Exercícios Extras de Função Quadrática Extensivo Alfa Professor: Leandro (Pinda)

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1 Exercícios Extras de Função Quadrática Extensivo Alfa Professor: Leandro (Pinda) 1. (Enem (Libras) 017) Suponha que para um trem trafegar de uma cidade à outra seja necessária a construção de um túnel com altura e largura iguais a 10 m. Por questões relacionadas ao tipo de solo a ser escavado, o túnel deverá ser tal que qualquer seção transversal seja o arco de uma determinada parábola, como apresentado na Figura 1. Deseja-se saber qual a equação da parábola que contém esse arco. Considere um plano cartesiano com centro no ponto médio da base da abertura do túnel, conforme Figura.. (Unesp 017) Uma função quadrática f é dada por f(x) x bx c, com b e c reais. Se f(1) 1 e f() f() 1, o menor valor que f(x) pode assumir, quando x varia no conjunto dos números reais, é igual a a) 1. b) 6. c) 10. d). e) (Enem 017) A Igreja de São Francisco de Assis, obra arquitetônica modernista de Oscar Niemeyer, localizada na Lagoa da Pampulha, em Belo Horizonte, possui abóbadas parabólicas. A seta na Figura 1 ilustra uma das abóbadas na entrada principal da capela. A Figura fornece uma vista frontal desta abóbada, com medidas hipotéticas para simplificar os cálculos. A equação que descreve a parábola é a) y x 10 b) y x 10 c) y x 10 d) e) y x y x. (Unicamp 017) Sejam c um número real e f(x) x 4x c uma função quadrática definida para todo número real x. No plano cartesiano, considere a parábola dada pelo gráfico de y f(x). a) Determine c no caso em que a abscissa e a ordenada do vértice da parábola têm soma nula e esboce o respectivo gráfico para 0 x 4. Qual a medida da altura H, em metro, indicada na Figura? a) 16 b) 1 c) 4 d) e) 7. (Enem (Libras) 017) A única fonte de renda de um cabeleireiro é proveniente de seu salão. Ele cobra R$ 10,00 por cada serviço realizado e atende 00 clientes por mês, mas está pensando em aumentar o valor cobrado pelo serviço. Ele sabe que cada real cobrado a mais acarreta uma diminuição de 10 clientes por mês. Para que a renda do cabeleireiro seja máxima, ele deve cobrar por serviço o valor de a) R$ 10,00. b) R$ 10,0. c) R$ 11,00. d) R$ 1,00. e) R$ 0,00. b) Considere os pontos de coordenadas A (a, f(a)) e B (b, f(b)), onde a e b são números reais com a b. Sabendo que o ponto médio do segmento AB é M (1, c), determine a e b. 6. (Unesp 017) A figura representa, em vista superior, a casinha de um cachorro (retângulo BIDU) e a área externa de lazer do cachorro, cercada com metros de tela vermelha totalmente esticada.

2 9. (Enem 016) Um túnel deve ser lacrado com uma tampa de concreto. A seção transversal do túnel e a tampa de concreto têm contornos de um arco de parábola e mesmas dimensões. Para determinar o custo da obra, um engenheiro deve calcular a área sob o arco parabólico em questão. Usando o eixo horizontal no nível do chão e o eixo de simetria da parábola como eixo vertical, obteve a seguinte equação para a parábola: Calcule a área externa de lazer do cachorro quando x 6 m. Determine, algebricamente, as medidas de x e y que maximizam essa área, mantidos os ângulos retos indicados na figura e as dimensões da casinha. 7. (Unicamp 016) Seja (a, b, c) uma progressão geométrica de números reais com a 0. Definindo s a b c, o menor valor possível para s a é igual a a) 1. b). c). 4 d) (Enem ª aplicação 016) Dispondo de um grande terreno, uma empresa de entretenimento pretende construir um espaço retangular para shows e eventos, conforme a figura. A área para o público será cercada com dois tipos de materiais: - nos lados paralelos ao palco será usada uma tela do tipo A, mais resistente, cujo valor do metro linear é R$ 0,00; - nos outros dois lados será usada uma tela do tipo B, comum, cujo metro linear custa R$,00. A empresa dispõe de R$.000,00 para comprar todas as telas, mas quer fazer de tal maneira que obtenha a maior área possível para o público. A quantidade de cada tipo de tela que a empresa deve comprar é a) 0,0 m da tela tipo A e 800,0 m da tela tipo B. b) 6, m da tela tipo A e 0,0 m da tela tipo B. c) 100,0 m da tela tipo A e 600,0 m da tela tipo B. d) 1,0 m da tela tipo A e 00,0 m da tela tipo B. e) 00,0 m da tela tipo A e 00,0 m da tela tipo B. y 9 x, sendo x e y medidos em metros. Sabe-se que a área sob uma parábola como esta é igual a da área do retângulo cujas dimensões são, respectivamente, iguais à base e à altura da entrada do túnel. Qual é a área da parte frontal da tampa de concreto, em metro quadrado? a) 18 b) 0 c) 6 d) 4 e) (Enem 01) Um estudante está pesquisando o desenvolvimento de certo tipo de bactéria. Para essa pesquisa, ele utiliza uma estufa para armazenar as bactérias. A temperatura no interior dessa estufa, em graus Celsius, é dada pela expressão T(h) h h 8, em que h representa as horas do dia. Sabe-se que o número de bactérias é o maior possível quando a estufa atinge sua temperatura máxima e, nesse momento, ele deve retirá-las da estufa. A tabela associa intervalos de temperatura, em graus Celsius, com as classificações: muito baixa, baixa, média, alta e muito alta. Intervalos de temperatura ( C) Classificação T 0 Muito baixa 0 T 17 Baixa 17 T 0 Média 0 T 4 Alta T 4 Muito alta Quando o estudante obtém o maior número possível de bactérias, a temperatura no interior da estufa está classificada como a) muito baixa. b) baixa. c) média. d) alta. e) muito alta.

