Universidade Federal do Rio de Janeiro. Circuitos Elétricos I - EEL420. Módulo 7

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1 Universidade Federal do Rio de Janeiro Circuitos Elétricos I - EEL420 Módulo 7 Musschenbroek Green Gauss Edison Tesla Lorentz

2 Conteúdo 7 - Circuitos de Segunda Ordem Circuito RLC linear e invariante no tempo Resposta à excitação zero Resposta ao estado zero Resposta ao degrau Resposta ao impulso Oscilação, resistência negativa e estabilidade O método do estado-espaço Equações de estado e trajetória Redes lineares e invariantes Circuitos não lineares e variáveis com o tempo Caso linear variável com o tempo Caso não linear Dualidade e Analogias Exercícios Soluções...31 Circuitos Elétricos I EEL420 UFRJ 2

3 7 Circuitos de Segunda Ordem 7.1 Circuito RLC linear e invariante no tempo Resposta à excitação zero i C i R i L =0 C dv v R i L =0 como a tensão sobre todos os componentes é a mesma temos que v= L di L, assim C L d 2 i L L 2 R di L i L =0 ou d 2 i L R C di L + 1 C L i L=0 cujas condições iniciais são i L 0 =I 0 e di L 0 = v 0 L L = v 0 C L = V 0 L. Se, por conveniência, definirmos = 1 2 R C (parâmetros de amortecimento para o circuito paralelo) Circuitos Elétricos I EEL420 UFRJ 1

4 e ω 0 = 1 L C (frequência de ressonância) a equação anterior pode ser reescrita como d 2 i L +2 α di L 2 +ω 2 0 i L =0. Esta é uma equação diferencial de segunda ordem homogênea de coeficientes constantes. O polinômio característico para esta equação diferencial é s 2 +2 α s+ω 0 2 =0. Os zeros do polinômio característico são chamados de raízes características ou, melhor dizendo, frequências naturais do circuito: s 1,2 = ± Estas raízes dependem de e 0, os dois parâmetros que caracterizam o comportamento da rede de segunda ordem. Desta forma podem existir quatro respostas distintas dependendo da posição das: raízes reais e diferentes, reais e iguais, complexo conjugadas, com parte real nula. a) Raízes reais (s 1 e s 2 ), negativas e diferentes (α>ω 0 ) circuito superamortecido i L t =k 1 e s 1 t k 2 e s 2 t onde k 1 e k 2 são constantes reais que dependem das condições iniciais. b) Raízes reais (s 1 e s 2 ), iguais e negativas (α=ω 0 ) circuito criticamente amortecido i L t = k 1 k 2 t e t onde k 1 e k 2 são constantes reais que dependem das condições iniciais. c) Raízes complexo conjugadas negativas (α<ω 0 ) circuito subamortecido Circuitos Elétricos I EEL420 UFRJ 2

5 i L t =k 1 e t cos d t ou i L (t )=k 1 e α t cos(ω d t)+k 2 e α t sen(ω d t) onde e d são constantes reais que formam as raízes ( s 1,2 = ± j d ), k 1 e θ (ou k 1 e k 2 ) são constantes reais que dependem das condições iniciais. d) Raízes imaginárias (α=0) circuito LC sem perdas (ressonante) i L t =k 1 cos d t ou i L t =k 1 cos d t k 2 sen d t onde d é uma constante real que determina as raízes ( s 1,2 =± j d =± j 0 ), k 1 e θ (ou k 1 e k 2 ) são constantes reais que dependem das condições iniciais. Alguns detalhes sobre estas soluções precisam ficar evidentes: 1. Para qualquer das soluções acima as duas contantes que devem ser determinadas (k 1 e k 2 ou k 1 e θ) podem ser obtidas pelas condições iniciais do problema. 2. Com exceção da solução criticamente amortecida todas as demais apresentam duas exponenciais. Para os circuitos subamortecido e sem perdas as exponenciais são complexas. 3. O caso sem perdas apresenta resistência infinita em paralelo com L e C paralelos ou resistência nula em série com L e C série. 4. A energia total armazenada no circuito é igual a soma das energias acumuladas em campo elétrico e magnético. Com o passar do tempo a energia é trocada entre o capacitor e o indutor. Se houver resistência parte da energia será dissipada nela até que a energia armazenada seja nula. Circuitos Elétricos I EEL420 UFRJ 3

6 5. Circuitos de segunda ordem pode ser obtidos por redes RLC e LC ou associações de redes RC e RL ou por redes com dois capacitores ou dois indutores independentes. Redes RC e RL passivas não apresentam resposta natural oscilatórias. Além dos termos e 0, que apresentam relação direta com a resposta temporal, outras constantes poderiam ter sido definidas para equação característica evidenciando elementos da resposta em frequência da rede. Um parâmetro muito comum quando se trata de resposta em frequência, e que possui uma relação direta com a resposta temporal, é o chamado fator de mérito. O fator de mérito ou fator de qualidade, Q, é uma forma de determinar o amortecimento relativo em uma oscilação amortecida. Q= 0 2 Para circuitos RLC Q=ω 0 C R= R ω 0 L = R L C 1 Quanto menos amortecimento maior o Q. Para o caso de α=0, Q=. Quando Q<1/2 o sistema é superamortecido. Quando Q=1/2 (raízes reais e iguais) o sistema é criticamente amortecido. Quando Q>1/2 o sistema é subamortecido Resposta ao estado zero. i C i R i L = I C L d 2 i L L 2 R di L i L = I, com condições iniciais i L 0 =0 e Circuitos Elétricos I EEL420 UFRJ 4

