Sistemas Lineares em Engenharia
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- Benedito Bennert
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1 Sistemas Lineares em Engenharia Prof. Afonso Paiva Departamento de Matemática Aplicada e Estatística Instituto de Ciências Matemáticas e de Computação USP São Carlos Métodos Numéricos e Computacionais I SME0305
2 Circuitos Elétricos Leis de Kirchhoff Segunda Lei de Kirchhoff Lei das Malhas A soma algébrica da d.d.p. (diferença de potencial elétrico) em uma malha é nula: N k U k = 0 com U = R i }{{} Lei de Ohm Prof. Afonso Paiva (ICMC-USP) Sistemas Lineares em Engenharia SME / 1
3 Circuitos Elétricos Leis de Kirchhoff Segunda Lei de Kirchhoff Lei das Malhas A soma algébrica da d.d.p. (diferença de potencial elétrico) em uma malha é nula: N k U k = 0 com U = R i }{{} Lei de Ohm Problema: como calcular a corrente elétrica i k em uma malha? 1 Ω 25 Ω i2 30 Ω 10 V + - i 1 1 Ω 50 Ω i3 55 Ω Prof. Afonso Paiva (ICMC-USP) Sistemas Lineares em Engenharia SME / 1
4 Circuitos Elétricos Leis de Kirchhoff Segunda Lei de Kirchhoff Lei das Malhas 1 Ω 10 V 25 Ω i2 30 Ω + i i 1-1 Ω U > 0 i U < 0 50 Ω i3 55 Ω Prof. Afonso Paiva (ICMC-USP) Sistemas Lineares em Engenharia SME / 1
5 Circuitos Elétricos Leis de Kirchhoff Segunda Lei de Kirchhoff Lei das Malhas 1 Ω 10 V 25 Ω i2 30 Ω + i i 1-1 Ω U > 0 i U < 0 50 Ω i3 55 Ω 1 1 i (i 1 i 2 ) + 50 (i 1 i 3 ) 10 = 0 Prof. Afonso Paiva (ICMC-USP) Sistemas Lineares em Engenharia SME / 1
6 Circuitos Elétricos Leis de Kirchhoff Segunda Lei de Kirchhoff Lei das Malhas 1 Ω 10 V 25 Ω i2 30 Ω + i i 1-1 Ω U > 0 i U < 0 50 Ω i3 55 Ω 1 1 i (i 1 i 2 ) + 50 (i 1 i 3 ) 10 = i (i 2 i 3 ) + 25 (i 2 i 1 ) = 0 Prof. Afonso Paiva (ICMC-USP) Sistemas Lineares em Engenharia SME / 1
7 Circuitos Elétricos Leis de Kirchhoff Segunda Lei de Kirchhoff Lei das Malhas 1 Ω 10 V 25 Ω i2 30 Ω + i i 1-1 Ω U > 0 i U < 0 50 Ω i3 55 Ω 1 1 i (i 1 i 2 ) + 50 (i 1 i 3 ) 10 = i (i 2 i 3 ) + 25 (i 2 i 1 ) = (i 3 i 2 ) + 55 i (i 3 i 1 ) = 0 Prof. Afonso Paiva (ICMC-USP) Sistemas Lineares em Engenharia SME / 1
8 Circuitos Elétricos Leis de Kirchhoff Segunda Lei de Kirchhoff Lei das Malhas 1 Ω 10 V 25 Ω i2 30 Ω + i i 1-1 Ω U > 0 i U < 0 50 Ω i3 55 Ω i 1 i 2 i 3 = Resolva o sistema acima no MATLAB usando o comando \. Prof. Afonso Paiva (ICMC-USP) Sistemas Lineares em Engenharia SME / 1
9 Circuitos Elétricos Leis de Kirchhoff Primeira Lei de Kirchhoff Lei dos Nós Em um nó, a soma algébrica das correntes elétricas que saem de um nó é nula: N k i k = 0 Prof. Afonso Paiva (ICMC-USP) Sistemas Lineares em Engenharia SME / 1
10 Circuitos Elétricos Leis de Kirchhoff Primeira Lei de Kirchhoff Lei dos Nós Em um nó, a soma algébrica das correntes elétricas que saem de um nó é nula: N k i k = 0 Problema: como calcular a voltagem em cada nó de uma malha? 5Ω N1 10Ω N3 100 V 30Ω 10Ω 20Ω N2 Prof. Afonso Paiva (ICMC-USP) Sistemas Lineares em Engenharia SME / 1
