13 Funções de Teste. Simulação no VisSim 1 INTRODUÇÃO 2 IMPULSO UNITÁRIO (DELTA DE DIRAC)

Transcrição

1 Funções de Teste. Simulção no VisSim 1 13 Funções de Teste Simulação no VisSim 1 INTRODUÇÃO As funções de teste formam a base para a análise e a simulação de sistemas lineares no domínio do tempo e são de considerável interesse em Sistemas Dinâmicos, principalmente na fase de simulação em computador. De acordo com a excitação real a que o sistema será submetido, podemos escolher uma função de teste apropriada. Assim, por exemplo, a pancada que ocorre em uma prensa de forjamento pode ser simulada por uma função do tipo impulso (força com grande intensidade e pequena duração de tempo); o desbalanceamento rotativo de um motor elétrico gera uma força centrífuga senoidal, logo essa força pode ser simulada por uma função seno. As funções fundamentais de teste que serão estudadas nesta apostila são: o impulso (delta de Dirac), o degrau, a rampa, a senóide e a função exponencial. Também serão considerados sinais obtidos pela combinação de outros sinais. Paralelamente, veremos como montar e simular tais funções no VisSim. IMPULSO UNITÁRIO (DELTA DE DIRAC) A definição matemática do impulso unitário é (1a) δ(t - a) = t a (1b) + δ(t a)dt = 1 conforme ilustra a fig. 1: Fig. 1 Observando a fig. 1, concluímos que o impulso unitário é nulo, exceto em um intervalo de tempo muito pequeno ε nas vizinhanças do instante t = a. Nesse intervalo, a amplitude é muito grande e igual a 1/ε. Quando ε, a amplitude tende a, porém de tal modo que a área sob a curva permanece constante e igual a 1, daí o nome impulso unitário. A unidade SI do impulso unitário é, portanto, s -1.

2 Funções de Teste. Simulção no VisSim Transformada de Laplace (referir-se a livros de Cálculo): () (s) = e -as É muito comum, na prática, que o impulso ocorra no instante a =. Nesse caso: (3) (s) = 1 3 DEGRAU UNITÁRIO O degrau unitário, tão importante quanto o impulso unitário, pode simular uma carga unitária constante, subitamente aplicada, conservando-se por um longo período de tempo. Ele é definido matematicamente como para t < a () u(t - a) = 1 para t > a Podemos notar facilmente que o degrau unitário é adimensional. A fig. ilustra o degrau unitário: Transformada de Laplace (referir-se a livros de Cálculo): (5) U(s) = e -as /s É muito comum, na prática, que o degrau ocorra no instante a =. Nesse caso: (6) U(s) = 1/s É fácil demonstrar (ver livros de Cálculo) que são verdadeiras as duas propriedades seguintes, relacionando o degrau unitário e o impulso unitário: O degrau unitário é a integral do impulso unitário. O impulso unitário é a derivada do degrau unitário. A multiplicação de uma função f(t) pelo degrau unitário implica na anulação da porção de f(t) correspondente a t < a, conservando a porção de f(t) correspondente a t > a. A fig. 3 mostra um exemplo em que f(t) = senωt e a = :

3 Funções de Teste. Simulção no VisSim 3 Fig. 3 Assim, a função mostrada na parte inferior da fig. 3 pode ser descrita matematicamente como (7) f(t) = u(t) senωt O degrau unitário é também muito útil na construção de outras funções. Por exemplo, a função pulso retangular, mostrada na fig. pode ser expressa como (8) f(t) = F[u(t + T/) u(t T/)] Fig. Simulação no VisSim (a) Degrau O VisSim possui a função degrau, bastando escolher o instante em que ela se inicia (o Time Delay ) e a sua amplitude. Os valores default são Time Delay = e Amplitude = 1. A fig. 5 ilustra um degrau unitário que inicia no instante 3 e tem amplitude Fig,

4 Funções de Teste. Simulção no VisSim (b) Pulso retangular O VisSim não tem tal função. Podemos, contudo, criá-la facilmente por meio da combinação de dois degraus. Suponhamos, por exemplo, que queiramos criar um pulso de amplitude e duração s, iniciando no instante 1 s. Basta, para isso, formar a função f(t) = u(t-1) u(t-3), conforme nos mostra a fig. 6: 5 Fig (c) Delta de Dirac O VisSim não tem pronta tal função. Podemos, no entanto, imaginar um delta de Dirac como sendo um pulso retangular de duração muito pequena e amplitude muito grande, tal que a área do pulso seja unitária. Por exemplo, podemos criar um pulso de duração,1 s e amplitude 1, conforme ilustra a fig. 7: Fig RAMPA UNITÁRIA Outra função de teste de interesse é a rampa unitária, a qual simula uma função linear. Ela é definida como (9) t - a para t > a ou, também: r(t - a) = para t < a (1) r(t-a) = (t-a)u(t-a)

