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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DE JUIZ DE FORA Graduação em Engenharia Civil ELETROTÉCNICA (ENE078) PROF. RICARDO MOTA HENRIQUES Aula Número: 06

2 Revisão Aula Anterior... Revisão da aula 6 Associação de resistores em série Associação de resistores em paralelo: Cálculo do divisor de tensão Ligação em série Cálculo do divisor de corrente Ligação em paralelo Associação de fontes de tensão em série Associação de fontes de corrente em paralelo 2

3 ASSOCIAÇÕES MISTAS DE RESISTORES São aquelas que contêm resistores associados em série, em paralelo e/ou de modo diverso: 3

4 ASSOCIAÇÕES MISTAS DE RESISTORES Para determinar o resistor equivalente nesse tipo de associação deve-se fazer o seguinte: identificar os resistores que estejam de fato associados em série: 4

5 ASSOCIAÇÕES MISTAS DE RESISTORES identificar os resistores que estejam de fato associados em paralelo: 5

6 ASSOCIAÇÕES MISTAS DE RESISTORES determinar os resistores equivalentes das associações em série e em paralelo e redesenhar o circuito, substituindo as associações por seus respectivos resistores equivalentes; ao redesenhar, o circuito será simplificado e surgirão novas associações em série e/ou em paralelo: 6

7 ASSOCIAÇÕES MISTAS DE RESISTORES repetir os passos anteriores até sobrar um único resistor, que será o resistor equivalente do circuito. 7

8 Definição de circuito elétrico (ampliado): Consiste em um número qualquer de elementos unidos por seus terminais, estabelecendo pelo menos um caminho fechado através do qual a corrente possa fluir. L V I C PERGUNTA : basta an um circuit elitrico qualquer con hear a htl DE OHM, R as associates sine e Paralelo dos resistors, formulas de divisors de ten. sa e coneute e expresses de poteucia e energia para e WRRENTES em qualquer circuits Chi? NRE rose al : AHAI I se Calahan TEN sees 8

9 LEIS DE KIRCHHOFF São o resultado de um trabalho desenvolvido por Gustav Kirchhoff, que facilita o cálculo dos circuitos elétricos. Conceitos: ^ teusoeseconeuts Nó: é qualquer ponto do circuito onde concorrem três ou mais condutores. 9

10 LEIS DE KIRCHHOFF Conceitos: Nó: é qualquer ponto do circuito onde concorrem três ou mais condutores. VERMELHO: nó CINZA: conexão entre resistores em série C1 Nó 2 C3 Nó 1 C1 Nó 2 C5 C4 C2 C7 Nó 6 Nó 3 Nó 3 10

11 LEIS DE KIRCHHOFF Ramo: é qualquer trecho do circuito compreendido entre dois nós consecutivos. Qualquer parte de um circuito elétrico composto por um ou mais elementos ligados em série ( cascata ). 11

12 LEIS DE KIRCHHOFF p " Caminho Malha: é qualquer circuito fechado, formado por ramos. " 12

13 CIRCUITOS ELÉTRICOS (LEI DE KIRCHHOFF) Apresentação: O efeito de interligação de diferentes elementos de circuito pode ser descrito por duas leis propostas por Gustav Kirchhoff ( ), um físico alemão. 13

14 LEIS DE KIRCHHOFF A 1.ª Lei de Kirchhoff ou Lei dos nós diz que: A soma algébrica das correntes que chegam a um nó é igual à soma algébrica das correntes que saem deste nó. Ja ' Di zamos essa lei nos circuits divisors de Corrente, quaudoassociamos resistencia I 1 + I 2 = I 3 em Paralelo. *Is 14

15 LEIS DE KIRCHHOFF (SENTIDO PARA AS CORRENTES) A corrente convencional, partindo da fonte e se dividindo pelos nós, polariza com sinal positivo o lado do resistor por onde ela entra. Dessa maneira, estabelecem-se as polaridades das tensões nos resistores: Esta escolha arbitrária dos sentidos das correntes, que gera as polaridades das tensões, é fundamental no uso das leis de Kirchhoff. É preciso antes da aplicação das leis definir este sentido das correntes e as polaridades das tensões nos resistores para estas correntes. 15

