( ) = 0. ( ) = 30t 3t 2 é

Transcrição

1 QUESTÃO 01 t = 0 t +10t =1600 t 10t+1600 = 0 $ ou & t = 40 Portanto o primeiro momento em que o número de infectados é é o 0 dia. QUESTÃO 0 9 Como D( x) = x + 18x+ 30, o valor de x que maximiza essa função é = b a = 18 9 =. $ ' & Como x = 0 corresponde a janeiro de 016 e x está medidos em anos, segue que x= representa janeiro de 018. Nesse momento o valor dívida será máximo e o seu valor será D ( ) = 9 $ ' = 48. & QUESTÃO 03 Como o lucro L é uma função quadrática do número de unidades vendidas x, segue que = ax +bx+c, com a, b e c reais. Como o ponto (0,0) pertence ao gráfico, segue que c=0. Assim, = ax +bx. Além disso os pontos (10,100) e (0,100) pertencem ao gráfico da função. Assim,! 100 = a.10 +b.10! a= 6 $ 100 = a.0 +b.0 $ b =180 = 6x +180x O valor de x que maximiza o lucro é = b a = 180 =15. Portanto o lucro máximo é 6 = =1.350 reais. L 15 QUESTÃO 04 Nesse caso, o valor que maximiza a função = 8t t é t = t v = b a = 8 ( ) =. h t Portanto a altura máxima atingida pela bola é = 8.. = 8 metros. h QUESTÃO 05 Na representação gráfica dada = b a = 6 3 = ef Portanto, 0= 1, c= 0 c= 6. = 0. QUESTÃO 06 De acordo com o enunciado, segue que no mês x o número de pacotes vendidos é (50+10x) e o número de pacotes vendidos é ( x). Assim, ( x) ( 50+10x) = x +15x+100 =136 QUESTÃO 07 Os pontos B=(b,7) e A=(8,a) pertencem ao gráfico da função f x = x 0x+98. Assim, x =13 7 = x 0x+98 x 0x+91 = 0 $ ou. & x = 7 Como x B < x A b < 8, segue que b = 7. Por outro lado, a= a=. Portanto, a medida da área do trapézio é ( S = 8+7 )5 = 37,5u.a.. QUESTÃO 08 Seja x o número de lugares que ficarão vagos. Nesse caso teremos que a receita R(x) é dada por = 00 x x = 10x x O valor de x que maximiza essa função é = b a = ( 10) = 75. Portanto, o número de passagens vendidas que torna máxima a quantia arrecadada é 15 (00-75). QUESTÃO 09 O valor de t que maximiza a função h t t = t v = b a = 30 3 atingida é h 5 = 30t 3t é = 5s. Portanto a altura máxima = = 75 m. Por outro lado os instantes em que o sinalizador está no nível da água, correspondem aos valores de t tais que t = 0s h( t) = 0 30t 3t = 0 3t( 10 t) = 0 $ ou. & t =10s Assim o sinalizador retorna à água em 10 segundos.

2 QUESTÃO 10 Representemos por x n primeiro elemento da linha n. Assim x 1 =1,x =,x 3 = 4,x 4 = 7,... Note que x x 1 =1 x 3 x = x 4 x 3 = 3... x 40 x 39 = 39 Adicionando as igualdades acima, segue que x 40 x 1 = x 40 1 = x 40 = 781 QUESTÃO 11 Se for dado um desconto de R$ 1,00 o lucro por pacote passaria a ser R$,00 - R$ 1,00 = R$ 1,00. Por outro lado, nesse caso o número de pacotes vendidos é = 800. Portanto, nesse caso o lucro total é 800.R$ 1,00 = R$ 800,00. QUESTÃO 1 A função que dá o lucro em função de um desconto de x reais é dada por: = ( x) ( x) = 400x + 400x+800 Portanto, o valor de x que maximiza essa função é = b a = 400 ( 400) = 1 = 0,50. Ora, como o preço original do pacote de arroz é de R$ 6,00, segue que o preço do quilograma do arroz que maximiza o lucro é R$ 6,00 - R$ 0,50 = R$ 5,50. QUESTÃO 13 Seja x o número de vezes devemos diminuir R$ 0,01 no preço da gasolina para que a receita seja máxima. Assim a receita R(x) é dada por = ( x) (,60 0,01x) = 0,50x +30x+6000 Portanto, o valor de x que maximiza = b a = 30.0,50 = 30. Como cada desconto corresponde