Funções de Uma Variável - 1 a Avaliação - Turma B3 31 de outubro de Prof. Armando Caputi

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1 Funções de Uma Variável - 1 a Avaliação - Turma B 1 de outubro de Prof. Armando Caputi 1 Determine o domínio da função f(x) = arctan x x + 1 (justifique) e a equação da reta tangente ao seu gráfico em x = 1. Solução: Domínio. Devemos ter x x + 1 > 0 e x x + 1 Dom(arctan). Como Dom(arctan) = R, a última condição é claramente satisfeita. Para analisar a primeira, observemos que o discriminante de x x + 1 é = 1 < 0. Como o coeficiente do termo quadrático é positivo (corresponde a uma parábola "para cima"), resulta x x + 1 > 0 para todo x. Logo Dom f = R Reta tangente. Para determinar a equação da reta, precisamos de um ponto e do coeficiente angular da reta. Ponto. Quando x = 1, f(x) = arctan = arctan 1 = π. Logo, um ponto da reta é (1, π ). Coeficiente angular. Este é dado pela derivada de f(x) no ponto x = 1. Usando a Regra da Cadeia para efetuar esse cálculo: t = x x + 1 Assim, f (x) = dy dx = dy du ) ( ( 1 = 1 + ( x x + 1) e para x = 1, resulta u = t y = arctan u ( ) ( u t ) (x 1) = du dt dt dx = 1 x x + 1 f x 1 (x) = (x x + ) x x + 1 f (1) = 1 (1 1 + ) = 1 ) (x 1) = x 1 (1 + x x + 1) x x + 1 Juntando os resultados, temos que a equação da reta tangente ao gráfico de f(x) em x = 1 é dada por y π = 1 (x 1)

2 Seja dada a função g(x) = + (x ) (x ) Esboce o gráfico de g(x), considerando: domínio da função, interceptos, simetrias, assíntotas, monotonicidade, extremos locais e globais e seus valores, concavidade, pontos de inflexão e os valores de g(x) e g (x) em tais pontos. ATENÇÃO: o gráfico deve ser compatível com os dados obtidos na análise prévia Solução: Domínio. Para que a função g(x) esteja definida, é necessário que x 0, isto é, x. Assim, Interceptos. Com o eixo y: g(0) = =. Dom g = R\{} Com o eixo x: g(x) = 0 se e somente se (x ) + (x ) = 0, isto é, x 9x + 6 = 0. As raízes são x 1 = 9 + Logo, os interceptos são: (0, ), (9 Simetrias. Não há. Assíntotas. e x = 9, 0), ( 9 +, 0) Verticais. Como / Dom g, a reta x = é uma candidata a assíntota vertical. Calculando os limites laterais (ambos, simultaneamente): Tendo em mente que resulta ( lim + x ± Assim, a reta x = é uma assíntota vertical. ) (x ) (x ) (x ) = + lim x ± (x ) lim x = 1 e lim x ± x ±(x ) = 0 + lim x ± + lim x ± (x ) (x ) = Horizontais ou Oblíquas. Calculando os limites no infinito (ambos, simultaneamente): ( ) + (x ) (x ) (x ) = + lim x ± (x ) Observando que o limite na última expressão é uma indeterminação do tipo [ ], podemos usar a Regra de L Hopital para calculá-lo. Obtemos: Logo, (x ) lim x ± (x ) = lim x ± (x ) = 0 lim g(x) = x ± e a reta y = é uma assíntota horizontal, de ambos os lados.

3 Monotonicidade e extremos ( (x ) g ) (x )(x ) (x) = (x ) = Estudo de sinal e monotonicidade: Temos então que a função g(x) é: decrescente, se x < ; crescente, se < x 5; decrescente, se x 5 (5 x) ((x ) (x )) = (x ) (x ) x < < x < 5 5 x (x ) x + + g (x) + Pontos críticos e extremos: Pelos dados acima, o único ponto crítico é x = 5. Como g(x) "chega" crescendo em x = 5 e "sai" descrescendo, x = 5 é um ponto de máximo local (a ver ainda se é global). O valor máximo local é g(5) = 11. Como a função tende a para x e 11 >, o ponto x = 5 é, na verdade, um ponto de máximo global. E pelo que vimos ao estudar as assíntotas verticais, a função não possui mínimo global. Concavidade e pontos de inflexão: ( (x ) g (x ) ) (5 x) (x) = (x ) 6 = Estudo de sinal e concavidade: 6 (x 6) ( x x) = (x ) (x ) Observando que o sinal de g (x) é o mesmo sinal de x 6 (e que / Dom g), temos que g(x) tem concavidade: para baixo, se x < para baixo, se < x < 6 para cima, se x > 6 Pontos de inflexão e valores de g(x) e g (x) em tais pontos: O único possível ponto de inflexão é x = 6. Observando que a concavidade muda em x = 6, este é um ponto de inflexão. Além disso, temos: g(6) = 8 g (6) = 1 9

