AULA 08 CIRCUITOS E LEIS DE KIRCHHOFF. Eletromagnetismo - Instituto de Pesquisas Científicas

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1 ELETROMAGNETISMO

2 AULA 08 CIRCUITOS E LEIS DE KIRCHHOFF

3 OS ELEMENTOS DO CIRCUITO Sabemos que o circuito é o caminho percorrido pela corrente elétrica. Nessa aula iremos analisar esses circuitos. Mas antes de iniciarmos, é importante definirmos alguns elementos presentes nos circuitos elétricos (na verdade nós já vimos esses elementos, vamos só aplica-los). O primeiro elemento é a bateria. Ela é quem fornece uma diferença de potencial, de modo a criar uma corrente elétrica. O segundo elemento é o resistor, que busca dificultar a passagem de corrente elétrica (isso impede que equipamentos se queimem). O resistor também pode gerar calor devido ao atrito dos elétrons (e esse processo chamamos de efeito Joule). O terceiro elemento é o capacitor, que armazena a energia potencial elétrica. Para todos esses elementos existem símbolos específicos.

4 Mas não são apenas esses elementos. Na verdade, existe um verdadeiro zoológico de componentes elétricos. No decorrer do curso veremos mais alguns, mas o que nos interessa, a priori, são esses três.

5 CORRENTE CONTÍNUA Iniciaremos nosso estudo a respeito dos circuitos analisando os chamados circuitos de corrente contínua (CC ou DC). Nosso interesse é descobrir o valor e o sentido da corrente no circuito. O circuito abaixo é formado por uma bateria e um resistor. B A

6 Há uma diferença de potencial entre os pontos A e B, de modo que: V B V A = V bateria = E A tensão da bateria é representada aqui por E, a qual chamamos de força eletromotriz. Representamos a bateria como: Esse é o caso de uma bateria ideal, porém não é real. No caso real, a bateria possui uma resistência interna r. Isso implica que energia também é dissipada na fonte. Essa energia dissipada surge como um termo ir, onde i é a corrente do circuito.

7 Portanto, teremos: V B V A = V bateria = E ir Para o circuito como um todo, podemos usar a lei de Ohm de modo a obter: E = i(r + r) A bateria faz com que a corrente surja no circuito. Logo, cargas estão em movimento em um mesmo sentido. As cargas se movem de um potencial A para um potencial B, logo: dw = dqe Se tomarmos o trabalho feito por unidade de tempo encontraremos a potência: dw dq = P = dt dt E Mas sabemos que: Logo: dq dt = i P = ie

8 Se utilizarmos a lei de Ohm, de modo que E = V = ir, a potência será escrita como: P = iv = i 2 R = V² R Como a potência é medida em joule/segundo, sua unidade é o watt (W). Tomemos uma corrente passando por um circuito que possui um resistor de 100 Ω. Supondo que a corrente seja de 1 A, a potência será de 100 W. Se a corrente for de 2 A, a potência será de 400 W. Quando a corrente passa pelo resistor, boa parte da energia é dissipada em forma de calor e é essa a ideia por detrás de uma lâmpada incandescente. O calor aquece o fio e produz o brilho. Em um filamento de tungstênio, a temperatura do fio pode chegar aos 250 C.

9 ANALISANDO O CIRCUITO Comecemos a analisar um circuito simples, como mostrado abaixo:

10 Nosso circuito é alimentado por duas baterias, e nossa missão é descobrir quais os valores das correntes no circuito e quais seus sentidos. Para descobrir isso mais facilmente vamos separar nosso circuito em duas partes, chamadas de malhas. Iremos resolver as malhas separadamente, utilizando poderosas ferramentas chamadas de leis de Kirchhoff. Pode parecer algo complicado, mas o nome de Kirchhoff é a coisa mais complicada aqui.

11 As leis de Kirchhoff são duas. A primeira diz que a integral cíclica em uma malha é zero, de modo que: E dl = 0 Podemos expressar essa lei como: a soma algébrica das variações de potencial encontrados ao longo de um caminho fechado em qualquer circuito deve ser zero. A segunda lei está relacionada com a conservação de carga, a qual escrevemos: a soma algébrica das correntes é nula em um nó. O nó é o ponto do circuito onde três ou mais fios se encontram. A segunda lei afirma que a quantidade de corrente que entra em um nó tem de ser igual a quantidade de corrente que sai do nó. Para aplicar as leis de Kirchhoff escolhemos arbitrariamente os sentidos das correntes (atente que pelo menos uma corrente tem de estar entrando ou saindo do nó). Feito isso, escolhemos um ponto da malha como ponto de partida, de modo a percorrer a malha em sentido horário ou anti-horário (tanto faz!). O sentido escolhido irá determinar os valores das variações do potencial. Vamos ver como isso é feito.