7 di L 0 = v 0 L L = v 0 C L =0 i L = i h A solução pode ser obtida a partir da soma entre a solução homogênea e particular, + i p, da mesma forma que para os circuitos de primeira ordem. Também é valida a propriedade de linearidade da resposta ao estado zero, cuja demonstração é análoga à realizada para circuitos de primeira ordem Resposta ao degrau Quando I t =u t e as raízes da equação característica são reais e iguais a resposta geral da rede é da forma i L t = k 1 k 2 t e s 2 t 1. Se as raízes são distintas a solução geral é da forma i L t =k 1 e s 1 t k 2 e s 2 t 1 Circuitos Elétricos I EEL420 UFRJ 5

8 então i L 0 =k 1 k 2 1=0. Derivando a resposta geral e analisando para t=0 di L 0 =k 1 s 1 k 2 s 2 =0. Resolvendo o sistema de equações determinam-se as constantes k 1 = s 2 s 1 s 2 e k 2 = s 1 s 1 s 2. A resposta ao degrau unitário é, portanto i L t =[ 1 s 1 s 2 s 2 e s 1 t s 1 e s 2 t 1] u t. No caso subamortecido as frequências naturais são complexas s 1,2 = ± j d (na forma retangular) s 1,2 = 0 e ± j 2 (na forma polar) Circuitos Elétricos I EEL420 UFRJ 6

9 onde s 1 = s 2 = 0 = 2 2 d e =arctan. d obtém-se Se estas raízes complexo conjugadas forem substituídas na solução do problema i L t =[ 1 0 d e t cos d t ] u t. v C t =u t L C 0 d e t sen d t Resposta ao impulso No circuito da figura abaixo, uma fonte de corrente impulsiva carrega o capacitor no instante t=0 e depois torna-se nula. A partir deste ponto, o resultado é idêntico à resposta a excitação zero. Circuitos Elétricos I EEL420 UFRJ 7

10 Alternativamente, em redes lineares, a resposta ao impulso pode ser obtida pela derivada da resposta ao degrau. O equacionamento do problema já foi apresentado L C d 2 i L t 2 L R di t L i L = t e a solução para esta equação é da forma i L t =k 1 e t cos d t. Para o cálculo dos coeficientes k 1 e θ é necessário conhecer a derivada da resposta di L t = k 1 e t cos d t k 1 e t sen d t d. A corrente i L 0 + não pode ser diferente de zero, caso contrário sua derivada seria um impulso e a segunda derivada seria uma função dublê. Desta maneira a equação de i L não teria como ser satisfeita pois não seria possível igualar a função dublê. Assim sendo i L 0+ =0 Apesar disto, a corrente no capacitor pode variar rapidamente e carregar instantaneamente o capacitor. Nesta situação v C 0 + = 1 C i C t = 1 C t = 1 C como v L =L di L 0+ então Circuitos Elétricos I EEL420 UFRJ 8

11 di L 0 + = 1 C L Assim podemos calcular as constantes que nos faltam: i L 0 + =0=k 1 cos di L 0+ = 1 L C = k cos k sen 1 1 d uma possível solução é obtida fazendo =90 0 assim 1 L C = k 1 d logo k 1 = 2 0 d O resultado é, portanto i L t = 2 0 e t sen d t u t d Circuitos Elétricos I EEL420 UFRJ 9

12 7.2 Oscilação, resistência negativa e estabilidade Para o caso particular do circuito de segunda ordem sem perdas, com =0 ou Q= (são a mesma coisa), qualquer excitação que contenha uma componente espectral de frequência senoidal igual a 0 =1/ L C faz o circuito oscilar com a frequência de 0. Este circuito é chamado de ressonante ou sintonizado. Na prática, tanto o capacitor quanto o indutor, e principalmente este último, apresentam perdas que impedem este circuito de ser um oscilador. No máximo é possível obter um circuito subamortecido com Q de algumas centenas. Por outro lado, se o resistor que forma o circuito RLC for negativo, então o valor de será negativo. Neste caso as raízes do polinômio característico podem ser: a) se 0 as duas raízes são números complexo conjugados e a solução do problema é da forma k e t cos d t. b) se 0 as duas soluções serão reais e positivas o que leva a solução ser uma soma de exponenciais com expoente positivo da forma k 1 e s 1 t k 2 e s 2 t. Daí é possível deduzir que o resistor de valor negativo é um elemento ativo que fornece energia para o sistema. Este resistor ativo pode ser obtido por diferentes procedimentos como o uso de um diodo túnel ou o uso de técnicas de realimentação de sistemas. Estas técnicas, entretanto só aproximam o modelo deste resistor linear para uma determinada faixa de valores de tensão e corrente. Assim, não é incomum que, com o aumento dos valores de tensão e corrente, o modelo de resistência negativa deixe de ser válido. Na maioria dos casos devemos levar em conta este comportamento não linear dos circuitos e modificar o resultado matemático obtido pela aproximação linear. Por esta razão o uso de resistores negativos em conjunto com um circuito ressonante pode resultar em uma oscilação não linear ou terminar queimando algum elemento do circuito por excessiva dissipação térmica em função das elevadas tensões e correntes. Considerando o caso genérico do circuito RLC paralelo, em relação a sua característica oscilatória, é possível dividir o circuito em três categorias distintas com relação ao plano S. Circuitos Elétricos I EEL420 UFRJ 10

