Capítulo 4. Métodos de Análise

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1 Capítulo 4 Métodos de Análise

2 4. Análise Nodal Análise de circuitos mais gerais acarreta na solução de um conjunto de equações. Análise nodal: Tensões são as incógnitas a serem determinadas. Dee-se escolher um nó do circuito como referência. Associar aos outros nós uma tensão em relação ao nó de referência (tensão de nó). Polaridade de um nó é escolhida de tal forma que as tensões dos nós sejam positias em relação ao nó de referência. Nó de referência é geralmente escolhido como o que possui o maior número de ramos conectados.

3 Análise nodal (continuação): Nó de referência possui potencial zero (terra). Aplica-se então a lei de Kirchhoff para corrente nos nós. As correntes nos elementos são proporcionais às tensões sobre os mesmos.

4 Exemplo: Referência Tensões de nó: e 0 0

5 Exemplo: R i i g i R i R i g Referência R R R i g i g

6 Parênteses: i R i R R R i ( ) G Permitem escreer as equações de nós por inspeção direta em função das tensões dos nós.

7 R i i g i R i R i g Lei de Kirchhoff de correntes: Nó : i i ig 0 ou em termos de tensões: G ( ) i 0 G g Nó : i i ig 0 ou em termos de tensões: G ( ) G ig 0 Rearranjando as equações segundo as correntes que saem e as correntes que entram nos nós: ( ) i G G G g ( ) G i g ( G G ) G ig G ( G G ) i g Exibem uma simetria equações por inspeção

8 G i i g i G i G i g Corrente que entra no nó. Corrente que entra no nó. ( G G ) G ig Valor negatio da condutância conectada ao nó. Soma das condutâncias conectadas ao nó G ( G G ) i g Soma das condutâncias conectadas ao nó Valor negatio da condutância conectada ao nó.

9 Generalizando: Em circuitos contendo somente condutâncias e fontes de correntes, a lei de Kirchhoff de correntes pode ser aplicada ao k-ésimo nó, com a tensão de nó k, como se segue: no lado esquerdo das equações, o coeficiente das outras tensões de nó são os alores das condutâncias existentes entre estes nós e o nó k, com o alor negatio. No lado direito das equações, ficam as correntes que fluem para o nó k, deido às fontes.

10 Exemplo: G G G i g i g 4 Por inspeção: G ( G G G ) G G4 i g i g Pela lei de Kirchhoff de correntes: ( ) G( ) G( 4) i g i G g

11 4. Um Exemplo S i S 7 A S 5 A S S 4 S 7 A 4 Nó (por inspeção): ( ) Nó (por Kirchhoff): ( ) Nó (por inspeção): 6 5 Nó (por inspeção): 7 7

12 Resolução simultânea das equações: Regra de Cramer (determinantes). Regra de eliminação de Gauss. Solução usando Regra de Cramer: Δ [ V] [ V] [ V]

13 Valor da corrente i: i ( ) ( ) # A $ % & Obseração: As equações dos nós são simétricas Coeficiente de na primeira equação é igual ao de na segunda. Coeficiente de na primeira equação é igual ao de na terceira. Coeficiente de na segunda equação é igual ao de na terceira. Explicação: condutância entre os nós e condutância entre os nós e, condutância entre os nós e condutância entre os nós e, etc. 5 7

14 Resolução pela regra de eliminação de Gauss: " $ $ $ # % ' ' ' & a) ª linha ª linha 4: " $ $ $ # % ' ' ' & b) ª linha ª linha /: " 4 0 % $ ' $ 0 8 ' $ ' # & c) ª linha 45/: " 4 0 % $ ' $ 0 8 ' $ 0 0 ' # & d) ª linha ª linha 8: " $ $ $ # % ' ' ' & e) ª linha : " 4 0 % $ ' $ 0 0 ' $ 0 0 ' # & f) ª linha ª linha:! $ # & # 0 0 & # 0 0 & " % g) ª linha 4:! # # # " [V] [V] [V] $ & & & %

15 4. Circuitos Contendo Fontes de Tensão Não se pode escreer as equações utilizando o processo simplificado pois as correntes que fluem pelas fontes de tensão não são conhecidas. Exemplo : G G 4 G g G g G G 6 Note que: g g 5 4

16 G G 4 nó generalizado ou super nó G g G g nó generalizado ou super nó G G 6 Lei de Kirchhoff de corrente se aplica também em nós generalizados. Nó : Nó : ( G G G ) G G G ( G G G ) G G Nó generalizado g : G ( ) G ( ) G (correntes que deixam o nó)

17 Exemplo : 0 V 0 V 6 kω V kω 4 kω 6 ma Nó generalizado superior: ! " V # $

18 Exemplo : g G G G β( - ) g G 5 G 4 Aplicando Lei de Kirchhoff de corrente nos nós, obtemos: Nó : Nó : Nó : ( G G G ) G G G 0 g ( G G ) G β( ) 5 ( G G ) G β( ) 4

19 Exemplo 4: Ω V x - 4 Ω Ω i y i y Ω 9 A x [V] i y 4 x i y i y 5i y 4 x x Nó 4 : 9 4 x 0 Nó generalizado: i 4 y x 0

20 EA-5 Circuitos Elétricos I 0 4 i x y Substituindo as tensões: ( ) 0 5 x y x y y i i i x ( ) y x x i 0 y x i 8 4 y x i Resolendo: x 4 V! " # $ i y A " # $ % i y [V] 5i y 5 [V] 4 x [V]

21 4.4 Circuitos Contendo Amplificadores Operacionais Nós são facilmente identificáeis para o método nodal mas os laços não são. Exemplo: Fonte de tensão controlada por tensão. - R R Equação do nó : R R 0 R µ R

22 Exemplo: Obter. G G 4 G 5 G 0 V - Eitar usar este nó, pois a corrente do op-amp é difícil de determinar!!! G Nó : ( G G G G ) G G Correntes no nó inersor do op-amp: G G5 0 G5 G G ( G G G G ) 5 G G G G 5 G G ( G G G G4 ) GG4

23 4.5 Análise de Malhas ou de Laços Análise de Malhas: aplica-se a Lei de Kirchhoff das Tensões em olta de um percurso fechado (malha) de um circuito. análise de circuitos planares. Malha é um laço que não contém elementos dentro de si. Exemplo: R 6 R R 4 R g malha : R, R 4 e R malha : R, R, R 5 e g R R 5 R 7 malha : R 5, R 4, R 6, g e R 7 g

24 Exemplo: I I R R I g - R i i - g As correntes nos elementos são: I, I e I Lei de Kirchhoff das tensões na malha : Lei de Kirchhoff das tensões na malha : R I R I g R I R I g A corrente atraés de um elemento é a soma algébrica das correntes de malha. Em R temos I i Em R temos I i Em R temos I i i

25 R R R g - i i - g Equações de malha do circuito: Rearranjando: R i R (i i ) g R i R (i i ) g (R R )i R i g Soma das resistências da ª malha i Valor negatio da resistência comum a ª malha i R i (R R )i g Obs: Só ale se as correntes de malha tierem o mesmo sentido!

26 Exemplo: R 6 i R i R R 4 g ( R R R ) i R i R i ( R R R5 ) i Ri R5i g R i R 5 R 7 ( R4 R5 R6 R7 ) i R4i R5i g g Determinante para se obter as correntes pela regra de Cramer: Δ R R R R R 4 4 R R R R R 5 5 R 4 R R R R 6 R 7

27 4.6 Circuitos Contendo Fontes de Corrente Análise das malhas é mais fácil. Exemplo: R 5 Restrições: i i i i i g g g i i g R i i g Remoer as fontes de corrente para R i R R 6 obter uma malha adequada para a ª equação. R 4

28 R 5 g i R i R R i R 6 R 4 Lei de Kirchhoff de tensões: ( i i ) R( i i ) R4i Ri g R

29 Exemplo: Correntes de malha A i 4 Ω Ω 8 V i 5 A i Ω i i i A 5 A ( i i ) ( i i ) i 8 4 i A i 6 A

30 Resolendo usando correntes de laço (determinar a corrente que desce por R ): A i a 4 Ω Ω 8 V i b 5 A i c Ω Inspeção: i a A Lei de Kirchhoff das tensões: i b 5 A ( ia ib ic ) ( ia ic ) ic 8 ( 5 i ) ( i ) i c c c i c 6 A

31 Exemplo: Análise de laços a Ω d V i x - b Ω i 4 Ω c i y i y Ω 9 A i x i i 9 A i x i iy ( i i ) i x 9 4 x 4 f Imaginando fontes de corrente abertas: Laço abcda: Laço afeda: e x ( i ) i ( i i ) 0 i 4 y 4 ( i ) ( i i ) 0 i4 x 4 V i y A

32 EA-5 Circuitos Elétricos I 4.7 Dualidade Similaridade entre pares de equações: Lei de Ohm: Resistores em série e em paralelo: Dualidade entre corrente e tensão, resistência e condutância, série e paralelo. Além disso, curto circuito e circuito aberto também são duais, pois: G i i R!!! n p n s G G G G R R R R! " " " "! 0 0 i!!

33 Exemplo: Circuitos duais R R g - ( ) g i i R R R i R i R ( R R ) i 0 i Circuito dual: G ( G G ) G ig i g G G G ( G G ) 0 Valores numéricos de e são iguais aos de i e i.

34 Existe ainda a dualidade: nó e malha. nó de referência e região de contorno da parte externa ao circuito (malha externa). R G G g R - R i g G