Escola Politécnica Universidade de São Paulo

Transcrição

1 Escola Politécnica Universidade de São Paulo PSI3213 Circuitos Elétricos II Bloco 1 Transformada de Laplace Prof a Denise Consonni

2 Introdução à Transformada de Laplace Solução de Circuitos no Domínio do Tempo Equações não homogêneas apenas alguns tipos de excitação Redes de ordem mais alta sistemas de equações íntegro-diferenciais Problema de descontinuidades imposição de condições iniciais

3 Introdução à Transformada de Laplace Transformada de Laplace Derivadas Multiplicações Integrais Divisões Equações íntegro-diferenciais equações algébricas no campo complexo Solução no Domínio da Frequência Complexa Antitransformada solução da equação diferencial Inclui o problema do valor inicial

4 Pierre Simon Laplace Francês (Normandia, 1749; Paris, 1827) Líder em Física-Matemática Ministro do Interior no império de Napoleão e marquês na restauração dos Bourbons Obra mais importante: Mécanique céleste Importante trabalho em astronomia, cálculo integral, equações diferenciais e teoria das probabilidades.

5 Transformada de Laplace f(t) função real ou complexa definida em [ 0, ) L [ f (t) ] = z0 e st f () t dt Transformação Integral s = + j (variável complexa, 1/seg) F(s) = L [ f (t) ] t s Domínio do tempo Domínio da frequência complexa

6 Funções L- transformáveis Condições suficientes: f(t) contínua e integrável em intervalos f(t) ordem exponencial i.e. se f () t A. e t para 0 - < t <, A, reais ou seja, lim e 0 s t. f ( t) para algum valor de s 0 s 0 abscissa de convergência a integral é convergente para Re [s] > Re [s 0 ]

7 Região de Convergência Plano s s = + j j s o R e [s] > R e [s o ] R e [s] s 0 abscissa de convergência a integral z0 e st f () t dt é convergente para Re [s] > Re [s 0 ]

8 Transformada de Laplace Transformada Bilateral : z Unilateral mais apropriada para Circuitos Funções não L- transformáveis: e et e t 2 t t Ex. :,, Funções com impulso ou descontinuidade em t=0 Integral inclui, pois é tomada de t=0 - Antitransformação: L -1 [F(s)] = f(t) Unicidade!

9 Transformada de Laplace L [ f (t) ] = z0 e st f () t dt s = + j F(s) = L [ f (t) ] Linearidade: L [ c 1. f 1 (t) + c 2. f 2 (t) ] = c 1. F 1 (s) + c 2. F 2 (s) c 1, c 2 constantes

10 Transformada de Laplace de Funções f() t Fs ( ) Ht () e at sen c os () t t t s s 1 s 1 s a 2 2 s 2 2 1

11 Fórmulas de Euler-Moivre e Representação Gráfica de Complexos e j cos sen cos jsen 1 j ( e 2 1 ( e 2 j j - e -j e ) -j ) jy ja sen a j a e x a cos

12 Teorema da Derivada da Transformada de Laplace L [ f (t) ] = F(s) L [ t. f (t) ] = _ d d s F(s) Aplicação para a função degrau: L [ H (t) ] = 1 / s L [ t. H (t) ] = 1 / s 2 L [ t 2. H (t) ] = 2 / s 3... L [ t n. H (t) ] = n! / s n+1

13 Teorema do Deslocamento no campo real L [ f (t) ] = F(s) L [ f ( t a ) ] = e -as. F(s) f(t) f () t = cos t. H() t t Fs () s s 2 2 f ( ta) = cos ( t- a). H( ta) f(t-a) a t Fs () e s as. s 2 2

14 Translação no Campo Complexo L [ e -at. f (t) ] = F(s+a) Multiplicação de argumento por constante L [ f (t) ] = 1. F( s / ) Transformada de funções periódicas L [ f (t) ] = 0 1 T st e. f ( t) dt st 1 e

15 Exemplo de Cálculo com o MATLAB (Toolbox Symbolic)» syms a s t w» f=exp(-a*t)*cos(w*t) f = exp(-a*t)*cos(w*t)» L=Laplace(f,t,s) L = (s+a)/((s+a)^2+w^2)» pretty(l) s + a (s + a)2 + w2

16 Teorema da Derivada L [ f (t) ] = s. F(s) - f (0 - ) L [ f (t) ] = s 2. F(s) - s.f (0 - ) - f (0 - ) L [ f (n) (t) ] = s n. F(s) - s n-1.f (0 - ) - - s n-2. f(0 - ) - - f (n-1) (0 - ) Caso Particular: c.i.q. L [ f (t) ] = s. F(s) L [ f (n) (t) ] = s n. F(s)

17 Teorema da Integral L Lz 0 O t z f() d Q P NM Fs () f() + s s d Caso Particular: c.i.q. L NM t Lz0 f () d O QP Fs () s