11 Circuitos Elétricos Leis de Kirchhoff Primeira Lei de Kirchhoff Lei dos Nós N 1 N 1 i 2 N i 3 i 1 i N 1 r Ω N 2 i r Ω V i r Ω V N 2 N 2 i 1 + i 2 + i 3 = 0 i = V 1 V 2 r i = V 1 V 2 + V r i = V 1 V 2 V r Prof. Afonso Paiva (ICMC-USP) Sistemas Lineares em Engenharia SME / 1
12 Circuitos Elétricos Leis de Kirchhoff 5Ω 10Ω N 1 N 3 Primeira Lei de Kirchhoff Lei dos Nós 100 V 30Ω 10Ω 20Ω N 2 Prof. Afonso Paiva (ICMC-USP) Sistemas Lineares em Engenharia SME / 1
13 Circuitos Elétricos Leis de Kirchhoff 5Ω 10Ω N 1 N 3 Primeira Lei de Kirchhoff Lei dos Nós 100 V 30Ω 10Ω 20Ω N 2 1 Vamos assumir que V 2 = 0 em N 2 ; Prof. Afonso Paiva (ICMC-USP) Sistemas Lineares em Engenharia SME / 1
14 Circuitos Elétricos Leis de Kirchhoff 5Ω 10Ω N 1 N 3 Primeira Lei de Kirchhoff Lei dos Nós 100 V 30Ω 10Ω 20Ω N 2 1 Vamos assumir que V 2 = 0 em N 2 ; V 1 2 Em N 1 : 30 + V V 1 V 3 = 0; 5 10 Prof. Afonso Paiva (ICMC-USP) Sistemas Lineares em Engenharia SME / 1
15 Circuitos Elétricos Leis de Kirchhoff 5Ω 10Ω N 1 N 3 Primeira Lei de Kirchhoff Lei dos Nós 100 V 30Ω 10Ω 20Ω N 2 1 Vamos assumir que V 2 = 0 em N 2 ; V 1 2 Em N 1 : 30 + V V 1 V Em N 3 : V 3 V V V 3 20 = 0; = 0; Prof. Afonso Paiva (ICMC-USP) Sistemas Lineares em Engenharia SME / 1
16 Circuitos Elétricos Leis de Kirchhoff 5Ω 10Ω N 1 N 3 Primeira Lei de Kirchhoff Lei dos Nós 100 V 30Ω 10Ω 20Ω N 2 [ 1/3 1 /10 1 /10 1/4 ] [ V1 V 3 ] = [ 20 0 ] Prof. Afonso Paiva (ICMC-USP) Sistemas Lineares em Engenharia SME / 1
17 Problema: como calcular as forças exercidas pelas vigas em cada nó (junta) de uma treliça? 2 E 4 G R 6 N 6 N 1 A 45 C F 45 H R 1 3 B D 5 Prof. Afonso Paiva (ICMC-USP) Sistemas Lineares em Engenharia SME / 1
18 Problema: como calcular as forças exercidas pelas vigas em cada nó (junta) de uma treliça? 2 E 4 G R 6 N 6 N 1 A 45 C F 45 H R 1 3 B D 5 a treliça é estável (rígida) i F x i = 0 e F y i = 0 i Prof. Afonso Paiva (ICMC-USP) Sistemas Lineares em Engenharia SME / 1
19 C φ F ext θ B A A, B, C e F ext : magnitude de uma força ao longo de uma viga Prof. Afonso Paiva (ICMC-USP) Sistemas Lineares em Engenharia SME / 1
20 C φ F ext θ B A Horizontal A + C sen(θ) + F ext cos(φ) = 0 A, B, C e F ext : magnitude de uma força ao longo de uma viga Prof. Afonso Paiva (ICMC-USP) Sistemas Lineares em Engenharia SME / 1
21 C φ F ext θ B A Horizontal A + C sen(θ) + F ext cos(φ) = 0 Vertical A, B, C e F ext : magnitude de uma força ao longo de uma viga B + C cos(θ) F ext sen(φ) = 0 Prof. Afonso Paiva (ICMC-USP) Sistemas Lineares em Engenharia SME / 1
22 C φ F ext θ B A Horizontal A + C sen(θ) + F ext cos(φ) = 0 Vertical A, B, C e F ext : magnitude de uma força ao longo de uma viga B + C cos(θ) F ext sen(φ) = 0 # de incógnitas = # forças nas vigas + # forças de reação Prof. Afonso Paiva (ICMC-USP) Sistemas Lineares em Engenharia SME / 1
23 Assumindo cargas hipotéticas F i nos nós da treliça, a treliça abaixo é estável? 2 E 4 G R 6 N 6 N 1 A 45 C F 45 H R 1 3 B D 5 Prof. Afonso Paiva (ICMC-USP) Sistemas Lineares em Engenharia SME / 1
24 Assumindo cargas hipotéticas F i nos nós da treliça, a treliça abaixo é estável? 2 E 4 G R 6 N 6 N 1 A 45 C F 45 H R 1 3 B D 5 Nó 1: : R A B = Fx 1 : N 1 2 A = Fy 1 Prof. Afonso Paiva (ICMC-USP) Sistemas Lineares em Engenharia SME / 1
