Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia de Mato Grosso - IFMT Campus Várzea Grande

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1 Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia de Mato Grosso - IFMT Campus Várzea Grande Curso: Técnico em Des. Construção Civil Turma: DCC01A 2017/2 Disciplina: Matemática I Professor: Emerson Dutra Discente: Obs.: Seja cuidadoso com sua argumentação, pois a clareza da sua resposta também será avaliada. Lembre-se, somente serão consideradas corretas respostas acompanhadas de seu respectivo desenvolvimento. Prova Bimestral - 1 bimestre - 27/09/2017 Valor: 6,0 pontos Questão 1. [0.50 ptos] Determine o conjunto domínio das seguintes funções reais e represente na reta real: a. [0.25 ptos] f(x) = 3 + 6x Solução do item (a) x 0 6x 3 x 3 6 x 1 2. b. [0.25 ptos] g(x) = 2x + 6 5x + 15 Solução do item (b). 2x x 6 2x 6 x 3 e 5x x 15 x 3. Questão 2. [0.75 ptos] O gráco abaixo, obtido a partir de dados do Ministério do Meio Ambiente, mostra o crescimento do número de espécies da fauna brasileira ameaçadas de extinção. a. [0.50 ptos] Encontre a equação que expressa o número de espécies ameaçadas de extinção em função do tempo (em anos). b. [0.25 ptos] Se mantida pelos próximos anos a tendência de crescimento mostrada no gráco, qual será o número de espécies ameaçadas de extinção no ano de 2011? 1

2 Solução do item (a). De f (1983) = 239 e f (2007) = 61 construimos o seguinte sistema: 2a = a + b = a b = 239 a = a + b = a + b = a = Substituindo o valor de a em 1983a + b = 239 obtemos: 1983a + b = b = 239 b = 239 b = b = Portanto, teremos f (x) = 37 a Solução do item (b). Temos que f (2011) = 37(2011) f (2011) = 98. Logo o número de espécies ameaçadas de extinção no ano de 2011 será de 98. Questão 3. [0.75 ptos] Considere a função a m dada por f (x) = 3x +. Determine: a. [0.50 ptos] Em que pontos a reta correspondente corta os eixos x e y? b. [0.25 ptos] A função é crescente ou decrescente? Solução do item (a). Temos que a reta corta o eixo x no ponto de coordenada (x1, 0), onde x1 é a raiz da função f (x). Como f (x) = 0 3x + = 0 x = 3, temos que x1 = 3 e assim o ponto será ( 3, 0). Já o ponto de intersecção da reta com o eixo y será o ponto (0, b), ou seja, como b = 2

3 teremos que o ponto terá coordenada (0, ). Solução do item (b). Note que a = 3, ou seja, temos que a < 0, logo a função é decrescente. Questão. [0.50 ptos] Determine os valores de m para que a função quadrática f(x) = (m 1)x 2 + (2m + 3)x + m tenha: i. dois zeros reais e distintos; ii. uma raiz real (raizes reais iguais); iii. raizes complexas (não real). Solução. Calculando o discriminante da equação do 2 grau (m 1)x 2 + (2m + 3)x + m = 0 obtemos: = b 2.a.c = (2m + 3) 2.(m 1).m = m m + 9 m 2 + m = 16m + 9. Temos assim que: (i) x 1, x 2 R e x 1 x 2 para > 0, ou seja, m > (ii) x 1, x 2 R e x 1 = x 2 para = 0, ou seja, m = (iii) x 1, x 2 / R (raízes complexas) para < 0, ou seja, m < Questão 5. [1.0 ptos] Seja ϕ(x) = 1 x + 1, determine: 2 a. [0.25 ptos] a raíz (ou zero) da função; b. [0.25 ptos] a coordenada do ponto de intersecção com o eixo y; c. [0.25 ptos] os intervalos onde ϕ(x) > 0 e ϕ(x) < 0; d. [0.25 ptos] se ϕ(x) é crescente ou decrescente e construa o gráco. Solução do item (a). ϕ(x) = x + 1 = 0 x = 2. Solução do item (b). O ponto será (0, 1). Solução do item (c). ϕ(x) > 0 quando x < 2 e ϕ(x) < 0 quando x > 2. Solução do item (d). Temos que a = 1, ou seja, a < 0 e assim ϕ(x) é decrescente. 2 Questão 6. [1.25 ptos] Seja ϕ(x) = 2x 2 x 3, determine: 3