16 LEIS DE KIRCHHOFF Convenções: Como a primeira Lei de Kirchhoff estabelece um somatório algébrico nulo para as correntes em um nó do circuito. Iremos definir o seguinte critério arbitrário para resolver os problemas 1) As correntes que entram em um nó serão ditas positivas e as correntes que saem negativas. o E 'YEEia 16

17 LEIS DE KIRCHHOFF Exemplo 1: Calcule a corrente através do resistor R 3, sabendo que a fonte de tensão fornece uma corrente de 3A. 10V R 1 3A 2A I =? R 2 R 3 5A Há como resolver este circuito com o que aprendemos sobre Lei de Ohm juntamente com a associação mista de resistores? Sim ou Não? Resposta: I = 6A 17

18 LEIS DE KIRCHHOFF Exemplo 1: Calcule a corrente através do resistor R 3, sabendo que a fonte de tensão fornece uma corrente de 3A. R 1 Nó 1 Acosta 3A 2A I =? Consideraudo "a" e "b " Iab comono 's independents : 10V R 2 R 3 5A Nó: I = 0 I = 6A Nó 2 = 6A XRPORESULTADOEIDENTIW! Resposta: I = 6A 18

19 LEIS DE KIRCHHOFF SOLUCFOP / DIVISOR DE CORRENTE Exemplo 2: Determine a corrente e a tensão de cada elemento no circuito da figura abaixo: Nó 1 I 1 I 2 Equivalentando as duas fontes de corrente em paralelo (aula passada) 120 A 1/30Ω V 30 A 1/15Ω Nó 1 1ª Lei de Kirchhoff (nó 1): 120 I 1 30 I 2 = 0 I 1 + I 2 = 90 Nó 2 Aplicando um divisor de corrente I 1 =(1/45)*90/(1/30)=60 90A I 1 I A 1/30Ω V 30 A Nó 2 I 2 =(1/45)*90/(1/15)=30 Resposta: V = 2V, I 1 = 60A e I 2 = 30A 1/15Ω 19

20 LEIS DE KIRCHHOFF Exemplo 2 (solução diferente): Determine a corrente e a tensão de cada elemento no circuito da figura abaixo: Nó 1 SOWCEO A TRAVES DA LEI DE OHM E Req I 1 I A 1/30Ω V 30 A 1/15Ω Nó 1 I 1 I I 1 30 I 2 = 0 I 1 + I 2 = 90 Calculando R eq : 1/R eq =[1/(1/30)]+[1/(1/15)] R eq =1/45 V=R eq x I=90/45=2V Nó A 1/30Ω V 30 A 90A Nó 2 I 1 =V/(1/30)=30xV=60A I 2 =V/(1/15)=15xV=30A 1/15Ω 20

21 LEIS DE KIRCHHOFF A 2.ª Lei de Kirchhoff ou Lei das Malhas diz: Percorrendo-se uma malha, num mesmo sentido, a soma das tensões nos elementos de circuito encontrados é igual a zero. Para aplicar a 2 a Lei de Kirchhoff, considera-se, para cada tensão, o primeiro sinal encontrado no sentido do percurso. Para cada malha, o sentido do percurso é arbitrado. 21

22 LEIS DE KIRCHHOFF A 2.ª Lei de Kirchhoff ou Lei das Malhas diz: Percorrendo-se uma malha, num mesmo sentido, a soma das tensões nos elementos de circuito encontrados é igual a zero. Convenções: Como a segunda Lei de Kirchhoff estabelece um somatório algébrico nulo as tensões em um caminho fechado (laço/malha). Iremos definir o seguinte critério arbitrário para resolver os problemas. 2) As tensões em elementos passivos (resistores, capacitores, indutores) serão dadas em sentido oposto ao da corrente percorrendo o elemento. 3) As tensões em elementos ativos (fontes de tensão) serão negativas se a tensão da fonte estiver a favor do sentido de percurso do circuito. 22

