FUNÇÕES DE EXCITAÇÃO E TRANSFORMADAS DE LAPLACE (v2s)

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1 FUNÇÕES DE EXCITAÇÃO E TRANSFORMADAS DE LAPLACE (v2s) FUNÇÕES DE EXCITAÇÃO: Começaremos pela definição de duas funções no domínio do tempo, fundamentais no estudo dos circuitos elétricos; são elas: 1ª- A função H(t) (função de Heaviside) 2ª- A função δ(t) (função de Dirac) Para uma melhor compreensão do funcionamento das mesmas, vamos estudar o comportamento da função mostrada abaixo, bem como o da sua respectiva derivada: f(t) = at + b ft t b sendo: 21 Derivando a função f(t) em relação a (t) vem: 1 t b 1 Observando o gráfico f(t), sabemos que o coeficiente angular da reta é, se fizermos 0 tal tender a ser o coeficiente angular da reta, tende ao infinito, ou seja a inclinação da reta tende a 90 0, situação na qual a tangente não existe, pois a reta é paralela a reta tangente. - A função f(t) é uma função contínua e derivável por intervalos - A área da derivada de f(t) ) é sempre S = 1, para qualquer que seja o valor do intervalo de tempo ( 0 ). Nestas condições façamos 0 (tende a zeros, ou seja infinitamente próximo, mas não igual); notemos então que f(t) será quase uma função descontínua, e ainda que. Com estas considerações obtemos os gráficos das duas funções: A seta indica o estouro da função pro infinito, que é a função Dirac delta (δ(t)).

2 Em função dos conceitos aqui expostos vamos definir as duas funções de excitação mais importantes no estudo dos circuitos elétricos e suas características: 1ª- A função H(t) (função de Heaviside) 2ª- A função δ(t) (função de Dirac) 1ª-A função de Heaviside, ou função H(t): 0 :t0 Ht : t0 1 :t0 2ª-A função de Dirac, ou função δ(t): δt 0 :t0 : t0 0 δtdt δtdt1. Ht 0 CONSIDERAÇÕES E PROPRIEDADES DAS FUNÇÕES ACIMA: Amplitude da função H(t) a) - SOBRE A FUNÇÃO H(t): 1-A função H(t) é indeterminada em t = 0, ou seja: a função possui quase uma descontinuidade neste instante (que é o limite de um intervalo de tempo tendendo a zero). Assumiremos que a função, possui neste instante um valor finito. (Mesmo sendo indeterminado, o seu valor numérico certamente situa-se entre 0 e 1). Este tipo de função pertence à classe das funções denominadas de funções seccionalmente continuas, (funções que apresentam um número finito de pontos de limites de descontinuidade, e ainda que em nenhum destes pontos tendem ao infinito). 2) - O produto da função H(t), com uma outra função qualquer f(t),representa fisicamente um chaveamento na origem (em t = 0); em outras palavras, executar o produto H(t). f(t) significa definir a existência de f(t) somente a partir de 0. Abaixo, é mostrado o gráfico de H(t), em seqüência o gráfico de uma função f(t) qualquer e finalmente o gráfico do produto: H(t).f(t): x =

3 Uma forma de visualizarmos fisicamente o que foi acima demonstrado. Um gerador de tensão de valor f(t), associado a uma chave que comuta exatamente no instante t=0. Nestas condições a tensão V AB será o produto, f(t).h(t), conforme figura: b) - SOBRE A FUNÇÃO δ(t): Assumiremos a função δ(t) como sendo a derivada da função H(t), assumiremos ainda, que a mesma existe exatamente no instante t = 0, e que o seu valor tende ao infinito neste instante, entretanto possuindo área unitária, mesmo com seu valor tendendo ao infinito. OBSERVAÇÃO IMPORTANTE: Considerando-se que em t = 0, H(t) é indeterminada, e ainda que neste instante: δ(t) tende ao infinito: Não se define o produto: H(t). δ(t) EXTENSÃO DE CONCEITO: DESLOCAMENTO DAS FUNÇÕES: Pela utilização dos conceitos que definiram H(t), e δ(t) poderemos entender as definições e gráficos abaixo: 0 :t Hta : t 1 :t ainda: δta 0 δtadt :t : t δtadt1. Hta Nestas condições percebemos que tudo se passa como se, em vez de todos os conceitos serem válidos para: t = 0, os mesmos passassem a valer para: t = a ou seja:

4 x = De maneira análoga ao que já foi visto anteriormente: De forma mais Generalizada: Não se define o produto: H(t-a). δ(t-a) TEOREMA DA AMOSTRAGEM: f(t). δ(t - a) = f(a). δ(t - a) De fato vamos imaginar fisicamente o produto de uma f(t) qualquer (f(t) de H(t - a)) pela função δ(t-a). Este produto será nulo qualquer que seja t a, ou ainda: O produto somente terá sentido em t = a, porquanto a função δ(t - a) somente existirá em t = a. Nestas condições em t = a, f(t) deixa de ser uma função genérica, passando a ser o valor que f(t) possui no ponto: t = a, ou seja: f(a). Graficamente iremos ter:

5 Relatório a ser entregue em 03/06/ Para o circuito a seguir, considerando-se C.I.Q.(Condições iniciais quiescentes) e conhecendo-se a corrente ig(t) do gerador, pede-se a determinação da tensão v g (t), demonstrar calculo e montar resultado gráfico. Trecho 1:Resolvido em sala, reelaborar no relatório a ser entregue. Trecho 2:Resolvido em sala, reelaborar no relatório a ser entregue. Trecho 3:semelhante ao trecho 1 e trecho 2 resolvido em sala, elaborar a) A condição inicial de um capacitor é a sua tensão; o capacitor tende sempre a manter o estado de tensão em que se encontra. Com exceção de certas condições excepcionais, podemos afirmar que a tensão de um capacitor não sofre descontinuidades, mesmo que sua corrente seja descontinua. RECIPROCAMENTE: b) A condição inicial de um indutor é a sua corrente; o indutor tende sempre a manter o estado de corrente em que se encontra. Com exceção de certas condições excepcionais, podemos afirmar que a corrente de um indutor não sofre descontinuidades, mesmo que sua tensão seja descontinua. 2-Para o circuito abaixo considerando-se C.I.Q. (Capacitor descarregado em t = 0), e ainda sabendo-se que a chave ch, fecha no instante t = 0, pede-se determinar a equação da tensão v R (t) a partir de t > 0, demonstrar calculo e montar resultado gráfico. Fazer a analise e tirar conclusões sobre o comportamento da corrente e da tensão no circuito, conforme comentários em aula.