Todos os exercícios sugeridos nesta apostila se referem ao volume 1. MATEMÁTICA I 1 FUNÇÃO QUADRÁTICA PARTE 2

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1 EIXO DE SIMETRIA... COEFICIENTES a, b E c NO GRÁFICO... SINAL DA FUNÇÃO QUADRÁTICA...4 INEQUAÇÕES DO º GRAU...9 INEQUAÇÕES PRODUTO E QUOCIENTE... 4 SISTEMA DE INEQUAÇÕES DO º GRAU... 8 REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA... 5 No final das séries de exercícios podem aparecer sugestões de atividades complementares. Estas sugestões referem-se a exercícios do livro Matemática de Manoel Paiva fornecido pelo FNDE e adotado pelo IFMG Campus Ouro Preto durante o triênio Todos os exercícios sugeridos nesta apostila se referem ao volume. MATEMÁTICA I FUNÇÃO QUADRÁTICA PARTE

2 Terminamos a apostila anterior construindo de gráficos da função do º grau. Vamos começar esta apostila tratando de mais alguns elementos importantes acerca destes gráficos. EIXO DE SIMETRIA O gráfico da função quadrática admite um eixo de simetria perpendicular ao eixo horizontal e que passa pelo vértice da parábola. A afirmação acima está presente no livro Fundamentos da Matemática Elementar e vamos demonstrá-la abaixo. Os pontos de uma reta vertical que passa pelo vértice de uma parábola obedecem à equação b x pois a b todos os pontos têm abscissa. a Para provarmos que a parábola tem um eixo de simetria, na reta b x devemos mostrar que se o a ponto b A k,y a pertence ao gráfico, então o ponto b B k,y a também pertence. f x Vamos considerar a função ax bx c na sua forma b f x a x a 4a b e também que o ponto A k,y a pertence a f(x), assim, f b a a a f x k y a x k a k b a k a 4a b a b a b a 4a 4a k b a 4a f 4a b a k logo, podemos ver que o ponto b B k,y a também pertence ao gráfico. Esta conclusão nos permite construir apenas um ramo da parábola (à esquerda ou direita do vértice) e simetrizar este ramo em relação ao eixo de simetria construir o outro ramo. COEFICIENTES a, b E c NO GRÁFICO Os parâmetros a, b e c de uma função quadrática apresentada sob a forma f(x) = ax + bx + c nos dão informações interessantes e importantes sobre a natureza do gráfico. Vamos ver nos acasos a seguir: CASSIO VIDIGAL IFMG CAMPUS OURO PRETO

3 . Parâmetro c O coeficiente c indica o ponto onde a parábola cruza o eixo vertical. º caso: b < 0 Quando b < 0, a parábola cruza o eixo vertical com seu ramo decrescente. A parábola cruzo o eixo das ordenadas no ponto (0, c).. Parâmetro b 3º caso: b = 0 Quando b = 0, a parábola cruza o eixo vertical no vértice, onde a função não é crescente nem decrescente. Este coeficiente indica se a parábola cruza o eixo das ordenadas com seu ramo crescente ou decrescente. Veja cada um dos casos nos exemplos abaixo. º caso: b > 0 Quando b > 0, a parábola cruza o eixo vertical com seu ramo crescente. 3. Parâmetro a O parâmetro a é responsável pela concavidade e abertura da parábola. Como já vimos na página 3 da apostila 6, se a > 0, a parábola tem a concavidade voltada cima e se a < 0, a concavidade estará voltada baixo. Porém, mais do que isso, este parâmetro determina a parábola. Quanto maior o valor absoluto de a, menor será sua abertura ou, em outras palavras, mais fechada ela será independente da direção da concavidade. Veja nos exemplos a seguir: MATEMÁTICA I 3 FUNÇÃO QUADRÁTICA PARTE

4 SINAL DA FUNÇÃO QUADRÁTICA Como já vimos em funções do primeiro grau, estudar o sinal de uma função é determinar quais valores de x a função assume valores positivos, negativos ou mesmo zero. Estas informações são úteis, entre outras coisas, verificar se construção do gráfico está correta. Dada uma função quadrática do tipo f(x) = ax + bx + c, sabemos que f(x) pode apresentar duas, uma ou nenhuma raiz e o sinal do coeficiente a determina a concavidade da parábola. Para estudar o sinal de uma função do º grau, fazer um esboço do gráfico baseado nas raízes, caso existam, e no sinal do coeficiente a. Veja, nos exemplos, alguns casos. CASSIO VIDIGAL 4 IFMG CAMPUS OURO PRETO

