Elasticidade e Análise Marginal

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1 GOVERNO FEDERAL MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO UNIVERSIDADE FEDERAL DO VALE DO SÃO FRANCISCO CÂMPUS JUAZEIRO/BA COLEG. DE ENG. ELÉTRICA PROF. PEDRO MACÁRIO DE MOURA MATEMÁTICA APLICADA A ADM Discentes CPF 1º Período Turma A1 Sala NT 03 Lista de Aplicações das Derivadas Data: 29/01/2016 Elasticidade e Análise Marginal Funções Marginais Em Economia e Administração, dada uma função costuma-se utilizar o conceito de função marginal para avaliar o efeito causado em por uma pequena variação de. Custo Marginal Em Economia a variação de uma quantidade em relação à outra pode ser descoberta por qualquer dos dois conceitos: o de Média ou o de Marginal. O conceito de média, expressa a variação de uma quantidade sobre um conjunto específico de valores de uma segunda quantidade, enquanto que o conceito de marginal é a mudança instantânea na primeira quantidade que resulta de uma mudança em unidades muito pequenas na segunda quantidade. Suponha que seja o custo total de produção de q unidades de um certo produto. A função é chamada de função custo total (como já vimos anteriormente). Em circunstâncias normais e são positivas. Note que, como q representa o número de unidades de um produto, tem que ser inteiro não negativo, de modo que tenhamos as condições de continuidade para a função. O custo médio da produção de cada unidade do produto é obtido dividindo-se o custo total pelo número de unidades produzidas; isto é,, onde é chamada função custo médio. Suponhamos que o número de unidades de uma determinada produção seja, e que ela tenha sido alterada por. Então a variação no custo total é dada por e a variação média no custo total em relação à variação no número de unidades produzidas é dada por: Deus não lhe dá mais do que você pode carregar. Jesus Cristo. Página 1

2 Os economistas usam o termo Custo Marginal para limite do quociente (1) quando tende a zero, desde que o limite exista. Esse limite é a derivada de em ; portanto a definição de custo marginal será: Se é o custo de produção de unidades de um certo produto, então o Custo Marginal, quando, é dada por, caso exista o limite. A função é chamada Função Custo Marginal e frequentemente é uma boa aproximação do custo de produção de uma unidade adicional. Na definição acima, pode ser interpretada como a taxa de variação do custo total quando unidades são produzidas. Temos também as funções marginais para recita e lucro Receita marginal ( ) Variação na receita total decorrente da venda de uma unidade na quantidade vendida do bem. Já vimos que, onde é a preço e é a quantidade. Lucro marginal ( ) Variação do lucro total. Elasticidade-Preço Mede a variação percentual da quantidade ofertada decorrente de uma variação percentual no preço,, onde e são números reais, é o preço e a função de demanda. Inelástica; Elástica; Elasticidade unitária. Exemplo 01 2 Suponha que o custo total ao se fabricar q un. de brinquedos seja dec ( q) 3q 5q 10. a) Deduza a fórmula do custo marginal. Resp.: C (q) = 6q + 5 b) Qual é o custo marginal de 50 unidades produzidas? Resp.: C (50) = 305 c) Qual é o custo real de produção do 51º brinquedo? Resp.: C(51)=308 Deus não lhe dá mais do que você pode carregar. Jesus Cristo. Página 2

3 Note que as respostas dos itens b) e c) diferem por R$ 3,00, isto é, o custo marginal é próximo do custo real de produção de uma unidade adicional. Esta discrepância ocorre porque o custo marginal é a taxa de variação instantânea de em relação a uma unidade de variação em. Logo, é o custo aproximado da produção do 51º brinquedo. Observe que o cálculo de no exemplo, é mais simples do que o de. Os economistas frequentemente aproximam o custo da produção de uma quantidade adicional usando a função custo marginal. Mais claramente, é o custo aproximado da enésima unidade que as primeiras unidades tiverem sido produzidas. As respostas dos itens b e c do exemplo anterior são muito próximas por causa da proximidade dos pontos (50; C(50)) e (51; C(51)), e porque esses pontos pertencem a uma porção praticamente linear da curva de custo. Para tais pontos, o coeficiente angular da secante é uma boa aproximação do coeficiente angular da tangente. Como usualmente se obtém esta aproximação e sendo mais fácil, de maneira geral, calcula-se o custo marginal como aproximação do custo real de produção de uma unidade adicional. De maneira geral, em Economia, Análise Marginal se refere ao uso de derivadas de funções para estimar a variação ocorrida no valor da variável dependente, quando há um acréscimo de 1 unidade no valor da variável independente. Exemplo 02 2 Suponha que o custo total de produção de q unidades de canetas seja de C ( q) 2q q 8. Ache as funções: a) Custo Médio Resp.: C( q) 8 2q 1 q q b) Custo Marginal Resp.: C (q) = 4q + 1 Deus não lhe dá mais do que você pode carregar. Jesus Cristo. Página 3

