Instituto de Matemática - IM/UFRJ Cálculo Diferencial e Integral I - MAC238 Respostas da Prova de Final - 20/12/2013

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1 Página de 8 Instituto de Matemática - IM/UFRJ Cálculo Diferencial e Integral I - MAC38 Respostas da Prova de Final - 0//03 Questão : ( pontos) (a) Dado o gráfico da função f, esboce o gráfico da função g, sendo g (x) = f(x + ). (b) A partir do gráfico da função f (uma semicircunferência), faça um esboço do gráfico de f. (c) Considerando o gráfico da função f 3, faça um possível esboço da função f 3 sabendo que é uma função contínua e que seu gráfico passa pela origem, ou seja, f 3 (0) = 0. (d) A partir do gráfico da função f 4 a seguir, faça um esboço da função F 4 definida por: F 4 (x) = x 0 f 3 (t)dt, 0 x 3. (a) Função f (b) Função f (c) Função f 3 (d) Função f 4 (a) Função g (b) Função f (c) Função f 3 (d) Função F 4 Questão : ( pontos) Calcule: (a) lim t 0 ( t + t t ) = + t t 0 t + t + t t 0 t + t t 0 t t + t( + + t) t t + + t t 0 ( + t) t + t( + + t) = + t( + + t) =

2 Página de 8 Cálculo Diferencial e Integral I - MAC38 Respostas da Prova de Final - 0//03(continuação) L Hôspital x 0 cos x 3x (b) lim x 0 sen x x x 3 = L Hôspital x 0 sen x 6x = 6 = A Calculando A e B: = (c) x x dx = (x + )(x ) dx = x + dx + B A x + + B x dx = A ln x + dx = + B ln x + k x A(x ) + B(x + ) = Ax A + Bx + B = (A + B)x + ( A + B) = { A + B = 0 A + B = Logo: A ln x + +B ln x +k = onde k IR B = 3 e A = 3 ( /3) ln x + +(/3) ln x +k = ln x ln x + +k 3 (d) e θ sen θdθ e θ por partes sen θdθ = e θ sen θ e θ por partes cos θdθ = e θ cos θ + e θ cos θdθ e θ sen θdθ Logo: e θ sen θdθ = e θ sen θ ( e θ cos θ + ) e θ sen θdθ e θ sen θdθ = e θ sen θ e θ cos θ e θ sen θdθ e θ sen θdθ = e θ (sen θ cos θ) e θ sen θdθ = eθ (sen θ cos θ)

3 Página 3 de 8 Cálculo Diferencial e Integral I - MAC38 Respostas da Prova de Final - 0//03(continuação) Questão 3: ( pontos) Considere a função f : IR IR definida por f(x) = x 4 4x 3 e determine cada item a seguir: (a) Suas assíntotas verticais e suas assíntotas horizontais, caso existam. Como é uma função polinomial, não há assíntotas horizontais ou verticais. (b) f (x) e f (x). f (x) = 4x 3 x f (x) = x 4x (d) Os intervalos onde a função f cresce, onde decresce e os pontos de máximo e de mínimo locais, caso existam. Intervalo de decrescimento: ], 3[ Intervalo de crescimento: ]3, + [ Ponto de mínimo local: x 0 = 3 (e) Os intervalos onde o gráfico da função f é côncavo para cima, onde é côncavo para baixo e os pontos de inflexão, caso existam. Intervalos onde a concavidade está para cima: ], 0[ e ], + [ Intervalos onde a concavidade está para baixo: ]0, [ Pontos de inflexão: x = 0 e x = (f) Os valores de máximo e mínimo absolutos, caso existam. Ponto de mínimo absoluto: x 0 = 3 (g) Utilizando as informações anteriores, faça um esboço do gráfico da função.

4 Página 4 de 8 Cálculo Diferencial e Integral I - MAC38 Respostas da Prova de Final - 0//03(continuação) Questão 4: ( pontos) a) Uma caixa sem tampa deve ser construída a partir de um pedaço quadrado de papelão, com 5cm de largura, cortando fora um quadrado de cada um dos quatros cantos e dobranco para cima os lados formando um paralelepípedo (mas sem a face superior), conforme sugere a figura a seguir. Determine o volume máximo que essa caixa poderá ter. (a) caixa Volume da caixa: Logo: V (x) = x(5 x) V (x) = 65x 00x + 4x 3 V (x) = 65 00x + x Cálculo de ponto crítico: V (x ) = 0 x = 5 6 oux = 5 Note que x é ponto de máximo local, enquanto x é ponto de mínimo local. Portanto, o volume máximo será: V (x ) = 65x 00x + 4x 3 = (5 6 ) = Ou ainda, o volume máximo é aproximadamente.57 cm 3.