18 Transformada de Laplace Indutor v(t) = L di(t) dt L i v V (s) = L [ v (t) ] I (s) = L [ i (t) ] V (s) = s L I(s) L i (0 - ) Fluxo em t=0 -

19 Transformada de Laplace Indutor i i(t) = 1 L zt - v( ) d L v I (s) = L [ i (t) ] V (s) = L [ v (t) ] I(s) = 1 sl V(s) + 1 sl z v( )d i(0 - ) I(s) = 1 sl V(s) + i(0 -) s

20 Transformada de Laplace Capacitor i(t) = C dv(t) dt C i v I (s) = L [ i (t) ] V (s) = L [ v (t) ] I (s) = s C V(s) C v (0 - ) Carga em t=0 -

21 Transformada de Laplace Capacitor i v(t) = 1 C zt - i( ) d C v V (s) = L [ v (t) ] I (s) = L [ i (t) ] V(s) = 1 sc I(s) + 1 sc z i( )d v(0 - ) V(s) = 1 sc I(s) + v(0 -) s

22 Inversão da Transformada de Laplace Antitransformada: f (t) = L -1 [ F(s) ] Unicidade : f (t) F (s) Tabelas 1 o. Método Linearidade Teoremas 2 o. Método : Fórmula de inversão f (t) 1 2 j z +j -j st F(s) e ds integral sobre a reta s=

23 Inversão da Transformada de Laplace 3 o. Método : Antitransformação de Funções Racionais F(s) = N(s) D(s) = m m-1 bs 0 bs 1... b b n n-1 as as... a a 0 1 m-1 m n-1 n a i, b i a 0, b 0 0 Forma Fatorada: F(s) = K. m i1 n k 1 ( s - z ) (s - p i k ) K = fator de escala (ganho) = z i zeros (i = 1,2,...m) p k polos simples ou múltiplos (k= 1,2,...n) reais ou complexos b a 0 0

24 Diagrama de polos e zeros de Funções Racionais 2 10.(s 3s +2) (s + 1)(s + 2) s 2s + 2s s (s + 1) 1 F(s) = =10. um polo duplo na origem: p 1,2 = 0 dois polos complexos conjugados: p 3,4 = (-1 j 1) dois zeros simples: z 1 = -1; z 2 = -2 fator de escala: K = 10 K = 10 j j1 (2) j1 x polos o zeros (m) multiplicidade

25 Antitransformação de Funções Racionais F(s) = N(s) D(s) = m m-1 bs 0 bs 1... b b n n-1 as as... a a 0 1 m-1 m n-1 n Própria : m n Estritamente própria : m < n a 0 = 1 polinômio D(s) é mônico Expansão em Frações Parciais: F(s) = q k=1 m k j1 A kj 1 ( s - p ) k j A kj = resíduos coeficientes a determinar p k = k-ésimo polo m k = multiplicidade do k-ésimo polo (m 1 + m m q ) = n = grau de D(s)

26 Antitransformação de Funções Racionais Expansão em Frações Parciais: F(s) = q k=1 m k j1 A kj 1 ( s - p ) k j Antitransformar termo a termo: L -1 L NM 1 (s - p ) k j O QP = j-1 t (j-1)! e p t k Derivada da Transformada Translação no campo complexo

27 Contribuição de Polos Complexos * pkt * pkt pkt Ae k + Ae k = 2e Ae k 1 o. caso Resíduo : Polo : A A e k k j k p + j k k k pkt σkt 2 e A e = 2 A e cos (ω t+ ) k k k k 2 o. caso Resíduo : A k = A k + j A k p = σ + j ω Polo : k k k pkt 2 e A e = k σkt 2 e A k cos (ωkt) A k sen (ωkt)

28 Polos Múltiplos - Exemplo F(s) = N(s) (s - p ) (s - p ) (s - p ) F(s) = A11 ( s - p 1 A21 + ) ( s - p ) 2 + A22 ( s - p ) A31 ( s - p ) 3 + A32 ( s - p ) A33 ( s - p ) 3 3

29 Transformada de Laplace Exemplo s + 60 s s + 4 s + 4 s Expansão em Frações Parciais: A s + A s A (s j) + * A (s j) 2 2 A 11 = 5 A 12 = 10 A 2 = 2,5 (-1 + j) A 2 * = 2,5 (-1 j) Antitransformada: t o 5 10 t e cos (t ) ou t 5 e t cos t sen t

30 Transformada de Laplace Exemplo s + 5 s + 4 s + 3 s s + 3 s + 2 s Expansão em Frações Parciais: A1 A2 A s s ( s + 1 ) ( s + 2 ) A 1 = 0,5 A 2 = 2 A 3 = -6,5 Antitransformada: t 2t '(t) + 2 (t) + 0,5 + 2 e 6,5 e