5 b) f(x) = x + 3x + Ex.: Vamos estudar o sinal das seguintes funções: a) f(x) = x x 6 x = -/, x = e a = - < 0 b) f(x) = x + 3x + c) f(x) = x x + d) f(x) = x + 8x - 8 e) f(x) = x x + f) f(x) = x + x fx 0 x ou x fx 0 x ou x fx 0 x c) f(x) = x x + x = x = e a = > 0 Resolução: a) f(x) = x x 6 As raízes são x = - e x = 3 e a = > 0, assim a parábola corta o eixo OX em dois pontos e possui concavidade cima. O esboço a seguir mostra isto e apresenta os sinais em cada intervalo. f f x x 0 0 x x d) f(x) = x + 8x - 8 x = x = e a = > 0 Logo, podemos afirmar que: f x 0 x ou x 3 f x 0 x ou x 3 f x 0 x 3 f f x x 0 0 x x MATEMÁTICA I 5 FUNÇÃO QUADRÁTICA PARTE

6 e) f(x) = x x + a = > 0 e f(x) não possui raízes. Faça agora alguns exercícios envolvendo estudo de sinais e inequações. Logo, f x 0 x ) Faça o estudo do sinal das seguintes funções: a) fx 6x 5x f) f(x) = x + x a = - < 0 e f(x) não possui raízes. Assim, f x 0 x CASSIO VIDIGAL 6 IFMG CAMPUS OURO PRETO

7 b) fx x x 3 d) f x x x c) fx x 4x 4 e) fx x 9 MATEMÁTICA I 7 FUNÇÃO QUADRÁTICA PARTE

8 f) fx x 43x h) fx x x g) fx x x i) fx x x CASSIO VIDIGAL 8 IFMG CAMPUS OURO PRETO

9 j) f x 3 x INEQUAÇÕES DO º GRAU Sendo f(x) = ax + bx + c com a, b e c reais e a 0, chamamos de INEQUAÇÃO DO º GRAU às sentenças do tipo f(x) > 0 ou f(x) 0 ou f(x) < 0 ou ainda f(x) 0. Resolver uma inequação significa determinar os valores reais de x que satisfazem a condição pedida e isto é feito analisando-se o sinal da função. Veja no exemplo a seguir. ) Determine os valores de c os quais temos x 4x c 0, x Ex.. Qual a solução da inequação x 5x + >0. Resolução: Em princípio devemos determinar as raízes da função e a seguir esboçar o gráfico. As raízes são x e a = > 0. x e ATIVIDADES COMPLEMENTARES Pág. 8 Exercícios R.6 e R.7 Pág 84 Exercícios 5 e 6 Observando o esboço do gráfico, podemos notar que a função é positiva x ou x assim: S x x ou x MATEMÁTICA I 9 FUNÇÃO QUADRÁTICA PARTE

10 Ex.: Resolver a inequação x 6x 7 0. b) 6x x 0 As raízes são x = - e x = 7 e a > 0. S x x 7 Ex.3: Quais valores de x satisfazem a inequação x 6x + 9 > 0? Raízes: x = x = 3 e a > 0 S x x 3 c) x 4 3) Determine o conjunto solução de cada uma das inequações a seguir: a) x 9x 0 0 CASSIO VIDIGAL 0 IFMG CAMPUS OURO PRETO

11 d) x 36 x f) x x x 8 e) x x g) m m m m MATEMÁTICA I FUNÇÃO QUADRÁTICA PARTE

12 CASSIO VIDIGAL IFMG CAMPUS OURO PRETO h) t t t i) 6 4x 4 x x j) 6 k 3 k k k) 4 a x

13 4) Num laboratório, uma substância sofre um processo de mudança de temperatura. Sabe-se que após t segundos após o inicio do experimento, a temperatura C, em graus Celsius, é dada por C(t) = t t c) Em que instante isto ocorre? a) Qual a temperatura inicial da substância? b) Qual a temperatura mínima que a substância atinge? d) Durante quanto tempo a temperatura fica negativa? MATEMÁTICA I 3 FUNÇÃO QUADRÁTICA PARTE

14 e) Em que intervalo de tempo a temperatura ficou abaixo de 4ºC? INEQUAÇÕES PRODUTO E QUOCIENTE Resolver uma inequação produto e/ou quociente do segundo grau é semelhante ao que fazemos com aquelas que envolvem apenas funções do primeiro grau. Veja o exemplo. Ex.: Resolver a inequação (x + x 3)(4x ) > 0 Resolução: Devemos estudar o sinal de cada uma das funções. f(x) = x + x 3 g(x) = 4x S x 3 x ou x 4 Como não há novidades em relação ao que já vimos em inequações produto/quociente do primeiro grau, podemos passar direto aos exercícios. ATIVIDADES COMPLEMENTARES Pág. 84 Exercícios 7 a 9 CASSIO VIDIGAL 4 IFMG CAMPUS OURO PRETO

