consideremos agora, o mesmo circuito com uma ligeira modificação, utilizaremos correntes de malha. RODRIGO SOUZA E ALVACIR TAVARES 60 CURSO DE ELETROMECÂNICA/IFSUL

5 Figura 6.12: Circuito sem a corrente I 3 Definimos correntes de malha como a corrente que flui apenas no perímetro de uma malha. A corrente de malha é indicada por uma seta curva que quase fecha em si mesma sem cortar nenhum ramo. Por conveniência, as correntes de malha são colocadas sempre no sentido horário e, a lei de Kirchhoff das tensões, também é aplicada nesse mesmo sentido. Utilizando-se essa técnica, não é necessário a aplicação da lei de Kirchhoff das correntes, o que simplifica a resolução do circuito. Portanto, as correntes de malha são indicadas no circuito analisado conforme a figura O método da soma é um dos mais simples para se resolver sistemas com duas equações, porém só é possível sua utilização quando as equações são dispostas de forma que, ao subtrair ou somar os polinômios das equações, todas as incógnitas, exceto uma, se anulam. Muitas vezes é necessário multiplicar uma das equações por algum valor de modo que essa situação ocorra. Esse é o caso do sistema de equações deste exemplo. Então devemos multiplicar a segunda equação por 3, ficando com: { 9IA 3I B = 42 9I A +21I B = 30 Então, somando-se as duas equações do sistema, tem-se: 18I B = 74 Logo: I B = 4A Substituindo-se o valor de I B na primeira equação temos: 9I A 3(4) = 42 Então: I A = 6A Figura 6.13: Circuito com correntes de malha Conforme foi comentado anteriormente, para resolver o circuito e encontrar o valor das correntes, basta aplicar a lei de Kircchoff das tensões às malhas da figura Como no ramos central passam duas correntes de malha, o valor real da corrente que circula nesse ramo é a diferença entre as correntes de malha. Então as equações das malhas fica assim: Malha A: I A + 3(I A I B ) = 0 Simplificando-se a equação resulta em: 9I A 3I B = 42 Malha B: (I B I A ) + 4I B = 0 Após simplificação fica-se com: 3I A + 7I B = 10 Então, para encontrar o valor das correntes, devese resolver o seguinte sistema de equações: { 9IA 3I B = 42 3I A +7I B = 10 A corrente de malha I A corresponde à corrente I 1 do circuito da figura Enquanto a corrente I B corresponde à corrente I 2. Porém para obtermos a corrente I 3 (que passa no ramos central) é necessário subtrair as duas correntes, ou seja: I 3 = I A I B = 6 4 = 2A Como o valor de I A é maior do que I B, então o sentido correto da corrente I 3 é o próprio sentido de I A. 6.5 Execícios 1. Determine os valores das correntes desconhecidas no circuito da figura Determine os valores das tensões desconhecidas no circuito da figura Calcule o valor da corrente I no circuito da figura Calcule o valor da resistência do resistor R 3 no circuito da figura Sabendo que a corrente através do resistor R 3 no circuito da figura 6.18 vale 4A, calcule os valores e os sentidos corretos das outras correntes e o valor do resistor R 3. RODRIGO SOUZA E ALVACIR TAVARES 61 CURSO DE ELETROMECÂNICA/IFSUL

6 Figura 6.14: Figura 6.18: 6. Calcule os valores das correntes I 2 e I 3 e do resistor R 2, no circuito da figura 6.19, sabendo que a intensidade da corrente I 1 vale 0,2A. Figura 6.15: Figura 6.19: 7. Calcule o valor e o sentido correto das correntes nos ramos no circuito da figura Figura 6.16: Figura 6.20: 8. Calcule os valores das correntes I 1 e I 2 no circuito da figura No circuito da figura 6.22, calcule o valor da corrente I. 10. No circuito da figura 6.23, calcule os valores da tensão V S e da resistência R. Figura 6.17: 11. Determine a potência dissipada em R 1 e R 2 do circuito da figura RODRIGO SOUZA E ALVACIR TAVARES 62 CURSO DE ELETROMECÂNICA/IFSUL

7 12. Qual deve ser o valor do resistor R para que a corrente no ramo AB da figura 6.25 seja nula? Figura 6.21: Figura 6.25: Respostas dos exercícios numéricos 1. I 1 = 1A; I 2 = 18A; I 3 = 9A Figura 6.22: 2. V 1 = 11V ; V 2 = 2V ; V 3 = 1V 3. I = 0,3A 4. R 3 = 1Ω 5. I 1 = 4A; I 2 = 0; R 3 = 1,5Ω 6. I 2 = 0,8A; I 3 = 0,6A; R 2 = 2,5Ω 7. I 1 = 6A; I 2 = 4A; I 3 = 10A 8. I 1 = 9A; I 2 = 1,5A 9. I = 3A para cima 10. V s = 14V ; R = 4Ω Figura 6.23: 11. P 1 = 20mW; P 2 = 22,5mW 12. R = 26kΩ Figura 6.24: RODRIGO SOUZA E ALVACIR TAVARES 63 CURSO DE ELETROMECÂNICA/IFSUL