Universidade Federal do Rio de Janeiro. Circuitos Elétricos I EEL 420. Módulo 11

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1 Universidade Federal do Rio de Janeiro Circuitos Elétricos I EEL 420 Módulo Laplace Bode Fourier

2 Conteúdo - Transformada de Laplace Propriedades básicas da transformada de Laplace Tabela de Transformadas Propriedades de redes lineares invariantes Impedância Frações parciais Exercícios...2 Circuitos Elétricos EEL420 UFRJ 2

3 Transformada de Laplace A importância da transformada de Laplace é que ela reduz a solução de equações diferenciais à solução de equações algébricas. Para isso a transformada associa a uma função no domínio do tempo (definida para t>0) outra função em no domínio da frequência. Adicionalmente a transformada de Laplace trata do conceito de função de rede. Como estas funções de rede podem ser obtidas experimentalmente utilizando-se medidas em regime permanente senoidal a transformada de Laplace costuma ser mais intuitivo do que respostas ao impulso. Matematicamente a transformada de Laplace pode ser obtida como F s = 0 F ( s) = L[ f ( t )] f t e s t dt. Propriedades básicas da transformada de Laplace Unicidade: Laplace Uma função no tempo fica univocamente determinada por sua transformada de Linearidade: L [c f t c 2 f 2 t ]=c L[ f t ] c 2 L[ f 2 t ] Regra da derivada: L [ ḟ t ]=s L[ f t ] f 0 L [ f t ]=s 2 L [ f t ] s f 0 ḟ 0 Regra da integral Circuitos Elétricos EEL420 UFRJ

4 L[ t 0 '] f t ' dt = L [ f t ] s Deslocamento no tempo L [u t f t ]=e s F s Convolução L[ 0 t ] h t e d =H s E s.2 Tabela de Transformadas O cálculo da transformada de Laplace pode ser trabalhoso mas, por sorte, o uso de algumas poucas funções resolve a maior parte dos problemas encontrados. Estas funções estão tabeladas a seguir e conhecer estas funções, portanto, é essencial para resolver problemas usando a transformada de maneira simples. f(t) F(s) Frequência Natural t n t u t s n s s =0 t n n! s n s,2,..., n =0 e a t s a t n n! e a t s a n s = a s,2,..., n = a Circuitos Elétricos EEL420 UFRJ 2

5 f(t) F(s) Frequência Natural cos t sen t e t cos t e t sen t 2 K e t cos t K a e t cos t b a e t sen t s s 2 2 s 2 2 s s 2 2 s 2 2 K s j K * s j a s b s 2 2 s,2 =± j s,2 =± j s,2 = ± j s,2 = ± j s,2 = ± j s,2 = ± j.3 Propriedades de redes lineares invariantes Para qualquer rede linear invariante a resposta completa é a soma da resposta ao estado zero com a resposta à excitação zero. Igualmente, pela linearidade da transformada de Laplace, o mesmo é válido para as correspondentes funções no domínio da frequências. A função de rede é, por definição, a função de s que, quando multiplicada pela transformada de Laplace da excitação, dá a transformada de Laplace da resposta ao estado zero. A função de rede também pode ser chamada de função de transferência. Para qualquer rede concentrada linear invariante, qualquer de suas funções de rede é uma função com coeficientes reais. Para qualquer rede linear invariante, as condições iniciais exigidas para obter o valor de qualquer variável de rede são completamente especificadas pelas tensões iniciais nos capacitores e correntes iniciais nos indutores. Circuitos Elétricos EEL420 UFRJ 3

6 Para qualquer rede linear invariante a função de rede é a transformada de Laplace da correspondente resposta ao impulso. impulso. Para qualquer rede linear invariante a derivada da resposta ao degrau é a resposta ao.4 Impedância Observe que o mesmo resultado poderia ter sido encontrado se a transformada de Laplace tivesse sido aplicada aos elementos do circuito, individualmente, antes de qualquer cálculo. Assim, capacitor e indutor apresentariam impedâncias semelhantes as estudas em regime permanente senoidal. As condições iniciais, por outro lado, seriam substituídas por fontes de tensão em degrau (no capacitor) ou corrente em degrau (no indutor). v L =L di dt após a transformada de Laplace corresponde a V L s = L s I s v C = C i dt após a transformada de Laplace corresponde a V C s = C s I s v R =R i após a transformada de Laplace corresponde a V R s = R I s Observe que as parcelas L s, capacitor e resistor respectivamente. C s e R, correspondem as impedâncias do indutor, Exemplo: Calcular a resposta completa (corrente) para o circuito RLC série alimentado com fonte de tensão E(t). Considerar V C (0)=V, I L (0)=5A, L=H, R=6Ω e C=0,04F. Circuitos Elétricos EEL420 UFRJ 4

