Gráficos. Material online: h-p://

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1 Gráficos Material online: h-p://

2 O que f nos diz sobre f?

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4 O que f nos diz sobre f? f (x) < 0 f (x) > 0 f(x) =x 2 f (x) =2x x>0 f (x) > 0 x<0 f (x) < 0

5 a) f (x) 0 em um intervalo A se e somente se f é crescente em A b) f (x) 0 em um intervalo A se e somente se f é decrescente em A Demonstração: Suponha f crescente, ou seja: x 1 <x 2 f(x 1 ) f(x 2 ) x 1,x 2 I x 2 x 1 > 0 f(x 2 ) f(x 1 ) 0 f(x 2 ) f(x 1 ) x 2 x 1 0 f(x) f(x 1 ) f (x 1 )= lim 0 x 1 x x 1 x x + 1 Suponha f (x) 0 em A Tome x 1, x 2 quaisquer em A. Pelo Teorema do Valor Médio, existe c em (x 1,x 2 ) tal que f (c) = f(x 2) f(x 1 ) x 2 x 1 Mas f (c) 0 por hipótese, logo: f(x 2 ) f(x 1 ) x 2 x 1 0 Se x 2 > x 1, teremos f(x 2 ) f(x 1 ).

6 Exemplo: Encontre onde a função ela é decrescente. é crescente e onde = 12x(x 2 x 2) Calculando as raízes x = 1 ± ( 1) ( 2) 2 1 = 1 ± x 1 =2,x 2 = 1 = 1 ± f (x) = 12x(x 2)(x + 1) Vamos estudar o sinal de f (x), ou seja, quando f (x) > 0 e quando f (x) < 0: o decrescente crescente decrescente crescente

7 Exemplo: Encontre onde a função ela é decrescente. é crescente e onde o decrescente crescente decrescente crescente -1 2

8 Relembrando Mas nem todo ponto crítico é ponto extremo! Quando será?

9 Teste da Primeira Derivada: Suponha que c seja um número crítico de uma função contínua f. a) Se o sinal de f mudar de positivo para negativo em c, então f tem um máximo local em c. b) Se o sinal de f mudar de negativo para positivo em c, então f tem um mínimo local em c. c) Se f não mudar de sinal em c (ambos os lados positivos ou negativos), f não tem máximo ou mínimo local em c.

10 Exemplo: Encontre os máximos e mínimos locais de função Vamos detectar onde o sinal de f muda x=-1: negativo para positivo o decrescente crescente decrescente crescente x=2: negativo para positivo x=0: positivo para negativo x = -1: ponto de mínimo mínimo local: f(-1) = 0 x = 0: ponto de máximo x = 2: ponto de mínimo máximo local: f(0) = 5 mínimo local: f(2) =

11 Exemplo: Encontre os máximos e mínimos locais de função: Vamos estudar o sinal de g g (x) < cos(x) < 0 cos(x) < 1 2 2π 3 <x<4π 3 g (x) > cos(x) > 0 0 x< 2π 4π ou <x 2π 3 3 o x = 2π 3 x = 4π 3 crescente decrescente crescente

12 Exemplo: Encontre os máximos e mínimos locais de função: o crescente decrescente crescente x = 2π 3 x = 4π 3 : ponto de máximo : ponto de mínimo máximo local: f mínimo local: f 2π 3 4π 3 3, 83 2, 46

13 Concavidade

14 Concavidade Definição: Se o gráfico de f estiver acima de todas as suas tangentes no intervalo I, então ele é dito côncavo para cima em I. Se o gráfico de f estiver abaixo de todas as suas tangentes em I, é dito côncavo para baixo em I.