13 a) As frequências naturais estão no semiplano esquerdo. Neste caso a resposta pode ser amortecida, criticamente amortecida ou subamortecida, sempre com uma exponencial amortecida que faz destes circuitos assintoticamente estáveis, ou seja, na resposta a excitação zero as variáveis de rede tendem a zero a medida que tempo tende a infinito. b) As frequências naturais estão sobre o eixo j. Neste caso a resposta corresponde a um sistema sem perdas que oscila infinitamente com frequência 0 como resposta a excitação zero as variáveis de rede são oscilantes. c) As frequências naturais estão no semiplano direito. As raízes da equação característica apresentam parte real positiva, o que implica em exponenciais crescentes. Neste caso a resposta a excitação zero se torna ilimitada quando o tempo tende a infinito. 7.3 O método do estado-espaço Variáveis de estado são aquelas que determinam o estado de um circuito. Formalmente um conjunto de dados se qualificam como estado desde que atendam as seguintes condições: 1. A qualquer instante de tempo, digamos t 1, o estado em t 1 e as formas de onda de excitação (especificadas a partir de t 1 ) determinam univocamente o estado a qualquer instante t>t 1 ; 2. O estado no instante t e as excitações no instante t (e às vezes algumas de suas derivada) determinam univocamente o valor no instante t de qualquer variável de rede. Desta forma existem infinitos modos de representar os estados de cada rede. De um modo geral o estado de qualquer rede fica determinado por todas as tensões nos capacitores (ou cargas) e por todas as correntes nos indutores (ou fluxo). Algumas vezes são necessárias informações adicionais para descrever o estado da rede como a posição de uma chave ou o estado do núcleo de indutores (saturado ou não). O uso destas variáveis permitem que o comportamento do circuito seja descrito por um sistema de equações diferenciais de primeira ordem do tipo ẋ= f x, w, t Circuitos Elétricos I EEL420 UFRJ 11

14 onde x é um vetor de estados da rede, w é um vetor que representa o conjunto de excitação e t é o tempo. Há três razões para este tipo de representação: 1. Facilita a programação computacional; 2. A extensão dos conceitos para redes não lineares e variáveis é mais simples; 3. Nessa forma vários conceitos teóricos de sistemas são imediatamente aplicáveis às redes Equações de estado e trajetória O circuito RLC abaixo apresenta um indutor e um capacitor por isso podemos equacionar esta rede em função da corrente no indutor e da tensão no capacitor (variáveis de estado). Como as equações serão integro diferenciais, opta-se pelo equacionamento das derivadas das variáveis de estado em função das outras variáveis ou das entradas da rede. di L t = 1 L v C dv C t = 1 C i 1 L R C v C onde i L e v C determinam o estado do circuito no instante t. O estado inicial fica determinado pelas condições iniciais i L 0 = I 0 v C t =V 0 Circuitos Elétricos I EEL420 UFRJ 12

15 Se desenharmos um gráfico de v C versus i L temos a trajetória estado-espaço e o plano é chamado estado-espaço. As figuras abaixo mostram o espaço de estados para um caso criticamente amortecido e outro subamortecido respectivamente. Utilizando notação matricial, este sistema de equações pode ser reescrito como dx t =A x t para t 0 x 0 = x 0 onde Circuitos Elétricos I EEL420 UFRJ 13

16 A=[ 0 1 L 1 C 1 R C ], x=[ i L t v C t ] =[ e x I 0 0] 0 v Assim como a solução para a equação diferencial escalar de primeira ordem, o sistema de equações diferenciais de primeira ordem também tem como resposta uma função exponencial. x t = x 0 e A t para t 0 Para calcular estas exponenciais, cujo expoente é uma matriz, é possível utilizar a seguinte aproximação pela série de Taylor: e t =1 t 2 t 2 2! 3 t 3 3!... e A t = I A t A2 t 2 2! A3 t ! Numericamente podemos determinar o estado-espaço da seguinte forma dx 0 = A x 0 x t x 0 dx 0 t= x 0 A x 0 t dx t =A x t x 2 t x t A x t t x [ k 1 t ] x k t A x k t t, para k=0, 1, 2, 3,... x[ k 1 t ] I t A x k t t Circuitos Elétricos I EEL420 UFRJ 14

17 Esta solução é semelhante ao método de Euler para solução de equações diferenciais de primeira ordem. Quando t tende a zero os valores calculados desta forma tendem aos valores reais. Para o caso de excitação não nula o equacionamento do problema torna-se dx t =A x t b w onde A=[ 0 1 L 1 C 1 R C ], x=[ i L t t ] b=[ 0 v, 1 C C ] =[, w=i e x I 0 0] 0 v A solução temporal pode ser obtida pela equação geral t x= x 0 e A t e A t t ' b w t ' ' Redes lineares e invariantes seguinte regra: Para equacionar um sistema a partir das equações de estado é possível seguir a 1. Escolher uma árvore (subgrafo ligado, contém todos os nós do grafo ligado original e não possui nenhum percurso fechado) contendo todos os capacitores e nenhum indutor; 2. Usar as tensões de braço da árvore nos capacitores e as correntes de enlace (braços que não pertencem a árvore escolhida) nos indutores como variáveis; 3. Escrever uma equação de corte para cada capacitor em função das outras variáveis escolhidas no item anterior; Circuitos Elétricos I EEL420 UFRJ 15

18 4. Escrever uma equação de percurso fechado fundamental para cada indutor em função das variáveis escolhidas no item 2. Exemplo: Escrever as equações de estado para o circuito abaixo Passo 1: Todos os braços que não possuem indutor. Passo 2: v C1, i 1, i 2. Passo 3: C dv C1 = i 1 i 2 Passo 4: L 1 di 1 = R 1 i 1 vs v C1 L 2 di 2 = R 2 i 2 v C1 Assim, estas três equações descrevem os estados do circuito acima em função de equações diferenciais de primeira ordem. Tradicionalmente estas equações são reescritas utilizando-se equações matriciais de forma que ]=[ 1 [dvc1 0 C 1 ] [ C 0 di 1 1 R 1 0 i L 1 L 1 1 di R i 2 2 L 2 L 2] [vc1 1 ] vs 4 0 Circuitos Elétricos I EEL420 UFRJ 16