4 Exercícios Funções Marginais e Elasticidade 01. Dada à função custo anual de uma empresa. Ache o custo médio. 02. Dada à função receita, obtenha a em. Resp Dada à função custo obtenha: a) O custo marginal C mg ; Resposta: C (x) = 0,3x 2 36x ; b) C mg (65) e a interpretação do resultado; Resposta C (65) = 427,5; c) C mg (150) e a interpretação do resultado. Resposta C (150) = Uma commodity tem sua função da demanda modelada por e sua função custo total modelado por é. Qual é o lucro médio por unidade? 05. Suponha que seja a receita total recebida da venda de mesas. Determine a receita marginal quando 50 mesas são vendidas. Qual a receita efetiva da venda da a 51 mesa? 06. Seja, a função receita diária, para a fabricação de fogões, onde é o número de unidades produzidas diariamente. Atualmente, o fabricante está produzindo 400 fogões por dia e pretende elevar este número para 401. a) Use análise marginal para estimar o ganho adicional produzido pelo 401 fogão. b) Qual a diferença entre o ganho real e o aproximado calculado no item (a). 07. A quantidade e o preço de certo produto estão relacionados pela seguinte equação de demanda. a) Determine a elasticidade de demanda em função do preço b) Calcular a elasticidade de demanda para c) Calcular a elasticidade de demanda para 08. A função receita marginal de um produtor monopolista é. Determine a função receita total e deduza a equação de demanda corespondente. Deus não lhe dá mais do que você pode carregar. Jesus Cristo. Página 4

5 09. Sendo a função demanda de um bem, onde é a quantidade demandada e o preço. Determinar: a) A função receita marginal; b) A receita marginal para unidades. 10. A quantidade e o preço de certo produto estão relacionados pela seguinte equação de demanda. Determine a elasticidade de demanda em função do preço, quando 11. Suponha que o custo total semanal em real incorrido pela Companhia PTA para fabricação de refrigeradores seja dado pela função custo total. Se a) Qual o custo total envolvido na fabricação do 351º refrigerador? b) Determine a taxa de variação da função custo total com relação a quando. c) Compare os resultados obtidos nas partes (a) e (b) e faça uma análise econômica d) O que representa (este intervalo fechado)? 12. Uma subsidiária da Companhia Eletrônica Elektra fabrica uma calculadora de bolso programável. A gerência determinou que o custo total diário em real para produzir essas calculadoras é dado por onde é igual ao número de calculadoras produzidas. a) Determine a função custo marginal. b) Qual é o custo marginal quando e? 13. O custo total em reais para produzir unidades de um certo bem é modelado pela função a) Determine a função custo médio. b) Determine a função custo médio marginal. 14. O custo de fabricação de x unidades de um produto é. Atualmente o nível de produção é de 25 unidades. Calcule, aproximadamente, usando diferencial de função, quanto varia o custo se forem produzidas 26 unidades. Deus não lhe dá mais do que você pode carregar. Jesus Cristo. Página 5

6 15. A função receita de uma empresa é, em que x é o número de unidades produzidas. Atualmente o nível de produção é de 6 unidades, e a empresa pretende reduzir a produção em 0,5 unidades. Usando a diferencial de função, dê aproximadamente a variação da receita. E interprete os resultados Em uma fábrica de ventiladores, o preço de um tipo de ventilador é dado por onde 0 x 400. Suponha que o custo para a produção dos ventiladores seja dado por. Obtenha a função lucro marginal. 17. A empresa MACAMBIRA produz um determinado produto, com custo semanal dado pela função. Cada unidade deste produto é vendida por R$31. Determinar a quantidade que deve ser produzida e vendida para dar o máximo lucro? 18. A função da demanda de um produto é dada por é (em milhares de unidades) determine a elasticidade-preço da demanda para. Faça uma análise da sua resposta. 19. Seja, a função receita diária, para a fabricação de fogões, onde é o número de unidades produzidas diariamente. Atualmente, o fabricante está produzindo 400 fogões por dia e pretende elevar este número para 401. a) Use análise marginal para estimar o ganho adicional produzido pelo 401 fogão. b) Qual a diferença entre o ganho real e o aproximado calculado no item (a). 20. A quantidade e o preço de certo produto estão relacionados pela seguinte equação de demanda. a) Determine a elasticidade de demanda em função do preço b) Calcular a elasticidade de demanda para c) Calcular a elasticidade de demanda para Bibliografia Bom Estudo! Vide PD da Disciplina Deus não lhe dá mais do que você pode carregar. Jesus Cristo. Página 6