a R$ 0,01, segue o preço da gasolina para que a receita seja máxima é R$, R$ 0,01 = R$,30. QUESTÃO 14 Seja x o número de vezes que devemos diminuir R$1,00 no preço. Assim, o faturamento f(x) é dado por = ( 40+10x) ( 50 1x) = 10x + 460x+000 f x f x O valor de x que maximiza = b a = 460 ( 10) = 3. Assim, para que o faturamento seja máximo é preciso que seja dado um desconto de R$ 3,00. QUESTÃO 15 Em relação a questão anterior o faturamento máximo é = = 790 reais. f 3 QUESTÃO 16 Sendo x o comprimento e y a largura da caixa, pelo enunciado segue que x+ y 80.Por outro lado o volume de um paralelepípedo retângulo de comprimento x, largura y e altura h é dado por V = x.y.h. Pelo enunciado também temos que h 45 e x+ y = 80. Como queremos maximizar o volume vamos supor de h= 45 cm. Assim, V = x. ( 80 x).45 = 45x +3600x. O valor de x que maximiza o volume V é = b a = 3600 = 40 cm. 45 Como x+ y = 80,segue que y = 80 x = = 40 cm. QUESTÃO 17 Seja x o número de vezes que vamos dar um desconte de R$50,00. Nesse caso a receita R(x) é dada por = ( x) ( 40+10x) = 500x +6000x O valor de x que maximiza = b a = 6000 ( 500) = 6. Nesse caso, a receita máxima é = = R 6 QUESTÃO 18 Seja x o números de lugares vagos. Nesse caso, a receita R(x) é dada por = ( 54 x) ( 55+,5x) R ( x ) =,5x +80x+970 O valor de x que maximiza = b a = 80 (,5) =16. Portanto, o número de passageiros que a empresa terá uma rentabilidade máxima será 54 16=38 passageiros.

3 QUESTÃO 19 Seja x o número de vezes que devemos aumentar o preço do ingresso. Nesse caso a receita R(x) é dada por = ( 6+1,5x) ( x) = 15x +630x+760 Portanto, o valor de x que maximiza = b a = 630 = 1. Nesse caso, o preço ( 15) unitário da inscrição que irá maximizar a receita é 6+1,5.1 = 37,5 reais. QUESTÃO 0 Como N t = 35+ 4t 0,4t, o valor de t que maximiza essa função é t = t v = b a = 4 ( 0,4) = 5. Portanto o valor máximo dessa função é = ,4.5 = 45 animais. N 5 QUESTÃO 1 De acordo com o enunciado, a função de custo para a produção de x unidades do produto é dada por C x = x+7. Já a função que estima as vendas, em função do número de unidades x, do produto é dada por = x +9,76x 441,84. Assim, no período em que os V x custos de produção caíram 1, a função L(x) que expressa o lucro na venda de x unidades do produto é dada por = V ( x ) 0,1.C ( x ) = x +9,76x 441,84 0,88. ( x+7) = x +8x 448 QUESTÃO Suponha que as medidas das laterais do curral sejam x, x e y. Nesse caso teremos que x+ y =100 y =100 x. Assim a medida da área do curral é dada por A = x.y = x 100 x =100x x. Portanto, o valor de x que maximiza = b a = 100 ( ) = 5. Portanto, a medida da área máxima de uma região retangular que pode ser cercada com 100 metros de tela é A 5 = =150m. QUESTÃO 3 Como a parábola intersecta o eixo y abaixo da origem, segue que c < 0. Por outro lado, como a concavidade da parábola é para cima, segue que a > 0. Por fim, como < 0, segue que < 0 b a < 0 b < 0 b > 0. QUESTÃO 4 Sejam x e y as medidas dos lados de um retângulo cujo perímetro mede 40cm. Nesse caso, x+y = 40 y = 0 x. A medida da sua área é A = xy = x 0 x = 0x x. Portanto o valor de x que maximiza = b a = 0 ( 1) =10. Nesse caso, y = 0 x = 0 10 =10. Assim o retângulo de perímetro 40cm que possui área máxima é na verdade um quadrado de lado 10cm. Rotacionando esse quadrado em