3 Gabarito e Resolução Resposta da questão 1: [A] Desde que o gráfico intersecta o eixo x nos pontos de abscissa e, e sendo (0,10) o vértice da parábola, temos 10 a (0 0 0 ) a. Portanto, segue que o resultado é y (x 0 x ) x 10. Resposta da questão : 4 a) Sendo a abscissa do vértice, vem que a ordenada deve ser igual a. Logo, temos 1 4 c c. Portanto, segue o gráfico de f. b) Desde que a b, vem a b 1 b a a 4a c b 4b c a 4a ( a) 4( a) 0 c b a a a 0 Resposta da questão : Se f() f() 1, então a 1. b 1 b c ( b c) 1 b 6. Logo, se f(1) 1, então 1 1 ( 6) 1 c c 4. Portanto, temos f(x) x 6x 4 (x ). Em consequência, o menor valor que f pode assumir é, quando x.

4 4 Resposta da questão 4: Calculando: Parábola Pontos, 0 e 4, f(x) ax bx c b 0 parábola simétrica ao eixo y f(0) c H 0 a () H 0 a H 1 9a a H a (4) H 16a H Resposta da questão : Seja x o número de reais cobrados a mais pelo cabeleireiro. Tem-se que a renda, r, obtida com os serviços realizados é dada por r(x) (10 x)(00 10x) 10x 100x.000. Em consequência, o número de reais cobrados a mais para que a renda seja máxima é por serviço o valor de 10 R$ 1, ( 10) e, portanto, ele deverá cobrar Resposta da questão 6: a) Calculando: x y (y ) (x 1) x y 19 6 y 19 y 1 Sexterna Sexterna 76 m b) Calculando: S(x) x y ( 1) x y 19 y 19 x S(x) x (19 x) x 19x 19 xmáx xmáx 9, y 9, ( 1) Resposta da questão 7: [C] Tem-se que Desse modo, vem (a, b, c) (a, aq, aq ), com a 0 e q sendo a razão da progressão geométrica. s a aq aq 1 q q 1 q. a a 4 Portanto, o valor mínimo de s a é, 4 ocorrendo para 1 q. Resposta da questão 8: Queremos calcular os valores de x e de y, de tal modo que a área A y 00 4x. Daí, como A 4x(x 1) atinge um máximo para portanto, segue que x 1 m e y 00 m. x y seja máxima e 40x 10y 000, isto é, 0 1 x 6, m, temos y 00 46, 0 e,

5 Resposta da questão 9: [C] Tem-se que y (x )(x ), em que as raízes são e. Ademais, a parábola intersecta o eixo das ordenadas no ponto (0, 9). A resposta é dada por ( ( )) 9 6 m. Resposta da questão 10: Escrevendo a lei de T na forma canônica, vem T(h) h h 8 (h h 8) [(h 11) 6] 6 (h 11). Assim, a temperatura máxima é 6 C, ocorrendo às 11 horas. Tal temperatura, segundo a tabela, é classificada como alta.