15 Concavidade Exemplo CB CC CB CC CC CB

16 Concavidade para cima Inclinação está crescendo f é crescente f é positiva

17 > <

18 Exemplo: A Figura abaixo mostra um gráfico da população de abelhas cipriotas criadas em um apiário. Como cresce a taxa populacional? Quando essa taxa é mais alta? Sobre quais intervalos P é côncavo para cima ou côncavo para baixo? Número de abelhas (em milhares) Taxa populacional equivale à inclinação da reta tangente Taxa populacional começa pequena, e cresce até atingir t = 12 Após t = 12, a taxa populacional diminui Consequentemente, a taxa é máxima em t = 12 Côncavidade para cima: t em (0,12) Côncavidade para baixo: t em (12,18)

19 Definição: Um ponto P na curva y = f(x) é chamado ponto de inflexão se f é contínua no ponto e a curva mudar de côncava para cima para côncava para baixo ou vice-versa.

20 Exemplo: Esboce o gráfico de uma função qualquer que satisfaça as seguintes condições: em em em e em

21 Teste da Segunda Derivada Suponha que f seja contínua na proximidade de c. a) Se f (c) = 0 e f (c) > 0, então f tem um mínimo local em c b) Se f (c) = 0 e f (c) < 0, então f tem um máximo local em c

22 Teste da Segunda Derivada Obs.: Se f (c) = 0, use o teste da primeira derivada. Não é verdade que neste caso f não tem mínimo ou máximo local em c. Ex: f(x) = x 4 f (x) = 4x 3 f (x) = 12x 2 f (0) = 12(0) 2 =0, e f(0) é mínimo local!

23 Exemplo: Examine a curva y = x 4 4x 3 em relação à concavidade, aos pontos de inflexão e mínimos e máximos locais. Use essa informação para esboçar a curva. Pontos críticos: y = 4x 3 12x 2 = x 2 (4x-12) y = 12x 2 24x = x (12x 24) y = 0 x 2 = 0 ou 4x-12 = 0 x = 0 ou x = 3 Teste da segunda derivada: f (0) = 0 f (3) = 36 > 0 f(3) = -27 é um mínimo local Teste da primeira derivada: Se x < 0, y < 0 Se 0 < x < 3, y < 0 f(0) não é mínimo ou máximo local g(x) = 4x-12

24 Exemplo: Examine a curva y = x 4 4x 3 em relação à concavidade, aos pontos de inflexão e mínimos e máximos locais. Use essa informação para esboçar a curva. Concavidade: y = 12x 2 24x = x (12x 24) y = 0 x = 0 ou x = 2 o Concavidade para cima para baixo para cima f(0) = 0 e f(2) = -16 são pontos de inflexão

25 o Concavidade para cima para baixo para cima f(3) = -27 é um mínimo local f(0) = 0 e f(2) = -16 são pontos de inflexão f é decrescente em x < 3 f é crescente em x > 3 y = x 4 4x 3 = x 3 ( x 4) = 0 x = 0 ou 4 pontos de inflexão

26 Exemplo: Use as primeira e segunda derivadas de para esboçar seu gráfico. O domínio de f é f(x) =e 1 x junto com suas assíntotas Vamos analisar o comportamento de f quando x se aproxima de 0: x = 0 é assíntota vertical Assíntotas horizontais: Quando, y = 1 é assíntota horizontal

27 Exemplo: Use as primeira e segunda derivadas de f(x) =e 1 x para esboçar seu gráfico. f (x) = d 1 e 1 x = e 1 x dx x x 2 junto com suas assíntotas e 1 x > 0 x 2 > 0 f (x) < 0, x = 0 Logo, não há ponto crítico nem máximos ou mínimos locais. x 4 > 0 e 1 x > 0 f (x) > 0 x> 1 quando 2 (concavidade para cima) f (x) < 0 quando x< 1 2 (concavidade para baixo) Ponto de inflexão: x = 1 2

28 Exemplo: Use as primeira e segunda derivadas de para esboçar seu gráfico. f(x) =e 1 x junto com suas assíntotas x> 1 2 (concavidade para cima) x< 1 2 (concavidade para baixo) Ponto de inflexão: x = 1 2 x = 0 é assíntota vertical f (x) < 0, x = 0 (f sempre decresce) y = 1 é assíntota horizontal Ponto de inflexão