19 ou seja na forma ẋ= A x b w onde A e b dependem da topologia da rede. Para completar a descrição do sistema basta estipular as condições iniciais x 0 = x 0 =[v C1 0 i 1 0 i 2 0 ] Observe que a descrição do problema, tal como posto, não caracteriza as tensões de nó nem as correntes de malha. Apesar disto qualquer destas variáveis de rede pode ser obtida como uma função do estado e da excitação. Por exemplo, a tensão do nó 1 pode ser escrita como v 1 t =R 1 i 1 t vs t De uma forma geral, se y é uma resposta ela pode ser expressa como uma combinação linear do vetor estado e da excitação w (para os sistemas impróprios a resposta depende das derivadas da excitação w). Assim y=c T x d 0 w onde c é um vetor constante, e d 0 um escalar. Para o caso anterior C1 v 1 =[0 R 1 0] [v i ] 1 vs 1 i Circuitos não lineares e variáveis com o tempo. Os circuitos de segunda ordem não lineares e variáveis com tempo só apresentam solução analítica em alguns poucos casos particulares. Uma possível solução consiste em linearizar o problema por partes, o que é útil apenas quando não se possui recurso Circuitos Elétricos I EEL420 UFRJ 17

20 computacional. Alternativamente podemos descrever as não linearidades e utilizar métodos numéricos para solucionar os problemas que se apresentam. Uma boa maneira para resolver estes problemas passa pelo uso de equações de estado Caso linear variável com o tempo o tempo Considerando o circuito abaixo contendo todos os elementos lineares e variantes com v R1 t =R 1 t i R1 t 1 t =L 1 t i 1 t q t =C t v t 2 t =L 2 i 2 t v R2 t =R 2 t i R2 t [ q t 1 t 1 C t 2 t ]=[ 1 C t 0 1 L 1 t 1 L 2 t R t q t 1 0 L 1 t 1 t 0 R 2 t 2 L 2 t ] [ ] [ 0 1] vs t 0 Via de regra, para sistemas lineares variáveis com o tempo, é mais simples escrever as equações de estado em função de carga e do fluxo caso contrário teremos que calcular Circuitos Elétricos I EEL420 UFRJ 18

21 d [ L t i t ] derivadas de L e C pois v L t = d [C t v t ] e i C t =. Além disto, desde que as correntes nos capacitores não incluam impulsos, a carga é uma função contínua do tempo Caso não linear Para simplificar também escrevemos equações de i L = f L, v C = f C q e v R = f R i ou i R = f R v. Exemplo 1: Passo1: Todos os braços que contenham todos os capacitores e nenhum indutor Passo2: q, 1 e 2 Passo 3: q= i 1 i 2 q= f L1 1 f L2 2 Passo 4: 1 =v C v R1 vs 1 = f C q f R1 [ f L1 1 ] vs e Circuitos Elétricos I EEL420 UFRJ 19

22 2 =v C v R2 2 = f C q f R2 [ f L2 2 ] Assim, deixando explícita a dependência das variáveis com o tempo, as equações de estado têm a forma q= f L1 1 f L2 2 1 = f C q f R1 [ f L1 1 ] vs 2 = f C q f R2 [ f L2 2 ] Exemplo 2: Considerando os resistores definidos pelas relações i R1 = f R1 v R1 e v R2 = f R2 i R2. Passo1: Todos os braços que contenham todos os capacitores e nenhum indutor Passo2: q 1, q 2, Passo 3: Para o primeiro capacitor q 1 = i R1 = f R1 v R1 q 1 = f R1 v C1 v C2 vs q 1 = f R1 [ f C1 q 1 f C2 q 2 vs] Circuitos Elétricos I EEL420 UFRJ 20

23 e para o segundo capacitor q 2 = q 1 i L q 2 = f R1 [ f C1 q 1 f C2 q 2 vs] f L Passo 4: =v C2 v R2 = f C2 q 2 f R2 [ f L ] assim as equações de estado são q 1 t = f R1 [ f C1 q 1 t f C2 q 2 t vs t ] q 2 t = f R1 [ f C1 q 1 t f C2 q 2 t vs t ] f L t = f C2 q 2 f R2 [ f L ] 7.5 Dualidade e Analogias O circuito RLC série abaixo pode ser equacionado como segue i L =i R =i C =i v L v R v C =v L di R i V 1 t 0 C i t ' ' =v 0 com Circuitos Elétricos I EEL420 UFRJ 21

24 i L 0 = I 0 e v C 0 =V 0 Considerando v C como a variável de interesse temos v C =V 0 1 t C i t ' ' e 0 i=c dv C assim L C d 2 v C R C dv C 2 v C=v com v C 0 =V 0 e dv C 0 = i 0 L C = I 0 C Observa-se que há uma semelhança muito grande entre esta equação e aquela obtida para a corrente do indutor no circuito RLC paralelo. Esta semelhança se deve a chamada dualidade ou seja circuitos diferentes com equações de mesmo formato. A tabela abaixo mostra como as variáveis devem são transformadas na dualidade. Rede Original Nó Nó terra Corte Braços série Tensões de nó LCK Tensão Carga Resistência Indutância Fonte de tensão Curto circuito Rede Dual Malha Malha externa Percurso fechado Braços em paralelo Correntes de malha LTK Corrente Fluxo Condutância Capacitância Fonte de corrente Circuito aberto Circuitos Elétricos I EEL420 UFRJ 22