25 Assumindo cargas hipotéticas F i nos nós da treliça, a treliça abaixo é estável? 2 E 4 G R 6 N 6 N 1 A 45 C F 45 H R 1 3 B D 5 Nó 2: : 2 2 A E = Fx 2 : 2 2 A + C = Fy 2 Prof. Afonso Paiva (ICMC-USP) Sistemas Lineares em Engenharia SME / 1
26 Assumindo cargas hipotéticas F i nos nós da treliça, a treliça abaixo é estável? 2 E 4 G R 6 N 6 N 1 A 45 C F 45 H R 1 3 B D 5 Nó 3: : B D = F x 3 : C = F y 3 Prof. Afonso Paiva (ICMC-USP) Sistemas Lineares em Engenharia SME / 1
27 Assumindo cargas hipotéticas F i nos nós da treliça, a treliça abaixo é estável? 2 E 4 G R 6 N 6 N 1 A 45 C F 45 H R 1 3 B D 5 Nó 4: : E G = F x 4 : F = F y 4 Prof. Afonso Paiva (ICMC-USP) Sistemas Lineares em Engenharia SME / 1
28 Assumindo cargas hipotéticas F i nos nós da treliça, a treliça abaixo é estável? 2 E 4 G R 6 N 6 N 1 A 45 C F 45 H R 1 3 B D 5 Nó 5: : D H = Fx 5 : F 2 H = Fy 5 Prof. Afonso Paiva (ICMC-USP) Sistemas Lineares em Engenharia SME / 1
29 Assumindo cargas hipotéticas F i nos nós da treliça, a treliça abaixo é estável? 2 E 4 G R 6 N 6 N 1 A 45 C F 45 H R 1 3 B D 5 Nó 6: : N 6 + G H = Fx 6 : R H = Fy 6 Prof. Afonso Paiva (ICMC-USP) Sistemas Lineares em Engenharia SME / 1
30 1 0 2/ / / / / / / /2 0 1 R 1 N 1 A B C D E F G H N 6 R 6 = F x 1 F y 1 F x 2 F y 2 F x 3 F y 3 F x 4 F y 4 F x 5 F y 5 F x 6 F y 6 Prof. Afonso Paiva (ICMC-USP) Sistemas Lineares em Engenharia SME / 1
31 1 0 2/ / / / / / / /2 0 1 matriz esparsa = grande quantidade de zeros R 1 N 1 A B C D E F G H N 6 R 6 = F x 1 F y 1 F x 2 F y 2 F x 3 F y 3 F x 4 F y 4 F x 5 F y 5 F x 6 F y 6 Prof. Afonso Paiva (ICMC-USP) Sistemas Lineares em Engenharia SME / 1
32 1 0 2/ / / / / / / /2 0 1 matriz esparsa = grande quantidade de zeros treliça estável o sistema tem solução única R 1 N 1 A B C D E F G H N 6 R 6 = F x 1 F y 1 F x 2 F y 2 F x 3 F y 3 F x 4 F y 4 F x 5 F y 5 F x 6 F y 6 Prof. Afonso Paiva (ICMC-USP) Sistemas Lineares em Engenharia SME / 1
33 1 0 2/ / / / / / / /2 0 1 matriz esparsa = grande quantidade de zeros treliça estável o sistema tem solução única (matriz depende apenas da geometria da treliça) R 1 N 1 A B C D E F G H N 6 R 6 = F x 1 F y 1 F x 2 F y 2 F x 3 F y 3 F x 4 F y 4 F x 5 F y 5 F x 6 F y 6 Prof. Afonso Paiva (ICMC-USP) Sistemas Lineares em Engenharia SME / 1
34 Cai ou não cai? Prof. Afonso Paiva (ICMC-USP) Sistemas Lineares em Engenharia SME / 1
35 Cai ou não cai? Prof. Afonso Paiva (ICMC-USP) Sistemas Lineares em Engenharia SME / 1
36 Cai ou não cai? 10 equações (5 nós) > 9 incógnitas (3 forças de reação + 6 vigas) Prof. Afonso Paiva (ICMC-USP) Sistemas Lineares em Engenharia SME / 1
37 Cai ou não cai? 10 equações (5 nós) > 9 incógnitas (3 forças de reação + 6 vigas) (sistema sobredeterminados não possui solução!) Prof. Afonso Paiva (ICMC-USP) Sistemas Lineares em Engenharia SME / 1
38 Distribuição de Temperatura Distribuição de Temperatura Problema: dada uma placa R sujeita a 3 temperaturas (em Celsius) distintas na fronteira R, como calcular a temperatura de equilíbrio no interior da placa? Prof. Afonso Paiva (ICMC-USP) Sistemas Lineares em Engenharia SME / 1