5 Página 5 de 8 Cálculo Diferencial e Integral I - MAC38 Respostas da Prova de Final - 0//03(continuação) b) Uma esteira transportadora está descarregando cascalho a uma taxa de 30 pés 3 /min, constituindo uma pilha na forma de cone com o diâmetro da base e altura sempre igual. Quão rápido está crescendo a altura da pilha quando está a 0 pés de altura? Obs: o volume de um cone é dado por πr h 3, onde r é o raio da base e h sua altura. (b) esteira Pelo enunciado temos: dv dt = 30 Por outro lado, como h = r, ou seja, r = h/, então: E portanto: Pela regra da cadeia: Substituindo: V (h) = πh3 dv dh = πh 4 dv dt = dv dh dh dt 30 = πh 4 dh dt dh dt = 0 πh Logo, quando h=0, temos: dh dt = 0 π 0 = 6 5π Portanto, quando a altura do cone de cascalho for de 0 pés, ela estará crescendo a uma taxa de pés/min, que seria aproximadamente 0, 4 pés/min. 6 5π

6 Página 6 de 8 Cálculo Diferencial e Integral I - MAC38 Respostas da Prova de Final - 0//03(continuação) Questão 5: ( pontos) Uma linha de telefone é pendurada entre dois postes separados a 4m na forma da catenária y = 0 cosh(x/0) 5, em que x e y são medidas em metros e cosh é a função cosseno hiperbólico definida como: cosh(x) = ex + e x. a) Escreva a equação da reta tangente à curva quando ela encontra o poste da direita, isto é, quando x = 7. y = ( 0 ex/0 + e x/0 5 ) = 0 ( e x/0 + e x/0) = 0 ( e x/0 0 e x/0 0 ) = ex/0 e x/0 Seja y = Ax + B a equação da reta t tangente à curva quando x = 7. Logo, A = y (7), ou seja: A = e7/0 e 7/0 Como o ponto P = (7, y(7)) pertence à curva e à reta tangente, podemos substituir os valores de x, y e A na equação da reta tangente e calculá-los: y = Ax + B B = y Ax ( B = 0 e7/0 + e 7/0 ) ( e 7/0 e 7/0 ) 5 (7) B = 3e7/0 + 7e 7/0 + 5 Portanto, a equação da reta t tangente ao gráfico quando x = 7 será: y = ( e 7/0 e 7/0 ) x + 3e7/0 + 7e 7/0 + 5

7 Página 7 de 8 Cálculo Diferencial e Integral I - MAC38 Respostas da Prova de Final - 0//03(continuação) b) Caso essa linha de telefone sofra a ação de uma força muito intensa (como em uma tempestade), ele poderá girar em torno do eixo formado pela linha horizontal (imaginária) que conecta cada uma das pontas desses fios. Considerando que o fio manterá o seu formato, calcule o volume do sólido formado pela rotação desse fio em torno dessa linha imaginária. Note que y(7) = 0 cosh(7/0) 5 Devemos calcular o volume do sólido de rotação sobre o eixo y(7) = 0 cosh(7/0) 5 e não sobre o eixo-x da função dada. Porém, podemos fazer a seguinte adaptação para calcularmos o volume do sólido de revolução a partir da rotação sobre o eixo-x se considerarmos: y = 0 cosh(x/0) 5 (0 cosh(7/0) 5) y = 0 cosh(x/0) 0 cosh(7/0) Calculando o volume do sólido de revolução: 770 cosh(x/0) 0 cosh(7/0)dx Questão 6: ( pontos) Em uma certa cidade a temperatura (em o F) t horas depois das 9 horas foi aproximada pela função T (t) = sen πt (a) Calcule a temperatura média durante o período entre 9h e h. 9 T (t)dt = sin( πt )dt = ( + 3π ) (b) Faça um esboço do gráfico.

8 Página 8 de 8 Bons estudos! Cálculo Diferencial e Integral I - MAC38 Respostas da Prova de Final - 0//03(continuação)

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