Aula 5 Exercícios e Aplicações de Funções Quadráticas. Fabio Licht

Transcrição

1 Aula 5 Exercícios e Aplicações de Funções Quadráticas Fabio Licht

2 Construção do gráfico da função do 2.º grau Passo a passo 1º passo: determinar as raízes da função 2º passo: estudo da concavidade 3º passo: determinar o vértice da parábola 4º passo: ponto de intersecção da função com o eixo y (quando x=0) 5º passo: esboço do gráfico

3 Exercícios Calcule o vértice da parábola y = x 2 4x - 5 o a) (2, 8) b) (1, -8) c) (-1, 8) d) (8, 1) e) (-1, -8) A função f(x) = x 2-4x + k tem o valor mínimo igual a 8. Qual o valor de k? o a) 8 b) 10 c)12 d) 14 e) 16 Se o vértice da parábola dada por y = x 2-4x + m é o ponto (2, 5), então o valor de m é: o a) 0 b) 5 c) -5 d) 9 e) -9 A parábola de equação y = ax 2 passa pelo vértice da parábola y = 4x - x 2. Ache o valor de a: o a) 1 b) 2 c) 3 d) -1 e) nda

4

5 0 y=x 2 -x*

6

7

8

9 A figura abaixo ilustra uma ponte suspensa por estruturas metálicas em forma de arco de parábola. Os pontos A, B, C, D e E estão no mesmo nível da estrada e a distância entre quaisquer dois consecutivos é 25m. Sabendo-se que os elementos de sustentação são todos perpendiculares ao plano da estrada e que a altura do elemento central CG é 20m, a altura de DH é:

10 Veja que a parábola passa no eixo X nos pontos X = -50 e X = 50, pois o enunciado diz que cada pilastra está distante uma da outra 25m. Veja também que é dito que a altura da ponte é 20m, por isso a parábola acima corta o eixo Y no ponto 20.

11 O exercício está pedindo, a coordenada Y do ponto H. Para isso, vamos encontrar a equação da parábola e depois depois descobrir a coordenada. Sabemos que nossa parábola tem as raízes x= -50 e x= 50. Portanto, podemos escrever sua equação como sendo: f(x)=a(x-50)(x+50) Onde o coeficiente a ainda será descoberto utilizando-se o ponto G, que sabemos ter coordenadas (0, 20), ou seja, f(0) = 20. Substituindo estas coordenadas na função acima:

12 f ( 0)= a( 0-50) ( 0+50)= a = 20 a = a = Agora, então, podemos escrever a expressão completa da função que define a ponte: f X ( )= X-50 ( ) X+50 ( )

13 Assim, conseguimos encontrar a coordenada y do ponto H. A coordenada x do ponto H já sabemos, vale x = 25. Vamos substituir x = 25 na expressão acima: f ( 25)= - 1 ( )( 25+50) f ( 25)= - 1 ( -25 )( 75) 125 f 25 ( )= =15

14 2x x+1 Resolva ( ) = x( x+ 5) +3( 12 - x)

15 0 y=x

16 Resolva 2x = 25 2x

17 Exercício Considere um Movimento Uniformemente Variado (MUV). S= S 0 +V 0 t + at 2 Um móvel realiza um MUV obedecendo à função S = 2t 2-18t + 36, sendo s medido em metros e t em segundos. Em que instante o móvel muda de sentido? 2

18 Resolução A equação do movimento é do segundo grau, então ela descreve uma parábola crescente (a > 0), a mudança de sentido do móvel dará no momento em que ele atingir o ponto mínimo da parábola.

19 0 S=2*t 2-18*t

20 Exercício Um canhão atira um projétil, descrito pela função S = -9t t, sendo S expresso em metros e t em segundos. Calcule o ponto máximo de altura atingida pelo projétil.

21 Resolução A função do movimento do projétil descreve uma parábola decrescente (a < 0), o ponto máximo da parábola será a altura máxima atingida pelo projétil.

22 Exercício Para quantos números reais x, o número y, onde y= -x 2 +6x-1, é um número pertencente ao conjunto dos números naturais N? Primeiro precisamos verificar que essa é uma parábola com a concavidade para baixo. Os valores da imagem que pertencem ao conjunto dos Naturais estão compreendidos entre 0 e o máximo da função (valor no vértice).

23 Resolução Logo, temos que o vértice está em (3, 8) Donde podemos dizer que: existem 8 pontos x para cada valor Natural de y (1,2,3,4,5,6,7,8), isso na subida da parábola, e como é uma parábola, existe a mesma quantidade de pontos na descida, com exceção do vértice que é apenas 1. Logo, temos 15 pontos.

24 Exercícios Resolva, calcule o vértice e esboce os gráficos das seguintes funções: ox Resp.: -1 e 1 ox 2-0,8X-1,05 Resp.: -0,7 e 1,5 ox 2-11X+18 Resp.: 9 e 2 ox 2-44X+363 Resp.: 11 e 33

25 Trabalho para prova Um ônibus da cidade de Petrópolis tem capacidade para 80 passageiros, sendo 60 sentados e 20 de pé. Em uma viagem durante a exposição agropecuária entre o centro da cidade e Itaipava o ônibus estava com lotação y. Na primeira parada na 13 de maio 3/7 dos passageiros saíram; em correas entraram 20 passageiros. Devido ao engarrafamento, 5/8 dos passageiros saíram em nogueira e outros 5/8 saíram em Bonsucesso. No final do percurso chegaram 26 passageiros. o o O ônibus estava com superlotação? Quantos passageiros haviam quando o ônibus saiu do terminal de correas?

26 Trabalho para Prova Sabe-se que em uma equação quadrática o valor da A e B são iguais e C é igual a A * B. O gráfico é esboçado abaixo. Nele tem uma reta. Monte a equação da parábola, da reta e determine os pontos onde os a reta e a parábola se cruzam. >> x=-2:0.1:1; >> y=-2.*x.^2-2.*x+4; >> plot(x,y) >> r=-2:1; >> s=r+3;

27 Trabalho para Prova Sabe-se que uma parábola possui vértice na posição (0, 0) e que passa pelos pontos A=(-1, -1), B=(1, -1), C=(-2, -4) e D=(2, -4). Nesta mesma parábola há uma reta que passa pelos pontos CB. Apresente o esboço da parábola e monte as equações da parábola e da reta.

28 Trabalho para Prova A função 5x 2 5x 15 = 0 gera uma parábola com concavidade para cima. No mesmo gráfico, 2 retas são traçadas à partir da origem (coordenada(0,0)). Cada uma das retas tem ângulo igual a 45. Calcule os pontos onde cada uma das retas toca a parábola.

29 Trabalho para Prova Mostre a equação da reta que tem pontos em (3, 4) e (5, 7). Apresente uma equação que crie uma reta perpendicular à essa, cruzando na mediatriz dos pontos. Qual o valor do ponto (x, y) nesta intercessão?