25 Observe que no circuito série α= R 2 L e ω 0 = 1 L C De forma semelhante a dualidade sistemas análogos podem ser obtidos quando se compara a equação de um circuito elétrico com a equação de um outro sistema físico ou químico. Exemplo: Seja um bloco de massa M conectado a uma mola de constante elástica K presa a uma parede. A massa repousa sobre uma superfície plana e horizontal com coeficiente de atrito B. Uma força Fs atua puxando a massa para em direção contrária a da parede onde a mola está presa. Equacionar o problema. F S F K F B =M dv F S =F K x F B v M dv Massa F S =K x B dx M d 2 x 2 Sistema Mecânico f =M dv Capacitor Sistema Elétrico i=c dv Atrito f =b v Condutor i=g v Mola f = f 0 K v t Indutor i=i 0 1 L v t 7.6 Exercícios Para todos os exercícios deste módulo faça o gráfico da resposta e compare com a simulação do circuito. Para os problemas literais atribua valores aos componentes antes das simulações. Lembre-se, não comece os problemas escrevendo as condições iniciais ou em infinito. Circuitos Elétricos I EEL420 UFRJ 23

26 1) O circuito de segunda ordem estava descarregado quando a chave foi fechada em a t t=0. Sabendo-se que a tensão sobre o capacitor é da forma k + k e cos( ω t + φ) Calcule os parâmetros desconhecidos. 1 2, para t>0. permanente. 2) Para o circuito abaixo determine I1(t) para t 0. Para t<0 o circuito está em regime i g 1 3) No circuito abaixo determine i o (t). Dados v ( t ) V t + θ ( t ) = I u( t ) p g = p V cos, L C circuito. 4) Calcule v R5 (t), dado i L (0)=1A e v C (0)=1V; b) Quais as frequências naturais do Circuitos Elétricos I EEL420 UFRJ 24

27 5) Determinar V R2 (t) sabendo que v C (0)= 2V e i L (0)=1A. Calcular V R2 (t) para t 0. Escrever a resposta como soma da resposta ao estado zero e a excitação zero. 6) Encontrar a resposta completa v C (t) para t>0 para o circuito abaixo. Assuma que o circuito estava em regime permanente para t=0 - quando a chave S1 troca de posição. 7) Calcule a corrente que atravessa a rede RC e a tensão nos seus terminais. Em t(0 _ ) o circuito está em regime permanente. Em t(0) a chave S1 abre e a chave S2 troca de posição. Em t=2s as chaves retornam as posições originais. Circuitos Elétricos I EEL420 UFRJ 25

28 8) Equacione o circuito abaixo utilizando variáveis de estado: x = A x + B w. R6 é um elemento linear e invariante no tempo. 9) Encontrar a corrente que passa pelo capacitor para t>0. Assuma regime permanente antes do fechamento da chave, em t=0. Indique as frequências naturais, a resposta forçada e a resposta natural do circuito. Considere que em t=0 o capacitor estava descarregado. 10) Considere o circuito linear e invariante abaixo. a) Escreva as equações de estado para os capacitores e; b) mostre que as demais saídas da rede (tensões e correntes) podem ser obtidas por uma combinação linear do vetor de estados e da excitação. *As condições iniciais do problema são: i L1 (0)=2A, i L2 (0)=9A, i L3 (0)=0A, v C4 (0)4V e v C5 (0)=6V. A fonte é is=5cos(t). Circuitos Elétricos I EEL420 UFRJ 26

29 11) O circuito da figura 3 está em regime permanente quando, em t=0, a chave abre. Determine v C (t). 12) O circuito da figura abaixo está operando em regime permanente. Determine Vab(t) conforme indicado no circuito e esboce o gráfico. 13) Para o circuito abaixo escreva um conjunto de equações de estado. Mostre, também, que é possível determinar todas as correntes de braço em função do vetor de estado e da excitação. Redesenhe o circuito e marque o sentido e o nome de cada corrente de braço. 14) Determine, para o circuito abaixo, I R1 t e I R3 t. O circuito estava em regime permanente para t<0. Circuitos Elétricos I EEL420 UFRJ 27

30 15) No circuito abaixo, a chave S1 troca de posição em t=0. Escreva um conjunto de equações de estado que descreva o comportamento do circuito para t>0. A partir deste sistema de equações determine o valor de R4 para que a tensão sobre o indutor seja oscilatória sem amortecimento. para t>0. 16) O circuito abaixo está em regime permanente para t<0. Determinar a tensão Vx(t) 17) Para o circuito abaixo escreva um conjunto de equações de estado. Mostre que a corrente pela fonte V 5 pode ser obtida a partir das variáveis de estado e das fontes. Circuitos Elétricos I EEL420 UFRJ 28

31 18) Calcule V X para t>0s. Considere V 2 =18 δ(t). Simplificando o circuito é possível obter a equação diferencial sem resolver nenhum sistema de equações. Para t<0s considere regime permanente. 19) No circuito abaixo, a chave S1 fecha em t=21s. Calcular V R6 para t>0s. Considere I 2 =5u(t) ou I 2 =5r(t) se quiser disputar um ponto extra. Para t<0s considere regime permanente. Circuitos Elétricos I EEL420 UFRJ 29

32 20) Para t 0 =160ms a chave S1 fecha. Calcule I L2 t para t 0s. Considere que d t = t e d t t0 = t t 0 21) No circuito abaixo a chave S1 abre em t=1s, fecha em t=2s e abre novamente em t=3s. Determine V C t para t 0s. 22) Para t 0s o circuito estava em repouso. Determinar V AB t para t 0. I 3 =2 cos t u t. a) considere I 4 =12 t ; b) considere I 4 =0. Circuitos Elétricos I EEL420 UFRJ 30