5 Funções de Teste. Simulção no VisSim 5 A unidade SI da rampa unitária é o [s]. A fig. 8 ilustra a rampa unitária, cuja inclinação é unitária (5 ), daí o seu nome: Fig. 8 Transformada de Laplace (referir-se a livros de Cálculo): (11) R(s) = e -as /s É muito comum, na prática, que o degrau ocorra no instante a =. Nesse caso: (1) R(s) = 1/s É fácil demonstrar (ver livros de Cálculo) que são verdadeiras as duas propriedades seguintes, relacionando o degrau unitário e a rampa unitária: A rampa unitária é a integral do degrau unitário. O degrau unitário é a derivada da rampa unitária. A rampa unitária também pode ser usada para a obtenção de certas funções. Por exemplo, o pulso triangular da fig. 9 pode ser expresso matematicamente por (13) f(t) = F [r(t + T T ) r(t) + r(t T )] Fig. 9 Simulação no VisSim O VisSim dispõe dessa função, denominada ramp. Seus parâmetros são o Time Delay e o Slope (inclinação ou coeficiente angular da reta). Os valores default são Time Delay = e Slope = 1 (ou seja, inclinação de 5 o ). A fig. 1 ilustra uma rampa que inicia no instante s e tem inclinação /5.

6 Funções de Teste. Simulção no VisSim 6 Fig PULSO UNITÁRIO Trata-se de outra função de teste de muito interesse prático, a qual simula uma excitação constante de duração finita. Ela é definida como (1) p(t) = u(t-a) - u(t-b) b > a A unidade SI do pulso unitário é a mesma do degrau unitário, ou seja, é adimensional. A fig. 11 ilustra o pulso unitário mais utilizado em simulação, o qual é obtido para a = e b = t 1 Fig. 11 Transformada de Laplace: 1 as bs 1 t1s (15) P(s) = (e e ) = (1 e ) s s O pulso unitário é extremamente útil quando se deseja conservar um determinado trecho de uma função e anular o restante. Por exemplo, a fig. 1 mostra uma rampa finita que começa em t= e termina em t=,5 s. Ela pode ser obtida multiplicando a rampa t por um pulso unitário começando em t= e terminando em t=,5 s.

7 Funções de Teste. Simulção no VisSim 7 Fig. 1 6 SENÓIDE Também muito importante, essa função de teste pode simular um sinal de natureza harmônica. Um exemplo bastante familiar é a tensão elétrica que existe em nossa residência. Ela é definida como (16) f(t) = F sen ωt onde F é amplitude e ω é a freqüência. Transformada de Laplace: (17) F(s) = F s ω + ω Simulação no VisSim No VisSim, existem duas maneiras de montar uma senóide. A primeira utiliza o sinal obtido em Blocks - Signal Producer Sinusoid, sendo seus parâmetros o Time Delay, Frequency e Amplitude, cujos valores default: são, respectivamente, s, 1 rad/s e 1. A fig. 13 ilustra uma senóide atrasada 1 s, freqüência rad/s e amplitude 5:

8 Funções de Teste. Simulção no VisSim 8 6 Fig Uma segunda maneira utiliza o sinal obtido em Blocks Transcendental sin. Nesse caso, não temos parâmetros, e devemos fornecer um sinal de entrada em radianos. É aí que a função rampa desempenha um papel importantíssimo, pois ela representa esse sinal de entrada: basta setar uma rampa com um slope igual à freqüência ω em rad/s e teremos o sinal ωt que será, então, injetado no seno. Na saída desse último obteremos o sinal senωt. Se quisermos uma senóide com uma amplitude diferente de 1, teremos que multiplicá-lo por uma constante com o valor da amplitude, conforme mostra a fig. 1, onde temos a representação do sinal 8 sen 1,5t: 8 Fig. 1 8 sin * EXPONENCIAL DECRESCENTE A função exponencial decrescente também é muito útil na obtenção de certos sinais. Por exemplo, uma rajada de vento ou uma explosão podem ser representadas por uma combinação de duas exponenciais, conforme veremos em seguida. Ela é definida como

9 Funções de Teste. Simulção no VisSim 9 (18) f(t) = Fe -at onde F é amplitude e a é o expoente da função exponencial. Transformada de Laplace: (19) 1 F(s) = F s + a Simulação no VisSim O VisSim dispõe dessa função, obtida em Blocks Transcendental exp. De modo análogo à segunda maneira de obter uma senóide, também aqui temos que recorrer a uma rampa e a uma constante para representar o sinal. A fig. 15 mostra a função f(t) = 7 e -1,5t Fig. 15 * 5 exp Como exemplo de combinação de duas exponenciais, a fig. 16 ilustra uma rajada de vento obtida pela equação f(t) = 5(e -1t e -1t ) Fig. 16 exp exp + - *

10 Funções de Teste. Simulção no VisSim 1 EXERCÍCIOS 1 ar a equação da reta x = 3t. ar a equação da parábola x = t ar a equação da função harmônica x = 3sent + 5sen3t. ar a equação da função harmônica x = sen3t + 5cost. 5 ar a função dada graficamente por