Sistemas de Controle 1

Transcrição

1 Pontifícia Universidade Católica de Goiás Escola de Engenharia Sistemas de Controle 1 Cap2 - Modelagem no Domínio de Frequência Prof. Dr. Marcos Lajovic Carneiro

2 Sistemas de Controle 1 Prof. Dr. Marcos Lajovic Carneiro 2. Modelagem no Domínio de Frequência 2.1 Introdução 2.2 Revisão sobre Transformada de Laplace 2.3 Função de Transferência 2.4 Funções de Transferência de Circuitos Elétricos 2.5 Funções de Transferência de Sistemas Mecânicos em Translação 2.6 Funções de Transferência de Sistema Mecânico em Rotação 2.7 Funções de Transferência de Sistemas com Engrenagens 2.8 Funções de Transferência de Sistema Eletromecânico 2.9 Circuitos Elétricos Análogos 2.10 Não-linearidades 2.11 Linearização

3 2.9 Circuitos Elétricos Análogos Podemos fazer analogia entre circuitos elétricos e circuitos mecânicos através das equações de descrição: - Equações de movimento de circuitos mecânicos - Equações de malha ou de nó de circuitos elétricos Análogo série - Comparação de equações de malha de circuitos elétricos Análogo Paralelo - Comparação de equações de nó de circuitos elétricos

4 2.9 Circuitos Elétricos Análogos Análogo Série Equações não são diretamente análogas pois deslocamento não é análogo à corrente X(s) não é análogo a I(s) Transformando deslocamento X(s) em velocidade Multiplicar e dividir por s F(s)

5 2.9 Circuitos Elétricos Análogos Análogo Série Circuito elétrico análogo

6 2.9 Circuitos Elétricos Análogos Equações de movimento em função do deslocamento X(s) Equações de movimento em função da velocidade V(s) - Dividir e multiplicar por s. - Substituir sx por V

7 Montando o circuito elétrico equivalente

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10 2.9 Circuitos Elétricos Análogos Análogo Paralelo Trabalhando com admitâncias G s = 1 R(s) E s = R(s)I(s) G s E s = I(s) Circuito elétrico análogo

11 2.9 Circuitos Elétricos Análogos Trabalhando com admitâncias

12 2.9 Circuitos Elétricos Análogos Trabalhando com admitâncias

13 2.9 Circuitos Elétricos Análogos Trabalhando com admitâncias

14 2.9 Circuitos Elétricos Análogos Trabalhando com admitâncias

15 2.9 Circuitos Elétricos Análogos Trabalhando com admitâncias

16 2.9 Circuitos Elétricos Análogos O mesmo sistema mecânico representado de formas diferentes: Trabalhando com impedâncias Trabalhando com admitâncias

17 2.9 Circuitos Elétricos Análogos

18 2.9 Circuitos Elétricos Análogos Equivalente entre deslocamento angular e velocidade angular: Obtemos:

19 2.9 Circuitos Elétricos Análogos Análogo série Mola K Capacitor 1/K Inércia J Indutor J Amortecimento D resistência D Análogo Paralelo Mola K Indutor 1/K Inércia J Capacitor J Amortecimento D condutância 1/D

20 2.10 Não-linearidades Até o momento foram trabalhados sistemas descritos aproximadamente por equações diferenciais lineares, invariantes no tempo. Sistema linear Propriedades: 1) Superposição Resposta na saída de um sistema com duas entradas somadas é igual a somas das respostas individuais. 2) Homogeneidade A multiplicação da entrada por um escalar faz com que a resposta seja multiplicada pelo mesmo escalar. Exemplo: Saída é sempre metade da entrada. Sistema linear Sistema não-linear

21 2.10 Não-linearidades Exemplos de não-linearidades físicas O projetista pode muitas vezes construir uma aproximação linear de um sistema nãolinear para uma determinada faixa e assim poder utilizar toda a teoria apresentada anteriormente.

22 2.10 Linearização Em um sistema com vários componentes, se um ou mais deles forem não-lineares será preciso lineariza-los antes de se encontrar a função de transferência. 1 passo) Reconhecer o componente não linear e escrever a equação diferencial nãolinear. 2 passo) Linearizar o componente em uma pequena faixa de trabalho em torno da solução de estado estacionário, onde o pequeno sinal de entrada é igual a zero. Solução de equilíbrio 3 passo) Aplicar a transformada de Laplace 4 passo) Monta função de transferência

23 2.10 Linearização Considere um sistema não-linear operando em torno do ponto A, [x o, f(x o )] Aproxima-se a pequena região de operação por uma reta: m a : derivada da função no ponto (inclinação da curva) A função ficará definida apenas para pequenas variações

24 2.10 Linearização Solução: Achar derivada de f(x) Valor da derivada no ponto escolhido: 5sen π 2 = 5(1) = -5 Valor da função no ponto escolhido: Para pequenas excursões de x em torno de π 2 Substituir na equação da reta: f x = 5(x π 2 )

25 2.10 Linearização Linearizando através da série de Taylor A série de Taylor exprime o valor de uma função em termos: - do valor dessa função em um ponto particular. - da excursão em torno desse ponto. - das derivadas calculadas neste ponto. Para pequenas excursões em torno de x o pode-se desprezar os termos de ordem mais alta:

26 2.10 Linearização

27 2.10 Linearização Não-linearidade na equação Série de Taylor

28 2.10 Linearização Série de Taylor truncada Substituindo:

29 2.10 Linearização Série de Taylor *Importante notar que esta equação só pode ser usada para pequenas excursões de x. Ela não é capaz de descrever todo o comportamento do sistema e inclusive é instável devido ao sinal negativo no lado esquerdo da equação (teoria de equações diferenciais).

30 2.10 Linearização Resistor não-linear i r = 2e 0.1V r i r 2 = e0.1v r i r 2 = e0.1v r LKT no circuito: ln( i r 2 ) = 0.1V r V r = 10. ln( i r 2 )

31 2.10 Linearização LKT no circuito: Como a fonte v(t) é de pequenos sinais podemos linearizar a equação e obter resultados com boa aproximação. Antes de linearizar é preciso encontrar o ponto de operação em torno do qual o circuito irá funcionar.

32 2.10 Linearização Em estado estacionário: - Considera-se a fonte de pequenos sinais igual a zero. (O pequeno sinal irá oscilar em torno de uma tensão contínua zero). - Em regime estacionário o indutor funciona como um curto-circuito pois toda energia que ele recebe em metade do ciclo de funcionamento ele devolve na outra metade do ciclo. (Assunto muito estudado em eletrônica de potência)

33 2.10 Linearização Circuito a ser analisado em regime permanente: Como: Tensão sobre o resistor = 20V Resistor não-linear i r = 2e 0.1V r i r = 2e0.1 x 20 i r = 2e 2 =2 x 7.38 = A Corrente de equilíbrio do circuito: i 0 = A (condição inicial) A excursão de corrente será em torno de i 0, portanto i = i 0 + δi

34 2.10 Linearização i = i 0 + δi i 0 = A Linearizando: Substituindo:

35 2.10 Linearização Função de transferência desejada: sδi δi = V(s) Relação tensão e corrente no indutor:

36 2.10 Linearização Relação tensão e corrente no indutor: Substituindo em: Temos: Função de transferência desejada