4 Gráfico Detalhe da parte central do gráfico de g(x)

5 A elipse abaixo tem equação x + y =. a) Dado um ponto (a, b) da elipse, situado no primeiro quadrante (mas não nos eixos), a reta tangente à elipse pelo ponto (a, b) forma com os eixos x e y um triângulo. Escreva a expressão da área de tal triângulo em função de a e b. [Se quiser - é opcional - tente antes achar a área do triângulo no caso em que (a, b) = (1, ) e depois vá ao caso geral.] b) Com base no item anterior, considere a função área A(x) do triângulo determinado pela reta tangente à elipse num ponto (x, y) e pelos eixos coordenados, e determine os pontos críticos da função A(x) para x (0, ). c) Tomando a função A(x) para x 1 e y 1, determine seu máximo e mínimo globais nesse arco da elipse. Solução: Item (a) Para determinar a área do triângulo, devemos achar as medidas dos catetos (que estão nos eixos), pois estes fornecem a base e a altura do triângulo. Para isso, devemos achar as intersecções da reta tangente com os eixos coordenados. Equação da reta tangente: Para determinar a equação da reta tangente, precisamos de um ponto (o ponto dado (a, b) ) e do seu coeficiente angular. Considerando que a equação x + y = define implicitamente y em função de x, o coeficiente da reta tangente é dado por y, calculado em x = a. Assim, derivando implicitamente a equação da elipse em relação a x, obtemos: x + 8yy = 0 x + yy = 0 Quando x = a, tem-se y = b, logo a + by = 0 y = a b Assim, a equação da reta tangente à elipse no ponto (a, b) é y b = a (x a) b 5

6 Intersecções da reta tangente com os eixos: Para x = 0, temos y b = a b ( a) y = b + a b y = a + b b Tendo em mente que o ponto (a, b) pertence à elipse, suas coordenadas devem satisfazer a equação desta última, ou seja, a + b =. Assim, y = b y = 1 b e a reta tangente encontra o eixo y no ponto (0, 1 b ). Para y = 0, temos b = a (x a) b b a = x a x = a + b a x = a + b a = a Assim, a reta tangente encontra o eixo x no ponto ( a, 0). Área do triângulo: os catetos formam a base e a altura do triângulo, logo Item (b) Expressão da função A(x): A = 1 a 1 b = ab Pelos cálculos do item anterior, podemos afirmar que a função área é dada por em que y é visto aqui como função de x. Pontos críticos de A(x) em (0, ): A(x) = xy Os pontos críticos de A(x) são aqueles em que A (x) = 0 ou A (x). Derivando (implicitamente), temos A (x) = (xy) x y = (y + xy ) x y 6

7 Primeiro, observamos que A (x) existe para todo x (0, ). Logo, os pontos críticos de A(x) são aqueles em que A (x) = 0, isto é y + xy = 0 y = y x Lembremos, pelos cálculos feitos no item (a), que em cada ponto do primeiro quadrante, temos y = x y Portanto, devemos ter y x = x y y = x Substituindo y por x na equação da elipse, resulta x + x = x = x = (lembre que x > 0) Portanto, A(x) possui um único ponto crítico em (0, ): x =. Item (c) Antes de mais nada, como estamos estudando a função área A(x) como função da variável x, vamos identificar para qual intervalo dessa variável temos as condições dadas no enunciado, a saber, x 1 e y 1/. Um dos extremos do intervalo já está dado, pois x 1. Para identificar o outro, observemos que quando y = 1 o valor correspondente de x (no primeiro quadrante) é obtido por: x + y = x + 1 = x = x = Observando a elipse (ou mesmo a equação dela), fica claro que para termos y 1, devemos ter x. Logo, devemos estudar a função A(x) no intervalo [1, ]. A função A(x) é contínua (note que y é uma função contínua de x, pois é derivável), logo admite máximo e mínimo absoluto no intervalo considerado. Tais extremos absolutos podem ser atingidos nas extremidades do intervalo ou em pontos críticos no interior do intervalo. O ponto crítico que achamos, x =, está em (1, ). Devemos então comparar os valores A(1), A( ), A( ). 7

8 Antes, observe que a partir da equação x + y =, temos: x = 1 y = x = y = 1 y = y = x = y = 1 y = 1 Assim, A(1) = A( ) = Como >, temos que: A( ) = O máximo global ocorre em x = 1 e em x =, e o valor máximo é. O mínimo global ocorre em x = e o valor mínimo é. 8