33 23) A chave S2 abre em t=0s e a chave S3 em t=0,05s. Determine a expressão de I R7 t. Use equações de estado para o equacionamento. 7.7 Soluções Para todos os exercícios deste módulo faça o gráfico da resposta e compare com a simulação do circuito. Para os problemas literais atribua valores aos componentes antes das simulações. Lembre-se, não comece os problemas escrevendo as condições iniciais ou em infinito. 1) O circuito de segunda ordem estava descarregado quando a chave foi fechada em a t t=0. Sabendo-se que a tensão sobre o capacitor é da forma k + k e cos( ω t + φ) Calcule os parâmetros desconhecidos. 1 2, para t>0. Circuitos Elétricos I EEL420 UFRJ 31

34 permanente. 2) Para o circuito abaixo determine I1(t) para t 0. Para t<0 o circuito está em regime equivalente O circuito Norton formado por L 11 e F 1 pode ser transformado no seu Thèvenin L 11 ' =L 11 F 1 '= L 11 di 2 =2 di 2 Equacionando a malha de I 1 H 2 E1+6 I 1 +( L 10 +L 11 ' ) di 1 +2 di 2 =2 di 2 +2 I +4 di I 1 =12 (1) Equacionando a malha de I 2 H 1 E2+V C1 +V R1 = I 1 24+I 2 + I 2 =0 di 2 I = di 1 2 (2) Multiplicando a equação 2 por -2 e somando com a equação 1 4 di 1 +6 I =12 2 di 1 1 Circuitos Elétricos I EEL420 UFRJ 32

35 di 1 I 1 =2 Para t= os indutores são um curto e o capacitor um circuito aberto I 2 =0 I 1 = K= E 1 R 1 =2A Para t=0 +, os indutores são um circuito aberto e o capacitor é um curto circuito. Nesta condição particular, a corrente da fonte F 1 se divide igualmente pelos dois indutores I L11 (0 + )= I L10 (0 + )= I 2 (0+ ) 2 I 1 = I 2 2 I = E 2 H 1 R 2 = 24 I =24 I I = 24 I =8A 2 I 1 t =A e t K I 1 0 =A 2= 8 A= 10 I 1 t = 10 e t 2 i g 1 3) No circuito abaixo determine i o (t). Dados v ( t ) V t + θ ( t ) = I u( t ) p g = p V cos, L C Circuitos Elétricos I EEL420 UFRJ 33

36 circuito. 4) Calcule v R5 (t), dado i L (0)=1A e v C (0)=1V; b) Quais as frequências naturais do 5) Determinar V R2 (t) sabendo que v C (0)= 2V e i L (0)=1A. Calcular V R2 (t) para t 0. Escrever a resposta como soma da resposta ao estado zero e a excitação zero. 6) Encontrar a resposta completa v C (t) para t>0 para o circuito abaixo. Assuma que o circuito estava em regime permanente para t=0 - quando a chave S1 troca de posição. Circuitos Elétricos I EEL420 UFRJ 34

37 Solução: Supondo V A a tensão entre o indutor e R 5 e V B a tensão entre o indutor e R 4 então V A V 1 R 1 1 L f V A V B I L 0 C dv A =0 (1) V B 0 R 2 1 L V B V A I L 0 =0 (2) Somando 1 e 2 V A V 1 V B C dv A =0 (3) R 1 R 1 R 2 Derivando 1 1 dv A R 1 1 dv 1 V A R 1 L V 2 B L C d V A =0 2 V B = L R 1 dv A L R 1 dv 1 V A L C d 2 V A 2 =0 (4) Substituindo 4 em 3 V A V 1 R 1 R 1 L C R 2 d 2 V A 2 [ L dv A L dv 1 R 1 R 2 R 1 R 2 L R 2 R 1 C] dv A V A R 2 L C d 2 V A R 2 2 C dv A =0 [ 1 R 2 1 R 1] V A= L R 2 R 1 dv 1 V 1 R 1 0,0416 d 2 V A 0,291 dv 1 0,416 V =0,0416 dv 1 A 0,25 V 1 d 2 V A 7 dv A 10 V A = dv 1 6 V 1 Circuitos Elétricos I EEL420 UFRJ 35

38 Raízes da equação característica: s 1 = 2 e s 2 = 5 v C 0 + =v C 0 = =6V I L 0 + =I L 0 = =1A C dv C 0+ =I R5 I L 0 = V V 1 C 0 1= 5 6 R 1 4 1= 1,25 A dv C 0 + = 1,25 0,25 = 5V s 1 V C =3V V C t =k 1 e 2 t k 2 e 5 t k 3 V C =3=k 3 V C 0 + =6=k 1 k 2 3 k 1 k 2 =3 dv C 0 + = 5= 2 k 1 5 k 2 2 k 1 5 k 2 = 5 k 1 =3,33, k 2 = 0,33 e k 3 =3 7) Calcule a corrente que atravessa a rede RC e a tensão nos seus terminais. Em t(0 _ ) o circuito está em regime permanente. Em t(0) a chave S1 abre e a chave S2 troca de posição. Em t=2s as chaves retornam as posições originais. Circuitos Elétricos I EEL420 UFRJ 36