7 L di dt +R i+ t C i(t ) dt +v c (0 )=e(t), para t 0 0 Tomando a transformada de Laplace da equação acima s L I (s) L i L (0 )+ R I (s)+ I (s) s C + v (0 ) C =E (s) s L s ( s2 + R L s+ L C ) I (s)=e (s)+l i (0 ) v (0 ) C L s Observe que esta é a mesma equação que teríamos encontrado se tivéssemos aplicado a transformada diretamente sobre o circuito. Isto pode ser melhor visto se o circuito for redesenhado como abaixo. No primeiro circuito são apresentadas as condições inicias, a fonte e as impedâncias (as mesmas impedâncias obtidas para regime permanente senoidal porém trocando jω por s). No segundo desenho o modelo do indutor carregado foi transformado de Norton para Thèvenin, de onde pode ser obtida uma equação de malha idêntica as equações acima. Resposta ao estado zero: Considerando que H s = I s E s então I s =H s E s Circuitos Elétricos EEL420 UFRJ 5

8 A resposta ao estado zero corresponde a s I 0 s = s E s Supondo e t =2 sen 5 t então E s = 60 s Assim a resposta ao estado zero é 60 s I 0 s = [ s ] s Resposta a excitação zero: A resposta resposta natural ou resposta à excitação zero, é obtida fazendo e t =0 ou seja E s =0, assim I i s = 5 s s A resposta completa é 60 s I s = [ s ] s s s parciais. Observe que em ambos os casos a antitransformada pode ser obtida por frações.5 Frações parciais A antitransformada de Laplace corresponde a operação inversa a da transformada e deve ser realizada para converter as funções do domínio frequência (s) para o domínio tempo (t). Como as funções de transferência e as respostas dos sistemas correspondem a grandes frações de polinômios, como as indicadas no exemplo anterior, podemos separar estas grandes Circuitos Elétricos EEL420 UFRJ 6

9 frações em outras menores, chamadas de frações parciais, e pela tabela, obter a resposta do sistema no domínio tempo. F s = P s Q s = b 0 sm b s m... b m s b m a 0 s n a s n... a n s a n F s =K m s z i i = n j= s p j função. onde os z i são chamados zeros da função racional e p j são chamados polos da Quando não há restrições as frações que podem ser obtidas, uma alternativa para obter um conjunto de frações parciais que satisfaça o problema é: Primeiro colocamos a função na forma própria F s = P s Q s = P s R s Q s Se existirem apenas polos reais não múltiplos então separamos as frações com um polo em cada fração na forma F s = K n s p n n K Se existirem polos reais múltiplos então adicionamos frações do tipo m n=2 s p m n Se existirem polos complexos conjugados podemos utilizar a mesma estratégia dos polos simples (cada polo um número complexo) ou separar em frações com coeficientes reais que podem gerar um seno ou um cosseno amortecido ou ambos. Exemplo : Polos simples Circuitos Elétricos EEL420 UFRJ 7

10 s 2 3 s 5 F s = s s 2 s 3 s 2 3 s 5 s s 2 s 3 = K s K 2 s 2 K 3 s 3 Método : Somar as três frações parciais e igualar o resultado a F(s). s 2 3 s 5=K s 2 s 3 K 2 s s 3 K 3 s s 2 Método 2: Substituir s por um valor qualquer ou por um conjunto de valores e resolver a equação ou as equações resultantes. Se o valor de s corresponde a um polo então as contas podem ser simplificadas de forma que cada constante K pode ser calculada separadamente. Este método é chamado de método dos resíduos. K = s2 3 s 5 = 3 s 2 s 3 s= 2 =,5 K 2 = s2 3 s 5 = 3 s s 3 s= 2 = 3 K 3 = s2 3 s 5 = 5 s s 2 s= 3 2 =2,5 f t =,5 e t 3 e 2 t 2,5 e 3 t Exemplo 2: Um polo duplo F s = s2 3 s 5 s 2 s 2 s 2 3 s 5 s 2 s 2 = K s 2 K 2 s K 3 s 2 s 2 3 s 5=K s 2 K 2 s s 2 K 3 s 2 Circuitos Elétricos EEL420 UFRJ 8