4 a. [0.25 ptos] as raízes (ou zeros) da função; b. [0.25 ptos] o vértice; c. [0.25 ptos] o esboço do gráco da função e seu eixo de simetria; d. [0.25 ptos] os intervalos onde ϕ(x) > 0 e ϕ(x) < 0; e. [0.25 ptos] se a função admite valor máximo ou mínimo. Qual é esse valor? Solução do item (a). ϕ(x) = 0 2x 2 x 3 = 0 x = ( 1) ± ( 1) 2.2.( 3) 2.2 x = 1 ± 25 x 1 = 3 2 e x 2 = 1 Solução do item (b). Temos que x v = ( 1) 2.2 = 1 e y v =.a = Solução do item (c). Solução do item (d). Temos que ϕ(x) > 0 quando x < 1 e x > 3 2, e ϕ(x) < 0 quando 1 < x < 3 2.

5 Solução do item (e). A função admite valor mínimo, pois a > 0. O valor mínimo é Questão 7. [0.75 ptos] Uma bola é lançada ao ar. Suponham que sua altura h, em metros, t segundos após o lançamento, seja h(t) = t 2 + t + 6. Determine: a. [0.25 ptos] o instante em que a bola atinge a sua altura máxima; b. [0.25 ptos] a altura máxima atingida pela bola; c. [0.25 ptos] quantos segundos depois do lançamento ela toca o solo. Solução do item (a). A bola irá atingir a sua altura máxima h v em t v = 2 = 2 segundos. Solução do item (b). A altura máxima será h v = [16.( 1).6] = 0 = 10 metros. Solução do item (c). De h(x) = 0 t 2 + t + 6 = 0, temos que t = ± e assim obtemos t 1 = 2 10 e t 2 = Note que t 1 < 0 e t 2 > 0, pois 10 3, 16 e assim não faz sentido algum usar t 1. Logo a solução será t 2 = 2 + 3, 16 = 5, 16 segundos. Portanto, em aproximadamente 5, 16 segundos após o lançamento da bola, ela irá tocar novamente o solo. Questão 8. [0.50 ptos] Determine uma função quadrática tal que f( 1) =, f(1) = 2 e f(2) = 1. Solução. a b + c = a b + c = a b + c = a + b + c = b + 0 = b + 0 = 2 a + 2b + c = b 3c = c = 11 Logo, temos que c = 11 3, b = 1 e a = QUESTÕES EXTRAS - [Valor: 1.0 ponto] Extra. [1.0 pto Questão 136 do ENEM 2016] Para uma feira de ciências, dois projéteis de foguetes, A e B, estão sendo construídos para serem lançados. O planejamento é que eles sejam lançados juntos, com o objetivo de o projétil B interceptar o A quando esse alcançar sua altura máxima. Para que isso aconteça, um dos projéteis descreverá uma trajetória parabólica, enquanto o outro irá descrever uma trajetória supostamente retílinea (uma reta). O gráco mostra as alturas alcançadas por esses projéteis em função do tempo, nas simulações realizadas. 5

6 Com base nessas simulações, observou-se que a trajetória do projétil B deveria ser alterada para que o objetivo fosse alcançado. Para alcançar o objetivo da reta passar pelo vértice da parábola, qual deve ser o coeciente angular da reta que representa a trajetória de B? Escreva a equação da reta que passa pelo vértice. Solução. Observe que a reta passa pela origem, logo temos que b = 0 e assim f(x) = ax. Como queremos que a reta passe pelo vértice da parábola, ou seja, pelo ponto (, 16), precisamos determinar o coeciente a de modo que f() = 16 a = 16 a =. Portanto, a função será f(x) = x. 6