39 8) Equacione o circuito abaixo utilizando variáveis de estado: x = A x + B w. R6 é um elemento linear e invariante no tempo. 9) Encontrar a corrente que passa pelo capacitor para t>0. Assuma regime permanente antes do fechamento da chave, em t=0. Indique as frequências naturais, a resposta forçada e a resposta natural do circuito. Considere que em t=0 o capacitor estava descarregado. 10) Considere o circuito linear e invariante abaixo. a) Escreva as equações de estado para os capacitores e; b) mostre que as demais saídas da rede (tensões e correntes) podem ser obtidas por uma combinação linear do vetor de estados e da excitação. *As condições iniciais do problema são: i L1 (0)=2A, i L2 (0)=9A, i L3 (0)=0A, v C4 (0)4V e v C5 (0)=6V. A fonte é is=5cos(t). Circuitos Elétricos I EEL420 UFRJ 37

40 11) O circuito da figura 3 está em regime permanente quando, em t=0, a chave abre. Determine v C (t). 12) O circuito da figura abaixo está operando em regime permanente. Determine Vab(t) conforme indicado no circuito e esboce o gráfico. 13) Para o circuito abaixo escreva um conjunto de equações de estado. Mostre, também, que é possível determinar todas as correntes de braço em função do vetor de estado e da excitação. Redesenhe o circuito e marque o sentido e o nome de cada corrente de braço. supondo as correntes de cima para baixo e da esquerda para a direita Circuitos Elétricos I EEL420 UFRJ 38

41 C 2 dv C v C R 4 I 1 i L2 =0 L di L2 =v C i L2 gm v C R 5 dv C = v C i L2 I 1 R 4 C 2 C 2 C 2 di L2 = 1 gm R 5 v C L 2 i L2 R 5 L 2 equacionar as demais correntes em função dos componentes, v C e i L2. 14) Determine, para o circuito abaixo, I R1 t e I R3 t. O circuito estava em regime permanente para t<0. Equacionando a malha V1, R1, L1 e R3. v 1 = R 1 I R1 R 3 I R3 L 1 dir 3 180u t =30 I R1 30 I R3 120 dir 3 4 di R3 I R3 =6u t I R1 (1) Equacionando a malha V1, R1, R2, C2. Circuitos Elétricos I EEL420 UFRJ 39

42 v 1 = R 1 R 2 I R1 R 2 I R3 1 C 1 I R1 1 C 1 I R3 180u t =90 I R1 60 I R3 15 I R1 15 I R3 12 t =60 di R1 12 t =60 di R1 I R1 4 di R3 I R1 I R3 4 di R3 I R3 12 t =6 di R1 I R1 6 u t I R1 2 t 6 u t = di R1 I R1 3 (2) A equação 2 é uma equação diferencial de primeira ordem. Uma vez determinado I R1 (equação 2) esta informação pode ser utilizada na equação 1, outra equação diferencial de primeira ordem. I R1 0 = v 1 R 1 R 2 v 1 I R1 =I R3 = R 1 R 3 I R3 0 =0 15) No circuito abaixo, a chave S1 troca de posição em t=0. Escreva um conjunto de equações de estado que descreva o comportamento do circuito para t>0. A partir deste sistema de equações determine o valor de R4 para que a tensão sobre o indutor seja oscilatória sem amortecimento. Circuitos Elétricos I EEL420 UFRJ 40

43 C 3 dv C3 i L1 v C3 =0 (1) R 3 L 1 di L1 i R v L1 3 C3 =0 (2) As equações de estado dv C3 = v C3 i L1 (3) R 3 C 3 C 3 di L1 = v C3 L 1 R 4 L 1 i L1 (4) De 2 temos que v C3 =L di L1 i L1 R 3 (5) Derivando 5 dv C3 =L 1 d 2 i L1 R di L1 2 3 (6) Substituindo 5 e 6 em 1 L 1 C 3 d 2 i L1 R C di L i L 1 L1 di L1 R 3 R 4 i R L1 =0 3 Circuitos Elétricos I EEL420 UFRJ 41

44 L 1 C 3 d 2 i L1 2 R 4 C 3 L 1 R 3 di L1 1 R 4 R 3 i L1 =0 d 2 i L1 2 R 4 L 1 1 R 3 C 3 di L1 1 L 1 C 3 R 4 L 1 C 3 R 3 i L1 =0 R 4 L 1 1 R 3 C 3 =0 R =R =0 R 4 = 1 2 para t>0. 16) O circuito abaixo está em regime permanente para t<0. Determinar a tensão Vx(t) v x v 3 i R L2 C 2 dv X 5 =0 i L2 = C 2 dv X v X R 5 v 3 R 5 R 6 i L2 L 2 di L2 =v X R 6 C dv X 2 v X v 3 R 5 R 5 L 2 C dv X 2 v X R 5 v 3 R 5 =v X Circuitos Elétricos I EEL420 UFRJ 42

45 L 2 C 2 d 2 v X R C L R 5 dv X 1 R 6 R 5 v = R 6 X v R 3 L 2 dv 3 5 R 5 d 2 v X dv X v X =10 3 v 3 dv 3 v X 0 =0 v X = v 3 R 6 R 5 R 6 =0,009 dv X = i C2 (0) C 2 = v 3 R 5 C 2 =10 k=0,01999 k 1 =0,0085 =30,5 0 17) Para o circuito abaixo escreva um conjunto de equações de estado. Mostre que a corrente pela fonte V 5 pode ser obtida a partir das variáveis de estado e das fontes. Considerando a corrente em L2, C4, R7 e R8 de cima para baixo. L di L2 =v R8 v 4 v 5 =i R8 R 8 v 4 v 5 (1) Circuitos Elétricos I EEL420 UFRJ 43

