Sessão 04: Introduzindo a modelagem matemática em um problema de máximos e mínimos.

Transcrição

1 7.6. Descrição das atividades em sala de aula Sessão 04: Introduzindo a modelagem matemática em um problema de máximos e mínimos. Cálculo Um curso moderno com aplicações, Problema nº 42 Data: 28/04/2010, Horário: 07h30min.. Turma: T14 do curso de Engenharia Elétrica da UFSM, Cálculo A - MTM Atividade 04: Situação-Problema - Modelagem matemática em um problema de máximos e mínimos. Fonte: Autor: Laurence D. Hoffmann; Cálculo - Um curso moderno com aplicações, Problema nº 42, página 402, Situação-Problema: Examinemos um modelo matemático para o número de casos de mortes causadas pela epidemia de AIDS. A tabela abaixo mostra o número de casos conhecidos de AIDS no período de Tabela 02: Número de casos de AIDS por ano de ocorrência. Ano N casos

2 Figura 09: Número de casos de AIDS por ano (curva em vermelho) e polinômio obtido por ajuste de função (curva sólida em preto). Com relação à situação problema acima: (a) Determinar a função matemática retirada do gráfico acima através da linha de tendência. (b) Faça o gráfico da função e determine o número máximo de casos de AIDS para t 0 e para t = 0. Objetivo da atividade: Determinar o número máximo de casos de AIDS no período de Conhecimentos prévios necessários: A função polinomial: definição, raízes e o gráfico correspondente. Valor numérico da função. Máximos e mínimos. Interseção com os eixos coordenados. Crescimento da função e concavidade.

3 Objetivo da atividade: É saber usar o programa do Excel para retirar a função polinomial e saber usar o software maple para achar o número máximo de casos de AIDS no período O aluno Guilherme, pergunta: Professor, como expressará a função polinomial correspondente a essa tabela de dados em função do tempo t? Professor: Ir ao Excel 2007 e tirar de lá a linha de tendência, a confiabilidade e o gráfico correspondente. Para isto, basta selecionar a tabela de dados acima e clicar no computador em inserir linhas que aparecerá o gráfico correspondente. Clicando no botão direito do mouse sobre o gráfico, aparecerão os tipos de funções. Escolha a função polinomial, no caso. Clicando em linha de tendência aparecerá a função polinomial correspondente a tabela acima. Clique também em R-quadrado que dará a confiabilidade do gráfico, sobre cem por cento. Feito pessoal? Feito. Muito bem, então: Mãos à obra. Passado algum tempo, o aluno Renan, fala: Já achei a função polinomial professor e é dada por: yy = 170,3xx ,3xx xx e o R 2 = 0, 993. Professor: Agora, a pergunta é: Como achar os máximos e mínimos? O aluno Matheus, pergunta: Como achar o ponto de máximo, professor? Professor: Tomem o livro do maple na página 202, e procurem achar os máximos e mínimos dessa função. Poderá também, fazer de outra maneira, isto é: derivar a função y ' = f '(x) e achar os pontos críticos xi, resolvendo a equação f '(x) = 0, (página 41 do livro do maple). Solução esperada:

4 Disseminação de uma epidemia Examinemos um modelo matemático para o número de mortes causadas pela epidemia de AIDS. A tabela 02 mostra o número de casos conhecidos de AIDS no período de (a) Para expressar o número de casos de AIDS em função do tempo, um programa de análise de dados, o Excel, gerou a função polinomial do terceiro grau definida por y = 170,36 t ,5 t ,4t ,8. Faça um gráfico dessa função. Determine o número máximo de casos para t = 0 ou t 0. Em que ocasião o número de casos é zero? Figura 10: Casos de AIDS nos Estados Unidos no período de 1984 a 1991.

5 Partindo da hipótese de que o número de casos de AIDS tende a aumentar exponencialmente, um programa de análise de dados gerou a função yy = ff(tt) definida por: yy = 6,165ee 0,32554 tt, pede-se: Faça o gráfico dessa função. A função possui um máximo? A função se anula para algum valor de t?

6 Solução apresentada pelos alunos do grupo 07 (Caio e Ricardo): Figura 11: Casos de AIDS nos EUA no período de

7 Conclusão do grupo 07: Figura12: Casos de AIDS (Grupo 07) Foi muito gratificante para o meu grupo trabalhar com o computador usando o software Maple. Aprendemos modelagem matemática, visualizar as funções através de seus gráficos, funções crescentes e funções decrescentes. É muito importante que se crie uma cadeira para trabalhar esse software, pois é muito bom mesmo. É uma ferramenta indispensável. Creio que o ensino aprendizagem do cálculo se torna mais rico e significativo. Outros grupos apresentaram soluções similares, as quais não serão apresentadas no corpo dessa dissertação.