Escola Secundária/3 da Sé-Lamego Ficha de Trabalho de Matemática Ano Lectivo 2002/03 Função quadrática - I 10.º Ano

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1 Escola Secundária/ da Sé-Lamego Ficha de Trabalho de Matemática Ano Lectivo 00/0 Função quadrática - I 0º Ano Nome: Nº: Turma: Qual o rectângulo de maior área que podes construir com um cordel de metro? A resolução pode-se processar por etapas: a) Constrói uma tabela em que figurem, para algumas dimensões possíveis do rectângulo, as correspondentes áreas: Comprimento (cm) Largura (cm) Área (cm ) b) Faz uma representação gráfica com papel e lápis (área em função de uma das dimensões do rectângulo) c) Traduz o problema por uma expressão analítica (área em função do comprimento/largura) d) Introduz na calculadora gráfica a expressão analítica da função e obtém o seu gráfico e) Recorre, por exemplo, ao máximo da função ou às coordenadas do vértice da parábola para confirmar o resultado sugerido pela tabela: o quadrado é o rectângulo de área máxima f) Explora os recursos apresentados na actividade O rectângulo de perímetro constante na página: Uma bola é lançada verticalmente com uma velocidade inicial de m/s As funções h ( t) =,9 t + t +, e v ( t) = 9,8 t + podem ser utilizadas para prever respectivamente a altura (em metros) da bola e a velocidade (em m/s) em cada instante (em segundos) a) Usando as possibilidades que a calculadora gráfica oferece, preenche a tabela seguinte: Tempo (s) Altura (m) Velocidade (m/s) b) Utilizando uma calculadora gráfica, representa graficamente as duas funções c) Qual é a altura máxima que a bola atinge? Em que instante? Qual é a velocidade nesse momento? Que valores toma a velocidade antes desse momento? E depois? d) Qual é o domínio de cada uma das funções? E o contradomínio? e) Qual é a velocidade da bola no momento em que chega ao solo? Como a determinas? f) O gráfico da função que relaciona o tempo com a altura da bola é um «gráfico simétrico» Assinala o eixo de simetria Que implicações ou significado tem esta simetria no problema da realidade que estás a estudar? g) Recapitula a resolução do exercício enquanto exploras os recursos apresentados na actividade A bola na página:

2 Considera as funções definidas por: y = x y = x y = x y = x y = x y = x a) Representa graficamente as funções (Calculadora gráfica ou o Graphmatica, de preferência) b) Analisa os gráficos e regista as tuas conclusões Indica nomeadamente, para cada função: o domínio o contradomínio a existência de eixo de simetria a existência e o número de zeros intervalos de monotonia sentido da concavidade coordenadas do vértice da parábola c) No caso geral, como se relaciona o gráfico da função y = ax com o de Como é que o parâmetro a influencia o gráfico da função? d) Faz um estudo semelhante para as funções do tipo: y = ax + k y = a( x h) y = a( x h) + k y = x? Explicita os efeitos dos parâmetros a, h e k relativamente aos gráficos das funções Explora o seguinte sketch GSP: e) Elabora um relatório com o registo dos gráficos e as conclusões a que chegaste f) Tendo em conta o que aprendeste, descreve como podes obter o gráfico de cada uma das funções a partir do gráfico de f ( x) = x : y = x + y = ( x + ) y = ( x 5) 0, 7 Dado o gráfico de y = f( x), obtém o gráfico de y = f( x) seleccionando uma das cinco curvas e colocando-a no sistema coordenado de forma adequada 5 Os gráficos de quatro funções quadráticas são mostrados na figura ao lado Identifica cada um deles com as funções definidas pelas expressões da lista seguinte (sem fazer a representação gráfica de f, g, h ou i): f( x) = 0, x + x 7 gx ( ) = 0, x x+ 7 hx ( ) = x + x 7 ix ( ) = x + 5