torno de um dos seus lados será produzido um cilindro de altura 10cm e raio da base 10cm. Então o volume desse cilindro é V = π10.10 =1000πcm 3. QUESTÃO 5 Colocando um sistema de coordenadas cartesianas de modo que o vértice da parábola fique no eixo y e de modo que o eixo x fique no plano horizontal, segue os zeros da função quadrática são -5 e 5. Assim a equação da parábola é ( x+5) y = a x 5. Nesse sistema de coordenadas o ponto P=(4,3) pertence a essa parábola. Assim, 3 = a( 4 5) ( 4+5) a= 1 3 da parábola é y = 1 ( 3 x 5 )( x+5). Portanto, a equação. Por fim, nesse sistema de coordenadas o ponto Q=(0,H) também pertence à parábola. Assim, H= ( 0+5) = 5 3. QUESTÃO 6 O diagrama dado sugere uma parábola cujos zeros são 0 e 4. Portanto, nesse sistema de coordenadas sua equação é n t = a( t 0) ( t 4) = at( t 4) o ponto P=(,40) pertence a essa parábola. Assim, 40 = a.. ( 4) a= 10. Portanto n( t) = 10t( t 4) = 10t + 40t.. Por outro lado

4 QUESTÃO 7 Seja x o número de vezes que devemos diminuir R$0,10 no preço de cada sanduíche. Nesse caso o preço de cada sanduíche será 6-0,10.x, o número de sanduíches vendidos será 00+0.x e o lucro por cada sanduíche será (6-0,10x)-4,50=1,50-0,10x. Portanto o lucro total será dado pela função L ( x ) = ( 00+0x) ( 1,50 0,10x). Temos duas saídas, a saber: a primeira é ver que = ( 00+0x) ( 1,50 0,10x) = x +10x+300 e portanto que o lucro máximo ocorre quando = b a = 10 =,5, o que implicaria no preço de ( ) 6 -,5.0,10=5,75 reais para cada sanduíche. QUESTÃO 8 Pondo um sistema de coordenadas cartesianas de modo que o eixo y seja o eixo de simetria da parábola e o eixo x seja o solo a parábola terá equação y = ax +c (b=0, pois a abscissa do vértice da parábola nesse sistema de coordenadas é o 0). Note que os pontos de coordenadas (0,30) e (450,80) pertence a essa parábola. Assim, 30 = a.0 +c c = 30 e 80 = a a= Portanto, a equação da parábola é y = x +30. Por fim, os pontos em que as rodas traseiras do carrinho 3 e dianteiras do carrinho 1 têm coordenadas (-d,70) e (d,70). Assim, 70 = d +30 d=180m. Nesse sistema de coordenadas, A distância horizontal entre o centro da roda dianteira do carrinho 1 e o centro da roda traseira do carrinho 3 é igual a d =.180m = 360m. QUESTÃO 9 Basta achar o menor valor de t para o qual 0,5t = 39 0,5t = 361 t =1444 t = 38min. QUESTÃO 30 Como pelo enunciado f tem grau menor que 3, segue que f tem grau no máximo igual a. Assim, y = f x = ax +bx+c. Como os pontos (0,0); (10,10) e (5,6) pertencem ao gráfico desse função, segue que! a= 1! a.0 +b.0+c = 0 5 a.10 +b.10+c =10 b = 7 y = 1 5 $ a.5 5 x x +b.5+c = 6 c = 0 $ QUESTÃO 31 =Receita custo = 100 x = x +110x 1000 x x QUESTÃO 3 De acordo com o enunciado a temperatura é dada por = h +h 85. O valor de h que maximiza essa T h temperatura é h v = b a = ( 1) =11. Nesse momento a temperatura máxima é dada por = = 36 C, que segundo a tabela T 11 dada no enunciado é considerara uma temperatura alta. QUESTÃO 33 Como o custo de produção de x unidades é dado por = 3x +3 e o valor arrecadado pela venda de x =180x 116, segue c x unidades do mesmo produto é v x que o lucro obtido na venda de x unidades de tal produto é: = v ( x ) c ( x ) = ( 180x 116) ( 3x +3) = 3x +180x 348 Diante do exposto o valor de x que maximiza a função lucro é = b a = 180 ( 3) = 30...