39 Distribuição de Temperatura Distribuição de Temperatura Problema: dada uma placa R sujeita a 3 temperaturas (em Celsius) distintas na fronteira R, como calcular a temperatura de equilíbrio no interior da placa? Propriedade do Valor Médio: a temperatura de equilíbrio em um ponto P é o valor médio da temperatura de sua vizinhança. Prof. Afonso Paiva (ICMC-USP) Sistemas Lineares em Engenharia SME / 1
40 Distribuição de Temperatura Distribuição de Temperatura Suponha que R já alcançou a temperatura de equilíbrio. Vamos discretizar R por uma grade (grid): x 1 x 3 20 x 2 x 4 30 Prof. Afonso Paiva (ICMC-USP) Sistemas Lineares em Engenharia SME / 1
41 Distribuição de Temperatura Distribuição de Temperatura Suponha que R já alcançou a temperatura de equilíbrio. Vamos discretizar R por uma grade (grid): x 1 x 3 20 x 2 x 4 30 Propriedade do Valor Médio: a temperatura em um ponto P / R é o valor médio da temperatura dos seus 4 pontos mais próximos. Prof. Afonso Paiva (ICMC-USP) Sistemas Lineares em Engenharia SME / 1
42 Distribuição de Temperatura Qual o valor da temperatura em x 1, x 2, x 3 e x 4? 20 Distribuição de Temperatura 25 x 1 x 3 20 x 2 x 4 30 Prof. Afonso Paiva (ICMC-USP) Sistemas Lineares em Engenharia SME / 1
43 Distribuição de Temperatura Qual o valor da temperatura em x 1, x 2, x 3 e x 4? Distribuição de Temperatura 20 x 1 = x 2 + x x 1 x 2 x 3 x 4 20 x 2 = x x 4 4 x 3 = 20 + x 1 + x x 4 = x 3 + x Prof. Afonso Paiva (ICMC-USP) Sistemas Lineares em Engenharia SME / 1
44 Distribuição de Temperatura Qual o valor da temperatura em x 1, x 2, x 3 e x 4? Distribuição de Temperatura 20 x 1 = x 2 + x x 1 x 2 x 3 x 4 20 x 2 = x x 4 4 x 3 = 20 + x 1 + x x 4 = x 3 + x x 1 45 x 2 x 3 = x 4 50 Prof. Afonso Paiva (ICMC-USP) Sistemas Lineares em Engenharia SME / 1
45 Distribuição de Temperatura Distribuição de Temperatura Exercício 1 Dada uma placa de tamanho x metros de largura e y metros de altura, já com os valores de temperatura prescritos na fronteira. Faça uma função em MATLAB que calcule e visualize a distribuição de temperaturas nesta placa usando um grid de resolução n n. Prof. Afonso Paiva (ICMC-USP) Sistemas Lineares em Engenharia SME / 1
46 Distribuição de Temperatura Distribuição de Temperatura Qual o valor da temperatura em x 1, x 2, x 3 e x 4? x 1 x 3 20 x 2 x 4 30 [X,Y] = meshgrid(x,y): cria um grid x y; Prof. Afonso Paiva (ICMC-USP) Sistemas Lineares em Engenharia SME / 1
47 Distribuição de Temperatura Resolvendo Código Prof. Afonso Paiva (ICMC-USP) Sistemas Lineares em Engenharia SME / 1
48 Distribuição de Temperatura Matrizes Esparsas no MATLAB S = sparse(a): converte uma matriz cheia para esparsa; A = full(s): converte uma matriz esparsa para cheia; S = sparse(m,n): cria uma esparsa m n; S = sparse(i,j,val): cria uma esparsa com S(i(k), j(k)) = val(k); [i,j,val] = find(s): encontra índices e coeficientes não-nulos; Prof. Afonso Paiva (ICMC-USP) Sistemas Lineares em Engenharia SME / 1
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