TEOREMAS: - SUPERPOSIÇÃO

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1 TEOREMAS: - SUPERPOSIÇÃO - THEVENIN e NORTON - MILLMAN - MÁXIMA TRANSFERÊNCIA DE POTÊNCIA Professor: Paulo Cícero Fritzen pcfritzen@utfpr.edu.br

2 TEOREMAS PARA ANÁLISE EM CIRCUITOS ELÉTRICOS Os teoremas geralmente são aplicáveis em circuitos lineares. Circuito Linear aquele que contém somente fontes independentes e elementos lineares. Elemento Linear se x e y são variáveis, tais como tensão e corrente associados com um elemento de dois terminais, dizemos que o elemento é linear se a multiplicação de x por um constante k resulta na multiplicação de y pela mesma constante k. Isto é chamado de Princípio da Proporcionalidade. Sendo c uma constante.

3 Resistor (linear) CIRCUITOS ELÉTRICOS A São lineares também os elementos descritos pelas relações da forma: Se a e b são constantes e diferentes de zero. A condição de proporcionalidade para um único elemento linear é também mantida para um circuito linear, isto é: Se todas as fontes independentes de um circuito forem multiplicadas por um constante k, então todas as correntes e tensões sobre os demais elementos são multiplicados pela mesma constante k

4 EXEMPLO 1

5 EXEMPLO 1

6 EXEMPLO 1

7 TEOREMAS para FONTES PRÁTICAS REAIS Fonte de tensão prática conectada a uma carga RL Modelo de uma Fonte de Tensão Prática Sob condições de:

8 TEOREMAS para FONTES PRÁTICAS REAIS Notas: 1- Como Rgv>0, a FTP não pode fornecer uma corrente infinita, como o pode uma fonte ideal. 2- Para uma dada FTP (Vg e Rgv fixos) o valor da resistência de carga RL determina o valor da corrente que flui nos terminais. Por divisão de Tensão: (I) (II)

9 TEOREMAS para FONTES PRÁTICAS REAIS Temos então o seguinte gráfico: Características das FTPs (fontes de tensão prática)

10 TEOREMAS para FONTES PRÁTICAS REAIS Fonte de corrente prática conectada a uma carga RL Por divisão de corrente: Modelo de uma Fonte de Corrente Prática Logo: (III) Nota: Para uma dada fonte de corrente prática (ig e Rig fixos), a corrente de carga depende de RL. (IV)

11 TEOREMAS para FONTES PRÁTICAS REAIS Temos então o seguinte gráfico: Características das FIPs (fontes de corrente prática)

12 TEOREMA DA SUPERPOSIÇÃO Em qualquer circuito resistivo linear contendo duas ou mais fontes independentes, qualquer tensão (ou corrente) do circuito pode ser calculada como a soma algébrica de todas as tensões (ou correntes) individuais causadas pela atuação isolada de cada fonte independente, isto é, com todas as outras fontes independentes mortas. Fonte de V morta V=0 (curto-circuito) Fonte de I morta I=0 (circuito aberto)

13 TEOREMA DA SUPERPOSIÇÃO Em um circuito linear contendo várias fontes independentes, a corrente ou tensão de um elemento do circuito é igual a soma algébrica das correntes ou tensões dos componentes produzidas por cada fonte independente operando isoladamente. OBS.: Este teorema só se aplica no cálculo de correntes ou tensões e não pode ser utilizado no cálculo da potência. Para que se possa operar cada fonte isoladamente, as outras devem ser eliminadas. O procedimento que deve ser adotado nesta eliminação, das fontes de tensão e fontes de corrente, é apresentado seguir.

14 TEOREMA DA SUPERPOSIÇÃO (RESUMO)

15 EXEMPLO 2 - Pelo teorema da Superposição, determinar para o circuito abaixo os valores E1, I1, P2, E2, I2 e I3. - Passo 1: Devido à fonte de 140V, abrindo a fonte de corrente tem-se:

16 EXEMPLO 2 Fazendo as substituições tem-se: Tem-se então:

17 EXEMPLO 2 - Passo 2: Devido à fonte de 18A, curto-circuitando a fonte de tensão tem-se: Fazendo as substituições tem-se: Tem-se então:

18 EXEMPLO 2 - Passo 3: Devido à superposição tem-se: 123,2 Levando em consideração este valor de P2, pode-se observar que o Teorema da Superposição não é válido em relação a potência. Para tanto se deve calcular a potência dissipada utilizando as fórmulas usuais. Temse então:

19 EXEMPLO 2 Pode-se observar que a potência dissipada calculada pela fórmula usual não é igual ao valor encontrado aplicando-se o teorema da superposição anteriormente. comprovando a afirmação feita

20 TEOREMA DA SUPERPOSIÇÃO EXEMPLO 3 - Utilizando o Teorema da Superposição determine o valor de V.

21 TEOREMAS THÉVENIN e NORTON Ambos baseiam no princípio da superposição O teorema de Thévenin permite-nos substituir todo o circuito, com exceção do resistor de carga, por um circuito equivalente que contém apenas uma fonte de tensão independente em série com um resistor (FTP) e garante-nos que a resposta medida no resistor de carga permanece inalterada após a substituição. No teorema de Norton fonte independente de corrente em paralelo com um resistor (FIP).

