INTRODUÇÃO À ENGENHARIA AULA PRÁTICA No DERIVADAS PROFS. ANGELO BATTISTINI E SELMO TORQUETTO NOME RA TURMA NOTA

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1 !!! INTRODUÇÃO À ENGENHARIA 2015 AULA PRÁTICA No DERIVADAS NOTA PROFS. ANGELO BATTISTINI E SELMO TORQUETTO NOME RA TURMA NOTA!

2 Objetivos: Utilizar o conceito de derivada em uma aplicação prática, que é a determinação do volume máximo que pode conter uma folha de tamanho determinado. Conhecimentos: Conceitos básicos limites, derivadas, cálculo de volume. Habilidades: Utilizar princípios matemáticos em situações práticas, resolução de equações de 1o e 2o graus, representação em planos cartesianos. Atitudes esperadas: Observação, raciocínio matemático, compreensão no uso da derivada. Introdução: No cálculo, a derivada é a medida da variação de uma função. Podemos traduzí-la como a taxa de variação de um evento qualquer. Pensando numa situação hipotética, se uma determinada empresa está crescendo, a taxa de crescimento é positiva, ou, em linguagem matemática, dizemos que a derivada do crescimento é positiva. Vamos olhar um exemplo considerando os últimos anos de uma empresa fictícia: ano crescimento (%) , , ,9 Observe que as taxas são positivas, porém cada vez menores. Podemos dizer que a derivada desse fenômeno é positiva, porém está diminuindo. Isso não significa que a empresa está diminuindo e sim que ela está crescendo mais lentamente. Portanto, a derivada reflete a variação de um fenômeno. Se um fenômeno é descrito por uma função matemática (o que não é o caso do crescimento de uma empresa, mas pode ser aplicado a muitos fenômenos da natureza), a derivada mostra o comportamento desse fenômeno, que pode ser ao longo do tempo (aí estaremos derivando em relação ao tempo) ou em relação à sua posição (estamos derivando em relação ao eixo de posição). A ideia de derivada (assim como a de integral) veio com Isaac Newton ( ) e com Leibniz ( ) quando, de forma independente e quase ao mesmo tempo, criaram o conceito de cálculo infinitesimal, ou seja, o cálculo desenvolvido em pequenos intervalos. Diz a lenda que o que teria inspirado Newton foi uma maçã caindo em sua cabeça. Se é verdade ou não, somente Newton poderia dizer. Mas o fato é que é uma boa imagem para explicar o cálculo. Se observarmos atentamente um objeto qualquer (que pode até ser uma maçã) caindo livremente veremos que a velocidade aumenta a cada instante. Se considerarmos intervalos de tempo muito pequenos (infinitesimais) veremos que a taxa de variação da velocidade é constante. A essa taxa de variação de velocidade deu-se o nome de aceleração. Portanto, a aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo, assim como a velocidade é a derivada da posição ao longo do tempo. Agora imagine uma função (ou um evento qualquer) com uma derivada positiva que vai diminuindo (o que significa que a sua taxa de crescimento diminui) e que, aos poucos, se anula e!2

3 ! torna-se negativa. Ao ter uma derivada negativa, significa que a função está diminuindo de valor. Portanto, quando a derivada é nula, significa que a função não está crescendo nem diminuindo e, neste caso, ela atingiu seu ponto de máximo. Nesta aula vamos utilizar esse conceito, de que quando a derivada de uma função é nula, significa que ela atingiu seu máximo (poderia ser o contrário, uma função de derivada negativa que se torna positiva teria seu ponto de máximo quando a derivada é nula. Uma outra situação em que a derivada pode ser nula é no ponto de inflexão, isto é, quando a função muda de curvatura. Na figura abaixo vemos uma função que tem ponto de máximo, ponto de mínimo e inflexão. Repare que em torno do ponto de inflexão a derivada é negativa. À esquerda do ponto a derivada é negativa e está aumentando o valor até chegar na inflexão (derivada nula), à direita a função também é negativa, diminuindo de valor. ponto de máximo ponto de inflexão ponto de mínimo Figura 1: máximo, mínimo e inflexão de uma função PARTE PRÁTICA Nossa tarefa na aula de hoje será determinar o maior volume que conseguimos obter para uma caixa (sem a tampa) construída a partir de uma chapa quadrada de lado l (no nosso caso, usaremos uma folha de papel). A chapa (folha) será recortada igualmente nos quatro cantos, retirando quatro quadrados iguais de lado a. Veja na figura 2.!3

4 !! Figura 2: recortes da folha Em seguida, a folha será dobrada (linhas pontilhadas) e a caixa estará pronta (figura 3). Figura 3: folha cortada e as linhas de dobra Porém, ANTES DE FAZER OS CORTES é necessário calcular o valor do corte (a) em função do lado da folha original (l).!4

5 Para isso: 1. Determine o volume da caixa (literalmente, em função de l e a). 2. Derive a função de volume em relação a a. 3. Iguale a derivada a 0" para achar o ponto de máximo, em seguida, ache (literalmente) o(s) valor(es) de a. 4. Substitua o valor de l de acordo com a sua folha, calculando o valor de a. l (medido na folha) = Cálculo de a:!5

6 5. Construa a sua caixa, calcule o volume. Esse é o máximo volume que você conseguirá a partir dessa folha. Volume: 6. Construa um gráfico Volume x recorte (a) (use a folha no final da apostila) e mostre que o valor que você escolheu para o recorte é o que dá o maior volume. Para isso, calcule os volumes das caixas "chutando" três valores menores que a e três valores maiores que a.!6

7 CONCLUSÕES: EXERCÍCIOS PROPOSTOS 1. Determine o valor do corte a" e o volume máximo de uma caixa obtida a partir de uma folha retangular de lados L1 e L2.!7

8 2. Utilizando o exercício anterior, mostre que se L1 = L2, teremos a mesma resposta do exercício feito em aula. 3. Em uma indústria, é necessário fabricarem-se caixa retangulares com tampa, de forma a obter-se o maior volume possível recortando convenientemente uma folha de papel de comprimento A e largura B. Determine literalmente o valor do corte x" que maximiza o volume da caixa, bem como o volume final em função de a, b e x. 4. Utilizando o exercício 3, calcule as medidas de uma caixa ("a", "b" e "x") que contenha o volume de um litro e fazendo que a relação entre b" e a" seja a proporção áurea: REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS: Piskunov, N. S.; Cálculo diferencial e integral ; Ed, Moscou,1973. Boulos, Paulo; "Cálculo diferencial e integral ; Ed Univ. Brasília, 2000.!8

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