Sessão 05: Taxa de variação instantânea de restauração de Oxigênio em um lago.

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1 7.6. Descrição das atividades em sala de aula: Sessão 05: Taxa de variação instantânea de restauração de Oxigênio em um lago. Data: 30/04/2010, Horário: 07h30min, Turma: T14 do Curso de Engenharia Elétrica, Cálculo A - MTM Atividade 05: Situação-Problema - Taxa de restauração de oxigênio em um lago. Fonte: David C. Lay et al; Matemática Aplicada Economia, Administração e Contabilidade, Ed. Bookman, Problema nº 29, p Adaptado. Taxa de Restauração de Oxigênio em um lago. Quando detritos orgânicos são despejados em um lago, o conseqüente processo de oxidação reduz a quantidade de oxigênio no lago. No entanto, dado o tempo suficiente, a natureza restaurará a quantidade de oxigênio ao seu nível natural. Suponha que a quantidade de oxigênio, t dias após os detritos orgânicos serem despejados no lago, seja igual a ff(tt) = 100 tt tt + 100, (0 < tt < ) por cento do seu nível tt tt normal. Pede-se: (a) Determine uma expressão genérica para a taxa de variação de oxigênio no lago em qualquer instante de tempo t. (b) Com que rapidez a quantidade de oxigênio do lago está mudando em um dia, dez dias e 20 dias após os detritos terem sido despejados? Com relação à situação problema acima: (a) Mostrar uma expressão genérica para a taxa de variação de oxigênio no lago em qualquer instante de tempo t. (b) Com que rapidez a quantidade de oxigênio do lago está mudando em um dia, dez dias e vinte dias após os detritos terem sido despejados?

2 Objetivo da atividade: Determinar a taxa genérica de variação instantânea de oxigênio num lago e, a taxa nos instantes t = 1 dia, t = 10 dias e t = 20 dias. Solução: ff(tt) 100 tt 2 +10tt+100 tt 2 +20tt+100 Conhecimentos prévios necessários: Derivada do produto de uma constante por uma função, Derivada de um quociente, Derivada da potência de uma função, Derivada de uma constante, Inclinação da reta tangente, Valor numérico da derivada de uma função em um ponto, Uso do software maple para o cálculo da derivada de uma função, Representação gráfica de uma função, Retas tangentes. Objetivos a alcançar: Taxa de variação instantânea da recuperação do oxigênio no lago, O os intervalos de decrescimento e crescimento da recuperação do oxigênio no lago. O aluno Aquiles, pergunta: Professor, como vai encontrar a taxa de variação do oxigênio no lago? Explicações do professor: (a) A taxa de variação da quantidade de oxigênio no lago em qualquer instante de tempo t é dada pela derivada da função f(t). Vamos utilizar a metodologia da resolução de problemas para atingir o nosso objetivo. Sigam as etapas de resolução de problemas já descritas no início da aula. A função f(t) é definida por: ff(tt) 100 tt 2 +10tt+100 tt 2 +20tt+100

3 O aluno Giovani, pergunta: Professor, como poderemos encontrar os percentuais de oxigênio para t = 10 e t = 20 dias? Professor: Depois de achar a taxa instantânea de variação através da derivada df1 = diff(f(t),t), usamos o comando eval( df1, t=1, t=10 e t=20) e, teremos os percentuais de restauração de oxigênio no lago, procurados. Então: Isto é, a quantidade de oxigênio está aumentando a uma razão de 0, % ao dia, mostrando que o processo de restauração de fato já começou. O aluno Matheus pergunta ao professor: Como construíremos o gráfico do oxigênio no lago? Professor: Tomem o livro do Maple nas páginas 125, 126 e 127 que ele te orientará a construir esses gráficos. Qualquer dúvida, pergunte :

4 Livro: Introdução à Computação Algébrica com o Maple. Figura 13: Taxa de Recuperação do Oxigênio no Lago.

5 Figura 14: Taxa de Recuperação de Oxigênio no Lago.

6 Figura 15: Taxa de Recuperação de Oxigênio no lago.

7 Solução esperada: Conclusão: No primeiro dia a taxa de oxigênio está caindo a uma razão de - 6, % ao dia. No décimo dia a taxa de oxigênio é zero, isto significa que não está diminuindo nem aumentando. No vigésimo dia a taxa de variação de oxigênio está aumentando a uma razão de 0, % ao dia, mostrando que o processo de restauração do oxigênio já começou. Pode-se verificar no gráfico:

8 Figura 16: Taxa de Variação de Oxigênio no lago.

9 (41 ) Figura 17: Modelagem da quantidade de oxigênio no lago. Decrescimento, equilíbrio e crescimento. Conclusão: pela inclinação das retas podemos verificar que a taxa de variação de oxigênio diminui no intervalo [0,10[, é igual a zero em t = 10 e aumenta no intervalo]10, 100]. Solução apresentada por um dos grupos de alunos (Grupo 6: Ana, Roberta e Helena) Quando detritos orgânicos são despejados em um lago, o conseqüente processo de oxidação reduz a quantidade de oxigênio no lago. No entanto, dado o tempo suficiente, a natureza restaurará a quantidade de oxigênio ao seu nível natural. Suponha que a quantidade de oxigênio t dias após os detritos serem despejados no

10 lago, seja igual a ff(tt) = 100 tt 2 +10tt+100, (0 < tt < ) por cento do seu nível normal. (tt 2 +20tt+100 ) Pede-se: (a) Determine uma expressão genérica para a taxa de variação de oxigênio no lago em qualquer instante de tempo t. (b) (b) Com que rapidez a quantidade de oxigênio do lago está mudando em um dia, dez dias e 20 dias após os detritos terem sido despejados?

11 Conclusão dos alunos: A quantidade de oxigênio no lago está aumentando de 0,37%. Outros grupos também resolveram o problema de forma similar, essas soluções não serão apresentadas aqui nesse texto.