23 LEIS DE KIRCHHOFF Para aplicar a 2 a Lei de Kirchhoff, considera-se, para cada tensão, o primeiro sinal encontrado no sentido do percurso. Para cada malha, o sentido do percurso é arbitrado. V + V 1 + V 3 + V 2 = 0 V = V 1 + V 3 + V 2 As polaridades das tensões foram escolhidas no slide 15 quando foram arbitradas o sentido das correntes em cada ramo do circuito. Esta lei depende da escolha da polaridade das tensões nos resistores. IMPORTANTE: a solução final pode alterar a polaridade escolhida, se a corrente escolhida estiver no sentido contrário. 23

24 LEIS DE KIRCHHOFF Para aplicar a 2 a Lei de Kirchhoff, considera-se, para cada tensão, o primeiro sinal encontrado no sentido do percurso. Para cada malha, o sentido do percurso é arbitrado. V 3 + V 4 + V 5 + V 6 = 0 V 3 = V 4 + V 5 + V 6 24

25 LEIS DE KIRCHHOFF Para aplicar a 2 a Lei de Kirchhoff, considera-se, para cada tensão, o primeiro sinal encontrado no sentido do percurso. Para cada malha, o sentido do percurso é arbitrado. V + V 1 + V 4 + V 5 + V 6 + V 2 = 0 V = V 1 + V 4 + V 5 + V 6 + V 2 25

26 LEIS DE KIRCHHOFF Exemplo 3: Determine as tensões V 1 e V 2 nos resistores do circuito a seguir. 10Ω 30Ω 120V V 1 V 2 100V Há como resolver este circuito com o que aprendemos sobre Lei de Ohm juntamente com a associação mista de resistores? Sim ou Não? ltsolucoobasica : - Associarfontes. Associarpisenisbvie - Hide Oh Veq :no { Reg Resposta:V 1 = 5V e V 2 = 15V. Comiioalcular V10eVzo( ouvnevz ) 26

27 LEIS DE KIRCHHOFF A E Lei confirm a associate a defontes! Exemplo 3: Determine as tensões V 1 e V 2 nos resistores do circuito a seguir V 1 + V = 0 10Ω 30Ω V 1 + V 2 = V 120V V 1 V 2 Sentido de Percurso Resposta:V 1 = 5V e V 2 = 15V Divisor de tensão: R eq = = 40Ω V 1 = (10/40)*20=5V V 2 = (30/40)*20=15V ou... I = 20/R eq = 0,5A V 1 = 10 x 0,5 = 5V V 2 = 30 x 0,5 = 15V 27

28 LEIS DE KIRCHHOFF A resolução de circuitos elétricos contendo associações mistas de resistores não tem uma regra-padrão. Geralmente, há mais de uma maneira de visualizar o problema e encontrar a solução. A experiência é obtida com a prática. A seguinte sequência de etapas é sugerida, para resolver os circuitos de modo racional: 1. enumerar de modo organizado as grandezas conhecidas e aquelas a serem calculadas; 2. identificar os nós e as malhas do circuito; 3. atribuir a cada ramo do circuito o sentido para as correntes e a polaridade das tensões nos resistores; 28

29 LEIS DE KIRCHHOFF 4. escrever as equações de corrente para cada nó e as de tensões para cada malha, de acordo com as leis de Kirchhoff; 5. utilizar, sempre que possível, as propriedades das associações série e paralelo e a Lei de Ohm, para determinar tensões e correntes desconhecidas; 6. escolher as equações convenientes dentre aquelas obtidas na 4 a etapa; cada equação só permite determinar uma incógnita, não sendo útil aquela que, após a substituição dos valores conhecidos, apresentar mais de um termo a ser determinado. 29