11 K = s2 3 s 5 = 3 s 2 s= =3 K 3 = s2 3 s 5 = 3 s 2 =3 s= 2 { s2 3 s 5 s 2 s 2 = K s K 2 2 s K 3 s 2} s=0 5=2 K 2 K 2 K 3 =9 2 K 2 K 2 = 2 f t =3 t e t 2 e t 3 e 2 t Exemplo 3: Polos duplos e triplos F s = s 3 s 2 s 3 s = K 2 s K 2 s K K 3 2 s 3 4 s K 5 s 2 K 3 = s 2 s= = K 2 =! d ds s 2 s= = 2 =2 s 3 s = K = 2! d 2 ds 2 s 2 s= = 2 6 s 4 s = =3 K 5 = = s 3 s=0 Circuitos Elétricos EEL420 UFRJ 9

12 K 6 =! ds[ d = 3 s 3 ] s=0 f t =3 e t 2 t e t 2 t 2 e t 3 t Exemplo 4: Polos complexo conjugados s 2 3 s 7 F s = [ s ] s s 2 3 s 7 [ s 2 2 4] s = K s 2 j2 K * s 2 j2 K 2 s K = s2 3 s 7 s 2 j2 s s= 2 j2 K = 2 j j2 7 2 j2 2 j2 2 j2 = j 4 = K 2 = s2 3 s 7 = s s= f t = 2 e 2 t sen 2 t e t Exemplo 5: 60 s I s = [ s ] s s s I s = 0 s s s 3 s s I s =2 5 s s s 3 2 s s Circuitos Elétricos EEL420 UFRJ 0

13 i t =2 sen 5 t 26 4 e 3 t sen 4 t 5 e 3 t cos 4 t Exemplo completo: Calcular v C. Considere v C (0)=5V, exp a função exponencial e d a função impulso. aplicando a transformada diretamente sobre o circuito e as condições iniciais temos A condição inicial do capacitor por ser representada pelo equivalente Thèvenin ou Norton. Neste caso a tensão no capacitor é obtida por uma fonte de corrente em paralelo com o capacitor. I0 C (s)= V (0) C C s=c V s C (0)=0,5 Aplicando análise nodal V C V R 2 0,5+ V C R 2 +V C C s=0 V C 0 s+ 2 0,5+ V C 0 0 +V 0, s=0 C Circuitos Elétricos EEL420 UFRJ

14 V C (s+2)= 0 s+ +25 V C (s)= 25 s+35 (s+) (s+2) = 0 s+ + 5 s+2 v C (t)=(0 e t +5 e 2 t ) u(t ).6 Exercícios ) Determinar as tensões de nós no domínio do tempo. Considere que o circuito está em regime permanente. [+ 4 s s] [ V (s) + V 2 (s)] = [ I (s) I (s) ] como I (s)= s =[ [ V + 4 s V 2 (s)] 0 0 ] [ ] s 2 + s 2 s Circuitos Elétricos EEL420 UFRJ 2

15 [ V (s) V 2 (s)] =[ ] s+ 4 2 s+ 4 v (t)= e t u(t) v 2 (t )=2 e t u(t ) 2) Mostre que o circuito abaixo tem função de transferência de filtro passa faixas com frequências f 0 =500 Hz e largura de faixa de 00 Hz. H s = K 0 Q s s 2 0 Q s 2 0 Para os nós A (entre R, R5, C e C2) e B (entre C2, R2 e o amp. op.) v A Y R Y C Y C2 Y R5 v B Y C2 v o Y R5 =0 v A Y C2 v B Y R2 Y C2 =0 v B = v R o 3, H s = v s o R 3 R 4 v i s 0 =2 f 0 =34,59 rad/s 0 2 = rad/s 2 Circuitos Elétricos EEL420 UFRJ 3

16 0 =2 00=628,38 rad/s Q 3) No circuito abaixo os capacitores valem 0,5mF e estão carregados com 5V. Os resistores são de kω. a) Determine a função de transferência H(s)=Vo(s)/V2(s); b) Qual o valor de K para que o circuito seja um oscilador; c) Determine h(t); d) escreva um conjunto de equações de estado para este circuito. Equacionando pelas tensões de nós: V X V 2 + V V X +V R R X K V C s=0 V C s+ V V X R =0 substituindo V X =V (R C s+) na primeira equação temos V X R V 2 R +V X R V R +V X C s K V C s=0 V (2 R C s+2+ R 2 C 2 s 2 +R C s K R C s)=v 2 K V V o = 2 R 2 C 2 s 2 +(3 R C K R C ) s+ Para oscilar: 3 R C K R C =0 Circuitos Elétricos EEL420 UFRJ 4