46 i R8 =i C4 i V5 (2) i V5 =i L2 i R7 (3) i R7 = v 5 v 6 v C4 R 7 (4) i C4 =i V6 i 4 (5) i V6 = i R7 +i 3 (6) C 4 dv C4 =i V6 i 4 (7) temos Substituindo 6 em 5 e 5 em 2, substituindo 4 em 3 e 3 em 2 e substituindo 2 em 1 di L2 = i L2 R 8 L 2 i 3 i 4 R 8 v 4 v 5 L 2 Substituindo 4 em 6 e 6 em 7 temos dv C4 = v C4 + R (i +i ) v v C 4 R 7 C 4 R 7 18) Calcule V X para t>0s. Considere V 2 =18 δ(t). Simplificando o circuito é possível obter a equação diferencial sem resolver nenhum sistema de equações. Para t<0s considere regime permanente. Circuitos Elétricos I EEL420 UFRJ 44

47 Explodindo a fonte V1, ficamos com V1 em série com R1 e o conjunto em paralelo com R2. Por outro lado teremos V1 em série com R3 e o conjunto em paralelo com o série de V2 e R4. O equivalente Norton de V1, R1 e R2 é: R N1 =R 1 // R 2 =4 I N1 = v 1 R 1 =4,5u(t) A O equivalente Norton de V1, R3, V2, R4 é: R N2 = R 3 // R 4 =2 I N2 =( v 2 + v 1 R 4 R 3) =6 δ(t)+6u(t ) A Explodindo a fonte I1 sobre os dois equivalentes Norton as fontes de corrente ficam I * N1 =I N1 i 4 =4,5u t 4 A I * N2 =I N2 i 4 =6 t 6u t 4A Circuitos Elétricos I EEL420 UFRJ 45

48 Transformando os equivalentes Norton em Thèvenin todos os elementos ficam em série. Se considerarmos o positivo da fonte apontando para a esquerda então R TOT =R N1 R N2 =6 V TOT = R N1 I * N1 R N2 I * N2 =18u t t 12u t 8=6u t 12 t 24V Da equação característica do circuito α= R 2 L =3, ω 0 = 1 L C =5, ω d = ω 2 0 α 2 =4 v X =[ A cos 4 t B sen 4 t ] e 3 t C Em regime permanente o capacitor será um circuito aberto, logo v L =0V, v C ( )= 18V, v X ( )= 18V No transitório, a fonte impulsiva carrega o indutor com 12A, V TOT = 18V e V R =R i L =72V v L (0 + )= 66V, v C 0 + = 24V, v X (0 + )= 90V 19) No circuito abaixo, a chave S1 fecha em t=21s. Calcular V R6 para t>0s. Considere I 2 =5u(t) ou I 2 =5r(t) se quiser disputar um ponto extra. Para t<0s considere regime permanente. Explodindo a fonte I2 notamos dois circuitos RC paralelo, independentes, em paralelo com uma fonte de corrente independente. Quando a chave fecha surge um circuito série formado pela fonte V3 e os dois capacitores. Como a soma das tensões não resulta em zero há Circuitos Elétricos I EEL420 UFRJ 46

49 um redistribuição de cargas. Esta tensão inicial nos capacitores muda com o tempo até a situação de regime permanente (divisor de tensão sobre R6). A contante de tempo, nesta situação corresponde ao produto entre a resistência equivalente (R5//R6) e a capacitância equivalente (C2//C3). Com a chave fechada a fonte de corrente não tem influência sobre VR6. 20) Para t 0 =160ms a chave S1 fecha. Calcule I L2 t para t 0s. Considere que d t = t e d t t0 = t t 0 Sem as fontes o circuito se torna um RLC série cujas raízes do polinômio característico são s 1,2 = 10 para t 0 i L2 0 - =20A, v C 0 - =0 para 0 t 160ms v C 0 + =0 i L2 0 + = 1 L 2 t =120 di L 0 + = v L 0 + L = [i L2 0 + I 1 ] R EQ L 2 = ,24 0,16 = 40 0,02 0,02 =2000 Circuitos Elétricos I EEL420 UFRJ 47

50 i L2 t = A 1 A 2 t e 10 t A 3 i L2 = A 3 =20 i L2 0 = A 1 A 3 A 1 =100 di L 0 + = 10 A 1 A 2 = 2000 A 2 = =1000 para t=160 - ms i L =8 v C = 6,4 para t=160 + ms A fonte impulsiva I 2 modifica as condições iniciais para a próxima etapa do problema. Os efeitos de I 2 são v C = 1 C I 2 =2 2 t =4 u t i L = 1 L R 5 I 2 =50 0,24 2 t =24 u t As condições iniciais totais são v C = 6,4 4= 2,4 i L =8 24=32 Para t 160ms Circuitos Elétricos I EEL420 UFRJ 48

51 i L2 =[ K 1 cos 8 t ' K 2 sen 8t ' ] e 6 t ' K 3 i L2 =20=K 3 i L2 0 + = K 1 20=32 K 1 =12 di L2 (0 + ) = v L2 (0+ ) = 264 L di L2 (0 + ) = 6 K 1 +8 K2= 264 K 2 = 24 Circuitos Elétricos I EEL420 UFRJ 49

52 21) No circuito abaixo a chave S1 abre em t=1s, fecha em t=2s e abre novamente em t=3s. Determine V C (t) para t 0s. 22) Para t<0s o circuito estava em repouso. Determinar V AB (t ) para t 0. I 3 =2 cos(t) u(t ). a) considere I 4 =12 δ(t) ; b) considere I 4 =0. 23) A chave S2 abre em t=0s e a chave S3 em t=0,05s. Determine a expressão de I R7 (t). Use equações de estado para o equacionamento. Circuitos Elétricos I EEL420 UFRJ 50

53 i R7 (t)=e t [3 cos(3 t) sen(3 t )] i R7 (t)= 2,26 e 2 (t 0,05) 5 (t 0,05) +4,94 e Circuitos Elétricos I EEL420 UFRJ 51

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