30 EXERCÍCIO RESOLVIDO No circuito abaixo: a) determinar a polaridade das tensões nos resistores; b) escrever as equações das tensões em todas as malhas; c) obter as tensões e as correntes em todos os resistores. Antes de resolver o que se pede acima: há como resolver este circuito com o que aprendemos sobre Lei de Ohm juntamente com a associação mista de resistores? Sim ou Não? 30

31 EXERCÍCIO RESOLVIDO Solução: a) A corrente parte da fonte e percorre o circuito, se dividindo pelos resistores e polarizando-os como se vê: 31

32 EXERCÍCIO RESOLVIDO Solução: a) Continuação... As equações das correntes nos nós: nó b: I 1 = I 2 + I 3 nó e: I 2 + I 4 = I 1 32

33 EXERCÍCIO RESOLVIDO Solução: b) As equações das tensões nas malhas: malha a-b-e-f-a: V = V 1 + V 2 malha a-b-c-d-e-f-a: V = V 1 + V 3 + V 4 malha b-c-d-e-b: V 2 = V 3 + V 4 33

34 EXERCÍCIO RESOLVIDO Solução: c) Quando há resistores em série com a fonte, a corrente que percorre este resistor, neste caso, R 1, é a mesma que sai da fonte. Para determinar a corrente fornecida pela fonte, deve ser conhecido o resistor equivalente do circuito: 34

35 EXERCÍCIO RESOLVIDO 35

36 EXERCÍCIO RESOLVIDO Solução: a corrente fornecida pela fonte: Conseqüentemente: I 1 = 0,5 A V 1 = R 1 I 1 V 1 = 10 0,5 = 5 V A equação da malha a-b-e-f-a: V = V 1 + V 2 10 = 5 + V 2 V 2 = 5 V 36

37 EXERCÍCIO RESOLVIDO Solução: A corrente no resistor R 2 é obtida pela Lei de Ohm: A equação da corrente no nó b: 0,5 = 0,25 + I 3 I 3 = 0,25 A 37

38 EXERCÍCIO RESOLVIDO Solução: Com R 3 em série com R 4 I 4 = 0,25 A E pela lei de Ohm: V 3 = R 3 I 3 V 3 = 15 0,25 = 3,75 V V 4 = R 4 I 4 V 4 = 5 0,25 = 1,25 V 38

39 EXEMPLO 1 1. Determine V 2 usando a Lei de Kirchhoff para tensões 2. Determine a corrente I 3. Determine R 1 e R 3 Há como resolver sem as Leis de Kirchhoff? Sim ou Não? 39

40 EXEMPLO 1 1. Determine V 2 usando a Lei de Kirchhoff para tensões Percorrendo a malha no sentido anti-horário: E V V V V E V V V No sentido horário: E V V V V E V V V 40

41 EXEMPLO 1 2. Determine a corrente I I V R A 3. Determine R 1 e R 3 R R 1 3 V I V I 41

42 EXEMPLO 2 Determine a corrente I e a tensão entre os terminais do resistor de 7 [] + Há como resolver sem as Leis de Kirchhoff? :+ Sim ou Não? 42

43 EXEMPLO 2 anti Percorrendo a malha no sentido horário (é um circuito SÉRIE mesma corrente em todos os elementos): E V E V V I 12,5 7I 4I 0 15I 37,5 I 2,5 A A queda de tensão no resistor de 7 [] é dada por: V2 R2I 72,5 17,5V 43

44 EXEMPLO 3 Calcule as correntes I 1, I 3, I 4 e I 5 Resolvendo para o nó a: I I I I A Para os nós b e c, respectivamente: I I I 1 A I I I 4 A Por fim, para o nó d: I I I I A

45 Alguma dúvida? Sala: 4273, ao lado do R.U. Horário preferencial: 2ª e 4ª Feira antes da aula ou envie para agendar 45

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