15 5) Resolva as inequações: x 5x 4 x x a) 0 c) xx 3x 0 d) x 3x 3x 0 x 0 b) x x5x 0 MATEMÁTICA I 5 FUNÇÃO QUADRÁTICA PARTE

16 4x 3x e) 0 x x 6) Resolva as duas inequações a seguir: x x a) x x 4 x f) 0 x 6x 5 b) x x CASSIO VIDIGAL 6 IFMG CAMPUS OURO PRETO

17 7) Seja fx x. Determine os x valores de x em cada caso: a) que se tenha f(x) = 8) Dado fx x x 3x x calcule os valores de x em cada caso: a) que se tenha f(x) = 0 b) que se tenha f(x) > 0 b) que se tenha f(x) > MATEMÁTICA I 7 FUNÇÃO QUADRÁTICA PARTE

18 SISTEMA DE INEQUAÇÕES DO º GRAU Resolver um sistema de inequações do º grau ou um sistema de inequações simultâneas do º grau é semelhante àquele envolvendo apenas inequações do primeiro grau. 9) Resolva os sistemas: x x a) x x x x 3 Devemos lembrar que a solução de um sistema é a INTERSECÇÃO das soluções de cada uma das inequações que o formam. x x Ex.: Resolver o sistema. x x Resolução: Devemos resolver cada inequação sedamente e, em seguida, fazer a intersecção entre as soluções. x x x x x x x 0 e x x x x 0 e x S [ ; ] [; ] CASSIO VIDIGAL 8 IFMG CAMPUS OURO PRETO

19 b) x x x 8x 9 8x 9 0) Indique o conjunto solução de cada um dos três sistemas de inequações simultâneas a seguir: a) 4x x 5x 4 MATEMÁTICA I 9 FUNÇÃO QUADRÁTICA PARTE

20 b) x x x 5 x c) 3x x x 3x x x 3 CASSIO VIDIGAL 0 IFMG CAMPUS OURO PRETO

21 ) Sejam fx x 5 gx 3x. Determine x tal que: a) < f(x) < 5 e ) Calcule m de modo que fx mx mx tenha raízes reais e o gráfico seja uma parábola voltada cima. b) f(x) g(x) MATEMÁTICA I FUNÇÃO QUADRÁTICA PARTE

22 3) Construir o gráfico da função: x 4 3 x 3 fx x 4 x 3 ou x 3 4) Construir o gráfico da função: f x x 7 x - x² + x - 3 x x x CASSIO VIDIGAL IFMG CAMPUS OURO PRETO

23 RESPOSTAS ) a) b) f f f x x x f f f x x x x 3 ou x x ou x 3 x 3 3 x x 3 ou x x 3 ou x ) c > 4 i) j) 3) a) f x f f x x x x 3 x S x x ou x b) S x 0 x 6 c) d) e) f f f f f f f f x x x x x x x x x x 0 x x 0 ou x x 0 ou x x 3 ou x 3 x 3 ou x 3 3 x 3 c) S x x ou x d) S x x 6 e) f) 5 S x S g) S m m x 5 f) f f f x x x x ou x 3 x ou x 3 x 3 h) S = Ø i) S 4 j) S k k 3 ou k g) f f f x x x x x ou x x ou x h) f x 0 x k) S = Ø 4) a) 35ºC b) -ºC c) t = 6 s MATEMÁTICA I 3 FUNÇÃO QUADRÁTICA PARTE

24 5) a) d) durante segundos e) < t < b) S x x ou x 485 S x x ou 0 x 5 S x x ou x 0 S {x x ou c) d) e) f) x ou 3 S {x x x 5} ou x ou x } 4 S {x x 5 ou x ou x 3} ) a) - < x <0 b) x - ou x ) m 4 3) 6) a) S x x b) S x x ou x 0 ou x 7) a) x = 0 ou x = b) x 0 ou x 4) 8) a) x ou x ou x 3 b) x ou x ou x 3 9) a) S x 0 x b) S x x 3 ou x 9 0) a) S x x ou x 4 b) S = Ø c) S x x CASSIO VIDIGAL 4 IFMG CAMPUS OURO PRETO

25 REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA MACHADO, Antônio dos Santos; Matemática, Temas e Metas. São Paulo, Atual, 988. IEZZI, Gelson e outros; Fundamentos da Matemática Elementar, Volume. São Paulo, Atual, 5ª edição, 977. RUBIÓ, Angel Pandés; Matemática e suas tecnologias; Volume. São Paulo, IBEP, 005. PAIVA, Manoel; Matemática; Volume. São Paulo, Moderna, 995. Links as vídeos-aulas sugeridas Pág coef-a-b-c-grafico/ Pág est-sinal-fg/ MATEMÁTICA I 5 FUNÇÃO QUADRÁTICA PARTE