17 4) Calcular a função de rede que relaciona a entrada V o (s) com V R2 (s). Determinar V R2 (s) sabendo que v C (0)= 2V e i L (0)=A. Calcular V R2 (t) para t 0. Escrever a resposta como soma da resposta ao estado zero e a excitação zero. 5) Determine os valores de R 2 e R 3 sabendo que a função de transferência, definida por H(ω)=V 2 (ω)/v (ω), tem uma amplitude máxima igual a 3. Faça C=F e R =Ω. Considere o amplificador operacional com ganho A=0 6 v + = V C s R+ C s = V R C s + v - = V 2 R 3 R 2 + R 3 V 2 =A ( V R C s+ V 2 R3 R 2 + R 3) Circuitos Elétricos EEL420 UFRJ 5

18 V 2 ( + A R 2 R 2 +R 3) = V R C s + V 2 A = V 2 R C s+ R 2 +R 3 R 2 +R 3 + R 3 A 6) Um amplificador transistorizado tem o modelo de pequenos sinais apresentado abaixo. a) Calcular a função de rede que relaciona v o (s) com v i (s). b) Por inspeção, qual a ordem da função de rede? Justifique. c) Determinar os pólos e zeros da função de rede. d) Calcular v o (t), em regime permanente senoidal, quando v i (t) é, cos(0 t ), cos(5 0 6 t ) e cos( t ). Transformando a fonte vi e o resistor Rs em um equivalente Norton. 0=v S (G B +G X +G S ) v i G S v pi G X 0=v pi (G X +G pi +s C pi +s C mi ) v S G X v O s C mi 0=gm v pi +v O (G L +s C mi ) v pi s C mi onde gm=74. G A v (s )= X G S gm s C mi (G X +G S +G B ) C mi C pi s 2 +b s+c onde Circuitos Elétricos EEL420 UFRJ 6

19 b= R L C mi + +gm [ R L // R pi // ( R X +R S // R B)] C pi [ R L // R pi // ( R X + R S // R B )] c= R L C mi C pi [ R pi // ( R X + R S // R B )]. 7) Determinar Z e n para a máxima transferência de energia a R6. Considere Vs=20 cos(00 t)v. Calculando um Thèvenin do primário do transformador para à esquerda do circuito V S V 2 0 I = R 4 0 I = 0 V s V 2 R 4 Supondo o nó A na conexão entre L, R5, C3 e F V A L s V a R 5 =0I I 2 () Supondo o nó B na entrada do Thèvenin C 3 s V 2 V A =I 2 V A =V 2 I 2 C 3 s (2) Circuitos Elétricos EEL420 UFRJ 7

20 Substituindo a equação 2 na equação V 2 L s I V 2 L C 3 s 2 2 I 2 R 5 R 5 C 32 s =0 I I 2 V 2 L s R 5 I 2 V 2 L s R 4 R 5 = 0 V S L C 3 s 2 R 5 C 3 s = 0 V S V 2 I R 4 R 2 4 R 4 I 2 V TH = 0 V S R 4 L s R 4 R 5 Z TH =I 2 L C 3 s 2 R 5 C 3 s L C 3 s 2 R 5 C 3 s L s R 4 R 5 A impedância do secundário pode ser refletida para o primário Z '= Z n 2 R 6 '= R 6 n 2 Para máxima transferência de energia na frequência da fonte basta fazer s= j 00 V S = R Z TH =R Z ' R 6 ' I Z TH =I Z ' * 8) Encontre a expressão para Vo(s). Considere o circuito em regime permanente. Circuitos Elétricos EEL420 UFRJ 8

21 O circuito pode ser resolvido por malhas. Supondo as correntes I e I2 as correntes de malha, circulando em sentido horário, na malha da esquerda e da direita respectivamente Para a malha I R 6 L 6 s L 7 s 2 M s I 2 L 7 s M s V 2 =0 Para a malha 2 I L 7 s M s I 2 L 7 s R 9 =0 V O s =I 2 s R 9 Da malha 2 I =I 2 L 7 s R 9 L 7 s M s Substituindo na equação da malha I 2 L 7 s R 9 L 7 s M s R 6 L 6 s L 7 s 2 M s I 2 L 7 s M s =V 2 I 2 L 7 s R 9 [ R 6 s L 6 L 7 2 M ] I 2 s 2 L 7 M 2 =V 2 s L 7 M I 2 { L 7 s R 9 [ R 6 s L 6 L 7 2 M ] s 2 L 7 M 2 }=V 2 s L 7 M V I 2 = 2 s L 7 M s 2 [ L 7 L 6 L 7 2 M L 7 M 2 ] s [ R 9 L 6 L 7 2 M L 7 R 6 ] R 9 R 6 Circuitos Elétricos EEL420 UFRJ 9