5 QUESTÃO 34 Como a quantidade q de pães vendidos a um preço de p reais é q= p, segue que a receita arrecadada com a venda de q pães é R = q.p = ( p)p = 400p 100p. Assim, para que a receita permaneça em 300 reais, devemos ter p =1 400p 100p = 300 p 4p+3 = 0 $ ou & p = 3 Como a média original era R$300/100pães = R$3/pão, então que o novo preço deve ser de R$1,00. Assim R$0,50 p R$1,50. QUESTÃO 35 Note que o coeficiente angular da reta que representa a trajetória de B é m = 1 =. Para que o móvel B 6 encontrasse o móvel A no ponto de altura máxima, o coeficiente angular da reta que representa B deveria ser m' = 16 = 4. Para atingir esse valor seria necessário 4 que o coeficiente angular da reta de representa a trajetória do móvel B aumentasse de unidades. QUESTÃO 36 Observando diretamente no diagrama, podemos ver que o vértice da parábola é o ponto P=(,4). Como a concavidade da parábola é para baixo, segue que o pássaro começa a cair a partir desse ponto. QUESTÃO 37 Vamos analisar cada uma das afirmações: O coeficiente a não pode ser 0,, visto que a parábola tem concavidade para baixo (nesse caso a < 0), o que faz dessa afirmação FALSA. Note que os pontos de coordenadas (0,0) e (5,5) pertencem a essa parábola. Assim, $ H ( x ) = ax +bx+c 0 = a.0 +b.0+c $ c = 0 $ 5 = a.5 +b.5 $ 5a+b =1 Por outro lado = 5 b a = 5 b = 10a. Como mostramos no item anterior, b =, o que faz dessa afirmação VERDADEIRA. = 0,x +x, segue que = 0, =1,8m, o que faz com que Como H t H 1 essa afirmação seja FALSA. Como o sarrafo está posicionado a uma distância horizontal de 4,9 metros do ponto de partida do atleta, segue que nessa posição a altura atingida pelo atleta é = 0, 4,9 + 4,9 = 4,998 > 4,9, que faz h 4,9 com que o atleta consiga atravessar o sarrafo. Essa afirmativa é então VERDADEIRA. Portanto a sequência correta é FFVFV. QUESTÃO 38 Note que as dimensões da tela vermelha são x, y, x - 1 e y -. Como são 35 metros de tela, segue que x+ y + ( x 1)+ ( y ) = 35 x+ y =19 y =19 x. Por outro lado a medida da área de lazer do cachorro é S = xy.1 = x( 19 x) = x +19x. Portanto o valor de x que maximiza essa área é = b a = 19 = 9,5, 1 o que faz com que a área máxima seja S = 9, ,5 = 88,5m. QUESTÃO 39 Colocando um sistema de coordenadas cartesianas de modo que o eito y coincida com o eixo da parábola e o eixo x coincida com o chão, a equação da parábola, nesse sistema de coordenadas, é y = ax +c. (note que b = 0, pois nesse sistema de coordenadas a abscissa do vértice é igual a 0). Nesse mesmo sistema de coordenadas, perceba que os pontos (-,0), (,0) e (0,5) pertencem à parábola. Assim, 5 = a.0 +c c = 5. y = ax +5 0 = a. +5 a= 5 4 Portanto, nesse sistema de coordenadas a equação dessa parábola é y = 5 4 x +5. Assim, se y = 3,m, segue que 3, = 5 4 x +5 x = ±1,0. Portanto, os pontos C=(-1,0;3,0) e D=(1,0;3,0) pertencem à parábola a distância entre eles é,40m. 5a+b =1 5a 10a=1 a= 0, 5( 0,)+b =1 b =.Portanto, H x que faz com que essa afirmação seja FALSA. = 0,x +x, o

6 QUESTÃO 40 A medida da área do trapézio é ( S = 44 4x+0 )x = ( 3 x)x = 3x x. O valor de x que maximiza S é = b a = 3 ( ) = 8. QUESTÃO 41 Observando que o vértice da parábola corresponde ao ponto (5, 8000), tem-se que F t Como F(0) = 6000, segue que = 6000 a= 80 = 80( t 5) a 0 5 F t = a( t 5) Os zeros de F são t = - 5 e t = 15. Assim, podemos = 80(t 15) ( t+5). Podemos escrever = 80(t 15) ( t+5) F( t) = ( 8).10.