12 Regra das resistência: se o sentido que escolhemos para percorrer a malha estiver no sentido oposto ao da corrente, então a variação de potencial é +ir. Se o sentido escolhido é o mesmo sentido da corrente, então a variação de potencial é ir. Regra das fontes (baterias): quando atravessamos uma fonte do terminal negativo para o positivo, a variação do potencial é +E. Quando atravessamos a fonte do terminal positivo para o negativo, a variação do potencial é E. Abaixo eu escolhi os sentidos das correntes (note que está de acordo com a lei dos nós, de modo que i 1 + i 2 = i 3 ) e o sentido do meu percurso (será horário nas duas malhas). Para a malha 1 eu começarei analisando a partir do ponto a e da malha 2 a partir de b.

13 Aplicando a lei de Kirchhoff para a malha 1: - Partindo do ponto a chegamos na bateria. - Estamos indo do polo positivo para o negativo, logo o potencial é E - Saindo da bateria passamos pela resistência R 1 no mesmo sentido da corrente. Logo o potencial é i 1 R 1 - Descemos o circuito para a resistência R 3, onde a percorremos no mesmo sentido da corrente. Portanto, o potencial é i 3 R 3 - Portanto, para essa malha a lei de Kirchhoff fornece E i 1 R 1 i 3 R 3 = 0 Fazemos o mesmo para a malha 2, partindo de b e percorrendo em sentido horário: - Chegamos na resistência R 3 mas estamos contra o sentido da corrente. Logo o potencial é +i 3 R 3. - Chegamos na resistência R 2 e percorremos o sentido oposto ao da corrente. Logo o potencial é +i 2 R 2. - Por fim, atravessamos a bateria do polo negativo para o positivo, de modo que o potencial é +E - A lei de Kirchhoff nos fornece: i 3 R 3 + i 2 R 2 + E = 0

14 As duas malhas nos fornecerão duas equações, mais a equação envolvendo apenas as correntes.. Logo, teremos um sistema simples para resolver, de modo a determinar as correntes e seus sentidos. Embora nós escolhemos aleatoriamente o sentido de cada corrente, o resultado final que obtivermos nos dirá se nossa escolha foi certa ou não. Para entender melhor, vamos analisar outro circuito dando valores aos seus elementos.

15 Pela segunda lei de Kirchhoff temos que i 3 = i 1 + i 2 Pois as correntes 1 e 2 chegam ao nó superior e a corrente 3 sai dele. Vamos iniciar os cálculos pela malha da esquerda, iniciando do ponto b emsentido horário: Assim, obtemos: i 1 2Ω + 3V i 1 2Ω i 3 4Ω 6V = 0 i 1 4Ω i 3 4Ω 3V = 0 Mas temos que i 3 = i 1 + i 2, logo: i 1 4Ω i 1 + i 2 4Ω 3V = 0 i 1 4Ω i 1 4Ω i 2 4Ω 3V = 0 i 1 8Ω + i 2 4Ω = 3V

16 Agora, vamos analisar a malha da direita, partindo de b mas em sentido anti-horário: Assim: i 2 2Ω + 6V i 2 2Ω i 3 4Ω 6V = 0 i 2 4Ω i 1 + i 2 4Ω = 0 i 2 4Ω i 1 4Ω i 2 4Ω = 0 i 1 4Ω + i 2 8Ω = 0 Agora, montamos um sistema de duas equações: i 1 8Ω + i 2 4Ω = 3V i 1 4Ω + i 2 8Ω = 0 Duas equações, e duas incógnitas. Não poderia ser melhor que isso!

17 Multiplicando a equação obteremos: i 18Ω + i 2 4Ω = 3V i 1 4Ω + i 2 8Ω = 0 inferior por -2 e somando com a equação superior, i 2 12Ω = 3V i 2 = 3 12 i 2 = 1 = 0,25 A 4 Ou seja, o valor da corrente 2 é 0,25 A. Substituindo esse valor em qualquer uma das duas equações do sistema: i 1 8Ω + 1 A 4Ω = 3V 4 i 1 8Ω + 1V = 3V i 1 = 4V 8Ω i 1 = 0,5 A Como encontramos o valor de duas correntes, agora basta substituir na primeira equação desse problema!

18 Assim: i 3 = i 1 + i 2 i 3 = 0,5 + 0,25 = 0,25 A Se você estiver atento vai perceber que há algo de estranho com esses resultados. Dois valores encontrados para a corrente são negativos. Ora, não faz sentido encontrar uma corrente negativa! O que há de errado então com nossos cálculos? Na verdade nossos cálculos estão corretos. Nosso erro foi a escolha do sentido das correntes. Sempre que aplicarmos as leis de Kirchhoff e encontrarmos sinais negativos para as correntes, isso significa que o sentido escolhido está errado. O que nos resta fazer é, simplesmente, inverter o sentido escolhido. Portanto, a corrente i 1 está saindo do nó a e a corrente i 3 está entrando no nó a (a corrente i 2 está com o sentido correto).

19 Os valores das correntes serão: i 1 = i 2 + i 3 Onde: i 1 = 0,5 A i 2 = 0,25 A i 3 = 0,25 A O que vimos até aqui é bem simples. Mas para ficar legal a situação, devemos analisar coisas um pouco mais complexas. E isso ocorrerá na nossa próxima lição, onde colocaremos um elemento a mais em nosso circuito!

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