22 V V O = 2 s L 7 M R 9 s 2 [ L 7 L 6 L 7 2 M L 7 M 2 ] s [ R 9 L 6 L 7 2 M L 7 R 6 ] R 9 R 6 9) Determine a corrente io(s) e io(t) sabendo que M=H e as condições iniciais são i L2 0 - =2A e i L3 0 - =3A. 0) Para o circuito abaixo, em regime permanente senoidal, determine a potência média fornecida pela fonte Vin. Z2 é um resistor cuja potência média é igual a 43,9W quando alimentado com uma tensão 3,3cos(00t). Considere Vin=848,53cos(t+45 o ). Solução: Este problema foi resolvido em sala de aula utilizando fasores. Z 2 = V Z P =V Z2MÁX 2 P =3, ,9 00 A impedância no secundário do segundo transformador é Z EQ =Z 2 X C2 =00,26 S Circuitos Elétricos EEL420 UFRJ 20

23 Esta impedância refletida para o primário é Z EQ2 = n 2 n 2 Z EQ = ,26 45 S =4400 S A impedância do secundário do primeiro transformador, refletida para o seu primário é Z EQ3 = n 2 n 2 45 S 45 Z EQ2 = S 4400 S 45 = 5 S2 490 S 5 S Fazendo o paralelo desta impedância com X_L2 obtemos Z EQ4 =495 S // Z EQ3 = 495 S 5 S2 490 S 5 S 495 S 5 S2 490 S 5 S = 2475 S S 2475 S 500 S S 5 Assim, a impedância total nos terminais da fonte corresponde a Z EQ5 =47,5 S 5 S Z EQ4 = 2475 S S 2475 S 500 S S 5 52,5 S Como a fonte é senoidal, a potência média fornecida por ela pode ser calculada como P= V IN 2 2 Z EQ5 cos( Z EQ5 ) S = j onde V IN =848,53V ) Determine V 2 (t) para regime permanente senoidal. I é uma fonte com amplitude de 0,707V RMS e frequência de 0,59 Hz. Circuitos Elétricos EEL420 UFRJ 2

24 2) A rede linear invariante abaixo estava em regime permanente para t<0s. Em t=2s, a chave S troca de posição. Calcular vo(t) para t>0. Para 0 t 2 C6 e C4 não tem influência sobre vo, então é possível transformar o circuito Thèvenin V4-R8 em um circuito Norton equivalente. Com isto as resistências R7 e R8 ficam em paralelo e as fontes Norton e I também. I N = V 4 R 8 R N =R 8 I TOT =I N I = V 4 R 8 I onde I s = 90 s e V 4 s = 30 s R TOT =R7 // R 8 Circuitos Elétricos EEL420 UFRJ 22

25 I TOT V O s = = G TOT B C5 I TOT R TOT C 5 s = I TOT R TOT R TOT C 5 s R V O t = I TOT R TOT e TOT C 5 u t t Para analisar o circuito a partir de t=2s é necessário calcular as condições iniciais dos dois capacitores. R V O 2 =V C5 2 = I TOT R TOT e TOT C 5 u t 2 V C4 s = I s X C4 V C4 t = C 5 90 t 2 V C4 2 = C com polaridade positiva a esquerda. e C5. Observe que, com o fechamento da chave S, há uma redistribuição de cargas entre C4 I C4C5 s = s V V C4 C5 = C C V V 4 5 C4 C5 s C 4 C 5 C 4 C5 C 4 C 5 Observe que a corrente que passa pelos capacitores é impulsiva. Esta corrente recarrega cada capacitor com V C4final 2 = I C4C5 V C C4 2 4 V C5final 2 =V C5 2 I C4C5 C 5 e V C4final =V C5final Circuitos Elétricos EEL420 UFRJ 23

26 Os capacitores carregados podem ser representados pelos seus equivalentes Thèvenin ou Norton. Neste caso, por simplicidade, é mais fácil utilizar os equivalentes Norton sendo que cada fonte de corrente impulsiva vale I NC4 s = V C4final s C 4 s = V C4final C 4 I NC5 s = V C5final s C 5 s = V C5final C 5 Assim o circuito continua um RC paralelo em paralelo com fontes de corrente I TOT2 = I NC4 I NC5 V 4 R 8 R EQ =R 7 // R 8 XC EQ = XC 4 // XC 5 = C 4 s C 5 s Circuitos Elétricos EEL420 UFRJ 24