FESP Faculdade de Engenharia São Paulo Prof. Douglas Pereira Agnelo Prof. Dr. Alfonso Pappalardo Jr.

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1 CE2 Estabilidade das Construções II FESP Faculdade de Engenharia São Paulo Prof. Douglas Pereira Agnelo Prof. Dr. Alfonso Pappalardo Jr. Nome: Matrícula ORIENTAÇÕES PARA PROVA Avaliação: S2 Data: 24/NOV/ 2014 Duração: 85 minutos a b c Os símbolos a, b e c são os três últimos algarismos da matrícula no formato xxabc e devem ser utilizados nas dimensões (das cargas, elementos, comprimentos, etc.) para resolução das questões da prova. Para a = 0 adotar a = 10; para b = 0 adotar b = 10; para c = 0 adotar c = 10; a = b = c = 1 a QUESTÃO (valor: 3,5 pontos) Analise a viga de concreto armado abaixo pré-dimensionada com altura igual ao décimo de vão e através da Analogia de Mohr determine: i) O diagrama de momentos fletores resultante com os valores dos momentos máximos positivos e máximos negativos; (valor: 2,0 pontos) ii) Os valores das rotações nos apoios. (valor: 1,5 ponto) Concreto C30: E = 27 GPa (NBR 6118:2014 Tabela 8.1) Unidades SI. TABELA DE CONVERSÃO DAS CONDIÇÕES DE CONTORNO DA VIGA REAL PARA VIGA CONJUGADA FORMULÁRIO Área da parábola = 2 B H 3 1

2 SOLUÇÃO Carregamento da viga conjugada: Equilíbrio à rotação em B: ( M BL 2EI ) L 3 + (M CL 2EI ) 2L 3 = 0 Equilíbrio à rotação em A: M c = M B 2 + ( ql3 12EI ) L 2 + (M CL 2EI ) 5L 3 (M BL 2EI ) 2L 3 (M BL 2EI ) 4L 3 = 0 Isolando M B temos: E assim: M B = ql2 14 M C = ql2 28 A partir da teoria de Estabilidade das Construções I temos que o equilíbrio à rotação em B da barra AB: Portanto: R A L ql2 2 + ql2 14 = 0 R A = 3 7 ql 2

3 Equação do esforço cortante da viga AB partindo de A: Q(x) = 3 ql qx 7 Momento máximo na barra AB se dá quando a cortante é igual a 0. 0 = 3 ql qx 7 Posição do momento máximo: R A = Q A x = 3 7 L Equação de momentos fletores da viga AB partindo de A: M(x) = 3 qx2 qlx 7 2 Na posição de momento máximo temos: M ( 3 7 L) = 3 7 ql (3 7 L) q 2 (3 7 L) 2 Portanto o valor máximo positivo da viga AB é; Resposta do item i) M máx+ = 9 98 ql2 ii) Para determinação das rotações deve-se observar que a tabela de conversão apresenta a analogia entre a rotação da viga real e a cortante da viga conjugada, portanto deve-se calcular as cortantes da viga conjugada no nós A e B. Para cortante da viga conjugada temos: Q B c = + M BL 2EI M CL 2EI = + M BL 2EI M BL 4EI = + M BL 4EI = + (ql2 14 ) L 4EI = + ql3 56EI = θ B Q A c = ql3 12EI + M BL 2EI + M BL 2EI M CL 2EI = ql3 12EI + (ql2 14 ) 3L 4EI = 5qL3 168EI = θ A 3

4 2 a QUESTÃO (valor: 2,5 pontos) Analise a treliça plana abaixo e determine: i) Deslocamentos no nó 1; (1,5 ponto) ii) Reações do apoio do nó 3. (1,0 ponto) Dados: Matriz de Rigidez Global da Estrutura (K) 3 a QUESTÃO (valor: 4,0 pontos) Determine as reações da estrutura abaixo por Análise Matricial de Estruturas: Concreto C30: E = 27 GPa (NBR 6118:2014 Tabela 8.1) Matriz de rigidez global da barra i Momentos de engastamento perfeito para carga distribuída 4

5 SOLUÇÃO QUESTÃO 2 i) Os deslocamentos desconhecidos referentes aos graus de liberdades 1 e 2 são determinados a partir das soluções das linhas 1 e 2 da matriz de rigidez global da estrutura Resolvendo o sistema temos: [ P 2283,5 ] = 48116, , [Δ 1 ] Δ 2 Δ 1 = P 48079,2 e Δ 2 = P ii) As forças globais referente ao nó 3 (graus de liberdade 5 e 6) são obtidas resolvendo as linhas 5 e 6 da matriz de rigidez global da estrutura: SOLUÇÃO QUESTÃO 3 Para exemplificar usaremos a matrícula F 5 = 0 P F 6 = Δ 2 = ( ) = P 39,279 a = 0 9 b = 0 3 c = 0 8 Assim, a dimensão da viga é: L = 2,0 + b = 2,0 + 3,0 = 5,0 m altura = L 10 = 5,0 = 0,50 m 10 q = 10 c = 10 8,0 = 80,0 kn/m Rigidez flexional: 0,2 0,53 EI = ( ) = knm² 12 5

6 Determinação dos índices dos graus de liberdade (qualquer escolha não alterará os resultados desde que a montagem da matriz de rigidez global da estrutura seja realizada corretamente): Transferência das cargas para os nós Matriz-coluna de forças globais: F = F ,67 F ,67 F 5 [ F 6 ] Matriz-coluna de deslocamentos globais: Δ = 0 Δ 2 0 Δ 4 0 [ 0 ] As barras têm mesma rigidez e mesmo comprimento, portanto mesmos elementos: EI 12 L 3 = 5400 EI 6 L 2 = EI 4 L = EI 2 L = Matrizes de rigidezes globais das barras: 6

7 A matriz de rigidez global da estrutura é formada pela soma das matrizes de rigidezes globais das barras, portanto: Com as três matrizes definidas (força, rigidez e deslocamento) é possível resolver a equação matricial: F = K Δ Para determinação dos deslocamentos desconhecidos referente aos graus de liberdade 2 e 4, deve ser montado um sistema linear com as equações das linhas 2 e 4 da equação matricial F = K Δ: [ 166, ] = [ , ] [Δ 2 ] Δ 4 Resolvendo o sistema linear acima temos os valores dos deslocamentos desconhecidos: Δ 2 = 0,00529 m e Δ 4 = 0,00317 m Para obtenção das reações, devem ser utilizadas as equações das linhas 1, 3, 5 e 6 da equação matricial F = K Δ, portanto: F = Δ Δ 4 F = Δ 2 F 5 = Δ 4 F 6 = Δ 4 F 1 = 171,38 kn F 3 = 271,42 kn F 5 = 42,80 kn F 6 = 71,32 knm 7