22 TEOREMA de THÉVENIN Dado um circuito linear qualquer, separe-o na forma de duas redes A e B conectados por fios de resistência nula. Definida a tensão Voc como a tensão do circuito aberto que apareceria nos terminais de A se B fosse desconectada e, portanto, corrente nenhuma passasse de A para B. Então, todas as correntes e tensões em B ficariam inalteradas se A fosse morta e uma fonte de tensão independente Voc, com polaridade adequada, for conectada em série com a rede A morta (inativa CC nas fontes de tensão e CA nas fontes de corrente).

23 TEOREMA de THÉVENIN A rede A morta é representada por uma resistência que recebe o nome de resistência de Thévenin. Circuito Equivalente de Thévenin (para uma rede resistiva)

24 TEOREMA de THÉVENIN EXEMPLO 4 - Obtenha os circuitos equivalentes através de Thévenin (Circuito Equivalente de Thévenin).

25 TEOREMA de NORTON Dado um circuito linear, separe-o em duas redes A e B conectadas por condutores ideais. Defina uma corrente isc, corrente de curtocircuito, como a corrente que apareceria nos terminais de A, caso B fosse substituída por um curto-circuito e de modo tal que nenhuma tensão fosse fornecida por A. Então, todas as tensões e correntes em B não se alteram se a rede A for morta e uma fonte de corrente independente com valor isc for conectada, com a polaridade adequada, em paralelo com a rede A inativa.

26 TEOREMA de NORTON Circuito equivalente de Norton (Resistivo):

27 EXEMPLO 5 - Determinar os equivalentes de Thévénin e Norton:

28 TEOREMA DE MILLMAN O Teorema de Millman apresenta um método usado para reduzir um número qualquer de fontes de tensão em paralelo a apenas uma. Este teorema constitui um caso especial do teorema de Thevenin. A seguir a partir de um exemplo o método é apresentado. - O primeiro passo é transformar os ramos fonte de tensão/resistência em série em fontes de corrente/condutância em paralelo.

29 TEOREMA DE MILLMAN Estes cálculos são feitos da seguinte maneira: Realizar os cálculos do circuito equivalente com uma única fonte de corrente e uma única condutância do seguinte modo:

30 TEOREMA DE MILLMAN O circuito equivalente fica da seguinte maneira: A transformação do circuito fonte de corrente/condutância em fonte de tensão/resistência deve ser realizada do seguinte modo:

31 TEOREMA DE MILLMAN O circuito equivalente assim como o equivalente Millman também pode ser apresentados da seguinte maneira: A tensão entre os pontos AB pode também ser dada do seguinte modo:

32 EXEMPLO 6 - Determinar a corrente na resistência de 5Ω utilizando o Teorema de Millman. Resolver também utilizando o teorema de Thévenin para efetuar a comparação.

33 EXEMPLO 6 - Solução pelo o Teorema de Millman - Solução pelo o Teorema de Thévenin

34 EXEMPLO 6 - Solução utilizando o Teorema de Thévenin para efetuar a comparação. Eth será calculada utilizando-se o teorema da superposição. Rth será calculada utilizando-se o procedimento padrão descrito.

35 EXEMPLO 6 - Tendo calculado a Eth e a Rth pode-se finalmente calcular a corrente I.

36 TEOREMAS DA MÁXIMA TRANSFERÊNCIA DE POTÊNCIA Em várias aplicações na teoria de circuitos deseja-se obter a máxima potência possível que uma dada fonte prática pode entregar. Vamos considerar uma fonte de tensão prática ligada a uma carga RL. A potência PL entregue pela fonte para carga RL é dada pela seguinte equação:

37 TEOREMAS DA MÁXIMA TRANSFERÊNCIA DE POTÊNCIA Para determinar a potência máxima entregue devemos maximizar esta grandeza. Visto que a fonte é considerada como dada, Vg e Rg estão fixados. Logo, PL é função de RL. Assim, para maximizar PL fazemos: PONTO MÁXIMO

38 TEOREMAS DA MÁXIMA TRANSFERÊNCIA DE POTÊNCIA Teorema: A máxima potência é entregue por uma fonte prática quando a carga RL é igual à resistência interna da fonte. Obs.: Válido também para uma fonte de corrente. Para uma fonte de tensão prática (FTP): Para uma fonte de corrente prática (FIP):

39 TEOREMAS DA MÁXIMA TRANSFERÊNCIA DE POTÊNCIA Para se calcular a máxima transferência de potência utiliza-se o equivalente de Thévenin da rede para determinar a corrente I que passa pela resistência da carga RL. A potência absorvida pela carga será:

40 TEOREMAS DA MÁXIMA TRANSFERÊNCIA DE POTÊNCIA Nota: Podemos estender o teorema da máxima transferência de potência para um circuito linear, em lugar de para uma única fonte, por meio do Teorema de Thévenin. Isto é, a máxima potência é obtida de um circuito linear, em um dado par de terminais, quando este tem carga igual à resistência de Thévenin do circuito.

41 EXEMPLO 7 - Podemos retirar a potência máxima do circuito da figura a seguir se conectarmos aos terminais de carga ab uma carga com resistência de Thévénin: