Aula 3. Circuitos Complexos via Método das Malhas. Função de transferência múltiplas malhas

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1 2 Aula 3 Circuitos Complexos via Método das Malhas 1. Substituir todos os valores dos elementos passivos por suas impedâncias. 2. Substituir todas as fontes e todas as variáveis no domínio do tempo pelas respectivas transformadas de Laplace 3. Arbitrar um sentido para a corrente do circuito transformado em cada malha. 4. Escrever a lei de Kirchhoff das tensões ao longo de cada malha. 5 Definir as variáveis de: - Entrada - Saída - V. Intermediárias 6. Resolver o sistema de equações em termos da saída. 7. Eliminar as V. Intermediárias e elaborar a função de transferência. Exemplo 2.10 Função de transferência múltiplas malhas Problema Dado o circuito da Fig. 2.6(a), obter a função de transferência, I 2 (s)/v(s) Solução: seguindo os passos acima: Ao longo da Malha 1, onde circula I 1 (s), Ao longo da Malha 2, onde circula I 2 (s), A V. Intermediária I 1 (s) deve ser eliminada: Podemos usar a regra de Cramer (ou qualquer outro método para resolver sistemas de equações) para resolver a Eq. (2.80) em termos de I 2 (s)

2 Elaborando a função de transferência, G(s), resulta Antes de deixar o exemplo, observamos a ocorrência de um padrão ilustrado em primeira mão pela Eq. (2.72). A forma tomada pela Eq. (2.80) é (2.83a) (2.83b) Circuitos Complexos via Método dos Nós No exemplo anterior, escrevemos as equações de malha usando a lei de Kirchhoff definamos primeiro admitância, Y(s), como o inverso da impedância, ou seja, (2.84) Exemplo 2.11 dos nós. Função de transferência nós múltiplos Problema Obter a função de transferência, V C (s)/v(s), para o circuito na Fig. 2.6(b). Usar o método Solução Neste problema, somamos correntes nos nós em vez de somar tensões ao longo das malhas. Com base na Fig. 2.6(b) as somas das correntes que saem dos nós designados por V L (s) e V C (s) são, respectivamente,

3 4 Expressando as resistências como condutâncias, G 1 = 1 /R 1 e G 2 = 1/R 2 obtemos: Observe que V L (s) é uma V. Intermediária. Eliminando V L (s) obtemos a função de transferência, Técnica para Solução de Problemas Repetição de um padrão nas equações que podemos usar a nosso favor. Exemplo 2.13 Equações de malha via inspeção Problema Escrever, mas não resolver, as equações de malha do circuito mostrado na Fig. 2.9.

4 6 Solução A equação para a Malha 1 terá a seguinte forma: (2.91) De modo semelhante, as Malhas 2 e 3 são, respectivamente. (2.92) (2.93) Substituindo os valores da Fig. 2.9 nas Eqs. (2.91) a (2.93), resulta que pode ser resolvida simultaneamente para qualquer função de transferência desejada, por exemplo, I 3 (s)/v(s).

5 Amplificadores Operacionais Um amplificador operacional, esboçado na Fig. 2.10(a), é um amplificador eletrônico usado como bloco construtivo básico para implementar funções de transferência. Possui as seguintes características: 1. Entrada diferencial, v 2 (t) v 1 (t) 2. Elevada impedância de entrada, Z i = (ideal) 3. Baixa impedância de saída, Z o = 0 (ideal) 4. Elevado ganho de amplificação, A = (ideal) A saída, v o (t), é dada por (2.95) Amplificador Operacional Inversor Para o amplificador operacional inversor, temos (entrada v 1 (t) ligada à terra) (2.96) função de transferência do amplificador operacional inversor (2.97)

6 8 Exemplo 2.14 Função de transferência circuito com amplificador operacional Problema Obter a função de transferência, V o (s)/v i (s), para o circuito dado na Fig Solução A função de transferência do circuito amplificador operacional é dada pela Eq. (2.97). Como as admitâncias de componentes em paralelo se somam, Z 1 (s) é o inverso da soma das admitâncias, ou seja, (2.98) Para Z 2 (s), as impedâncias se somam, ou seja, Substituindo as Eqs. (2.98) e (2.99) na Eq. (2.97) e simplificando, obtemos (2.99) (2.100) O circuito resultante é chamado controlador PID e pode ser usado para melhorar o desempenho de um sistema de controle. Exploramos esta possibilidade mais adiante no Cap. 9.

7 Amplificador Operacional Não-inversor Um outro circuito que pode ser analisado para se obter a função de transferência é o circuito amplificador operacional não-inversor mostrado na Fig Vamos agora deduzir a função de transferência. Vemos que V o (s) = A(V i (s) - V 1 (s)) (2.101) Porém, usando divisão de tensão, (2102) Substituindo a Eq. (2.102) na Eq. (2.101), rearrumando e simplificando, obtemos (2.103) Para valores elevados de A, despreza-se a unidade no denominador e a Eq. (2.103) se torna (2.104) Função de transferência circuito amplificador operacional não-inversor Problema Obter a função de transferência, V o (s)/ V i (s), para o circuito dado na Fig Solução Obtemos cada uma das funções impedância, Z 1 (s), Z 2 (s), e em seguida as substituímos na Eq. (2.104). Assim, (2.105) (2.106) Substituindo as Eqs. (2.105) e (2.106) na Eq. (2.104) resulta (2.107)