MESTRADO EM MACROECONOMIA e FINANÇAS Disciplina de Computação. Aula 06. Prof. Dr. Marco Antonio Leonel Caetano

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1 MESTRADO EM MACROECONOMIA e FINANÇAS Disciplina de Computação Aula 06 Prof. Dr. Marco Antonio Leonel Caetano 1

2 Guia de Estudo para Aula 06 Aplicação de AutoValores - Usando autovalor para encontrar pontos ótimos de uma curva - Usando o toolbox simbólico do Matlab Geração de superfície - Utilização da função Mesh do Matlab Exercícios - Pontos ótimos de função - Autovalores na determinação de pontos críticos de uma função Objetivos da Aula - Compreender autovalores em otimização. - Determinar a característica de um ponto crítico. - Aplicar mínimos quadrados e autovalores. - Utilizar de forma adequada o Mesh. - Aprender a usar o toolbox de resolução simbólica do matlab.

3 Aplicação de Autovalores em Otimização Premissas Considerando uma função f(x), tem-se que: A primeira derivada igual a zero determina os pontos críticos de f(x). Se a segunda derivada calculada no ponto crítico for positiva tem-se ponto de mínimo local. Se a segunda derivada calculada no ponto crítico for negativa tem-se ponto de máximo local. Se a segunda derivada é nula e ocorre mudança de concavidade na função f(x) o ponto é de inflexão. 3

4 Exemplo- 1 Primeira derivada f (x) = x f(x) = x Segunda derivada f (x) =

5 Exemplo Primeira derivada f (x) = x f(x) = x Segunda derivada f (x) = 5

6 Exemplo Primeira derivada f (x) = x Ponto Crítico f(x) = x Segunda derivada f (x) = Mínimo Local 6

7 Exemplo Primeira derivada f (x) = x f(x) = x Segunda derivada f (x) = 7

8 Exemplo Primeira derivada f (x) = x f(x) = x Segunda derivada f (x) = 8

9 Exemplo- Primeira derivada f (x) = x 3-1x f(x) = x x Segunda derivada f (x) = 1x - x 9

10 Exemplo Primeira derivada f (x) = x 3-1x f(x) = x x Segunda derivada f (x) = 1x - x 10

11 Exemplo Primeira derivada f (x) = x 3-1x Ponto Crítico f(x) = x x Segunda derivada f (x) = 1x - x Inflexão 11

12 Exemplo Primeira derivada f (x) = x 3-1x f(x) = x x Segunda derivada f (x) = 1x - x 1

13 Exemplo Primeira derivada f (x) = x 3-1x f(x) = x x Segunda derivada f (x) = 1x - x Inflexão 13

14 Exemplo Primeira derivada f (x) = x 3-1x Ponto Crítico f(x) = x x Segunda derivada f (x) = 1x - x Mínimo Local 1

15 Exemplo Primeira derivada f (x) = x 3-1x f(x) = x x Segunda derivada f (x) = 1x - x 15

16 Funções bivariáveis f(x,y) Premissas Dada uma função f(x,y) Encontra-se as derivadas parciais de primeira ordem f x, f y Resolve-se o sistema linear formado pelas derivadas e encontram-se os pontos críticos. Calculam-se as derivadas parciais f xx, f xy e f yy. Cria-se a matriz Hessiana: H = f f xx xy f f xy yy 16

17 Classificação dos pontos críticos λ1 λ Sejam e os autovalores da matriz Hessiana f(x,y) tem um mínimo em (x *,y * ) se f(x,y) tem um máximo em (x*,y*) se λ 1 > 0 λ > 0 λ 1 < 0 λ < 0 f(x,y) tem uma sela em (x*,y*) se os autovalores tem sinais diferentes. 17

18 Exercício Encontre e classifique todos os pontos estacionários da função f 3 x ( x, y) = + xy xy eixo y eixo x 5 18

19 Derivadas de primeira ordem f f x y = = x + y y xy x = x( y ) Igualando f y = 0 obtemos, x = 0 ou y = Igualando f x = 0 P/ x = 0 P/ y = 0 = 0 y = 0 ou y = + y y 0 = x x = ou x = + 8 Ptos Críticos (0,0) (0,) (,) (-,) 19

20 0 A Matriz Hessiana x f y f x f yy xy xx = = = Derivadas segunda ordem Matriz Hessiana = = x y y x H f f f f H yy xy xy xx (x *,y * ) ponto crítico

21 1 AutoValores = 0 0 (0,0) H 1 = = λ λ = 0 0 (0,0) H 1 = = λ λ = 0 0 (,) H 1 = = λ λ = 0 0,) ( H 1 = = λ λ Ponto de Sela Ponto de Sela Mínimo Local Máximo Local

22 CONTORNO de f(x,y) eixo y eixo x Máximo 3 Sela Mínimo 1 Sela

23 Grafico usando Mesh Deve ser criada uma malha de pontos para o eixo x e y. Antes do comando para criar a malha de pontos, deve ser fornecido um vetor com a quantidade de pontos do eixo: início fim Qtde pontos Deve ser usado o programa meshgride para gerar a malha Deve ser inserida a função para plot em 3D 3

24 O gráfico Programa para plot 3D Programa para alterar a Matriz de cores: - Hot (cores quentes) - Pink (tons de rosa) - Sem o uso do colormap aparedem cores diversas

25 Gerando o Contorno de curvas 3D Programa Contour Precisa dos pontos inseridos num vetor para eixos x, y e z: Qtde de curvas de isolinhas desejadas 5

26 Toolbox de Matemática Simbólica Objetos simbólicos são criados a partir de strings de caracteres ou de valores numéricos usando-se a função sym 6

27 O uso de funções matemáticas 1 x cos( x ) = 7

28 Matriz simbólica Define diversas variáveis simbólicas Matriz de elementos simbólicos Determinante 8

29 Inserindo valores numéricos 9

30 Extraindo numerador e denominador de expressões racionais f = ax b x 30

31 Operações Algébricas 31

32 Funções Compostas f ( g( x) ) g ( f ( x) ) 3

33 Simplificando Expressões Agrupa todos os termos semelhantes Expressa a função como produto de polinômios 33

34 Expandindo funções Distribui os produtos sobre as somas 3

35 Simplificando funções 35

36 A função pretty Forma mais fácil de ver uma expressão matemática 36

37 Resolvendo Equações y (comando Solve) = ax + bx + x 37

38 Melhorando a saída 38

39 Calculando a derivada (diff) d(ax + bx + x) d(sen (x)) dx dx 39

40 A integração ( int(f)) 1 dx x.cos(x) dx x 1 1 x dx Integral Definida 0