(t 15) ( t+5) = ( 10 8t) ( 10t+50) escrever F t F t F t Dado que o preço P varia segundo uma função afim com taxa de variação igual a 10 e que F = P.n, segue que P =10t+50 e n=10 8t, o que revela que o número de unidades vendidas diminui 8 a cada mês. QUESTÃO 41 Analisemos item por item: No segundo dia da semana, que corresponde a d =, o número de atendimentos é dado por N() = 10, o que faz da primeira proposição FALSA. O valor de d que maximiza a função = d +16d 14 é d v = b a = 16 ( ) = 4, N d o que faz dessa proposição VERDADEIRA. O maior número de atendimentos foi N 4 = = 18, o que faz dessa proposição FALSA. Para que não ocorram atendimentos é necessário que d +16d 14 = 0 d=1 ou d= 7. O que revela que existem dois dias da semana em que não há atendimentos. Então essa proposição é VERDADEIRA. Como já vimos, o valor de d que maximiza a função N d. = d +16d 14 é 4, e portanto as maiores freqüências de atendimento ficam na vizinhança do dia 4 e não no final de samana (dias 6 e 7), o que mostra que essa proposição é FALSA. Assim a sequência correta é FVFVF. QUESTÃO 43 A tabela a seguir exibe o número de regiões e, função do número de retas. Observe: N de retas N de regiões 1 R(1)= R()=4 3 R(3)=7 4 R(4)= n R(n) Note que = R ( 1 ) = R ( ) = 3 R ( 3 ) = 4 R 1 R R 3 R 4... R( n 1) =n Adicionando as igualdades acima, segue que = n = n =1+ n ( n+1 ) R ( n ) = 1 n + 1 n+1. QUESTÃO 44 Como a representação gráfica dada é uma reta, segue que a quantidade de unidades vendidas q e o preço p em reais se relacionam por q= a.p+b. De acordo com o gráfico os pontos (16,1000) e (8,400) pertencem a essa reta. Assim,! 1000 = a.16+b a= 50 e b =1800. $ 400 = a.8+b Portanto, q= 50.p Por fim a receita correspondente à venda de q unidades é dada por R = q.p = ( 50p+1800).p R = 50p +1800p.O valor de p que proporciona uma receita máxima é p =p v = b a = 1800 ( 50) =18.

7 QUESTÃO 45 Se x o número de apartamentos não alugados. Nessa caso a receita R(x) é dada por = ( 100 x) ( x) ( R ( x ) = 0 x =100 ou x = 14) O valor de x que maximiza a receita é o x do vértice dessa função quadrática. Uma maneira de determiná-lo é a média dos zeros da função, isto é, = = 43. QUESTÃO 46 Sabemos que q= v. Nesse caso a receita é dada por R ( v ) = q.v = ( v)v =10.000v 300v. Portanto o valor de v que maximiza essa receita é v v = b a = = 00. Para esse valor de v temos que q= = pessoas. QUESTÃO 47 De acordo com a figura, teremos que comprar x metros da tela do tipo A (que custa R$0,00 o metro) e y metros da tela do tipo B (que custa R$5,00 o metro), gastando o recurso disponível de R$5.000,00. Assim,x.0+y.5 = x+ y = 500 y = 500 4x. Por outro lado a medida da área da região retangular é A = xy = x 500 4x = 500x 4x. Assim o valor de x que maximiza essa área é = b a = 500 ( 4) = 6,5. Assim, y = ,5 = 50. Diante do exposto serão utilizados.6,5metros = 15 metros de tela do tipo A e y =.50 metros = 500 metros de tela do tipo B. QUESTÃO 49 Colocando um sistema de coordenadas cartesianas cuja origem coincida com o local de partida da bola, com o seu eixo x orientado positivamente para a trave e o seu eixo y orientado verticalmente para cima, segue que a parábola descrita pela bola terá, nesse sistema de coordenadas, equação y = at +bt (o coeficiente c é nulo, pois a parábola passa pela origem desse sistema de coordenadas). Por outro lado, segundo o enunciado os pontos (1,6) e (5,10) pertencem a essa parábola. Assim,! 6 = a.1 +b.1 a= 1 e b = 7. $ 10 = a.5 +b.5 Diante do exposto a equação da parábola é y = t +7t. Essa função atinge o seu valor máximo quando t = t v = b a = 7 = 3,5 segundos. ( 1) QUESTÃO 50 De acordo com o enunciado serão plantadas n novas laranjeiras. Como já existiam 30 laranjeiras, segue que ao final existirão 30 + n laranjeiras. Originalmente cada laranjeira produzia 600 laranjas por ano, com a presença das novas laranjeiras, cada uma delas (e também das novas laranjeiras) passará a produzir n laranjas por ano. Assim a quantidade Q(n) de laranjas produzidas no laranjal é dada por = ( 30+n) ( n). Essa função quadrática tem Q n zeros -30 e 60. O valor de n que maximiza essa função é n=n v = =15. QUESTÃO 48 A função quadrática dada por C t = 0,05t +t+5 atinge o seu máximo quando t v = b a = ( 0,05) = 0h. Como o paciente tomou a primeira dose as 11h da segunda feira, segue que deverá tomar a segunda dose 0 horas depois, isto é, às 7 horas da manhã da terça feira seguinte.