3 6 Considera a função y = ( x )( x + 5) a) Representa graficamente a função b) Observa o gráfico Qual o significado de e -5 relativamente ao gráfico c) Investiga os gráficos das funções da família y = ( x a)( x b) Atribui vários valores, positivos, negativos e zero a a e a b experimenta também o caso em que Utiliza o Graphmatica e o sketch GSP seguinte: d) Qual é o significado de a e b relativamente ao gráfico? e) Define, através das suas expressões analíticas, funções que correspondam aos seguintes gráficos Testa as expressões que encontraste com o Graphmatica a = b 7 Considera as funções f e g, reais de variável real, representadas no gráfico ao lado A função g é definida por: [A] gx ( ) = f( x) [B] gx ( ) = f( x) [C] gx ( ) = f( x) [D] gx ( ) = f( x)

4 SOLUÇÕES a) b) Comprimento (cm) Largura (cm) Área (cm ) Área (cm) Comprimento (cm) c) A = c ( 50 c) a) b) c) Com base nos gráficos e tabelas anteriores, a altura máxima da bola é de aproximadamente 5 m, atingida entre os s e s (os valores exactos são, respectivamente, 669 metros e 60 0 segundos) = Nesse momento a velocidade é nula ( v ( ) = 9,8 + 0 ) Antes desse momento a velocidade é positiva, depois é negativa d) Para domínio das duas funções faz sentido considerar o intervalo de tempo que decorre entre o lançamento da bola e a sua chegada ao solo (supõe-se que é essa a situação) Antes e depois desse intervalo de tempo, as funções consideradas não descrevem o movimento da bola Assim, será D = = h D v 0,, D ' [ 0, 669 ] h = e 0 ' = 669 D, v (como terão aparecido estes 5 valores? Experimenta o Derive)

5 e) Essa velocidade pode ser calculada conhecendo o instante de chegada ao solo (extremo superior do domínio, isto é, a maior solução da equação h ( t) = 0 ) e usando a expressão v ( t) = 9,8 t +, ou o gráfico (ver d)) f) Esse «eixo de simetria» é a recta de equação t = 60 (Esse simetria é incompleta, visto que a bola na queda chega ao solo) O tempo que a bola leva para chegar de uma determinada altura até à altura máxima é igual ao tempo que leva para descer desde a altura máxima até essa altura Por exemplo, a bola é lançada à altura de, m e leva tanto tempo a subir até à altura máxima como leva a descer daí até novamente à altura de, m f) y = x Uma dilação de factor segundo u r = (0, ), seguida de uma simetria relativamente ao eixo Ox + y = ( x + ) y = ( x 5) 0, 7 Uma translação associada ao vector v r Uma dilação de factor segundo = (, 0) u r = (0, ), seguida de uma translação associada ao vector w r = (5 0,7) Se considerarmos a função y = f( x) e a compararmos com y = f( x) concluiremos que a ª apresenta a mesma imagem da ª para objectos que são metade dos considerados na ª Significa, portanto, que a primeira função apresenta uma maior taxa de decrescimento/crescimento que a ª Desta forma, o gráfico de y = f( x) será a ª parábola a contar da esquerda, que deve ser colocada no referencial com o vértice no ponto de coordenadas (0, ) Finalmente, o gráfico de y = f( x) obtém-se deste último por uma translação associada ao vector u r = ( 0, ) 5 Basta ter em consideração o sentido da concavidade e o grau de crescimento/ decrescimento da função: f( x) = 0, x + x 7 a = 0, > 0, logo concavidade voltada para cima gx ( ) = 0, x x+ 7 a = 0, < 0, logo concavidade voltada para baixo hx ( ) = x + x 7 a = > 0, logo concavidade voltada para cima ix ( ) = x + 5 a = < 0, logo concavidade voltada para baixo f h 6 e) (A) y = ( x + 5) g j A função é do tipo y = a( x + 5), pois possui apenas um zero: x = 5 Dado que o ponto de coordenadas (-, ) é um ponto do seu gráfico, vem = a ( + 5) a = (B) y = ( x )( x + ) A função é do tipo y = a( x )( x + ), pois possui dois zeros: x = e x = Dado que o ponto de coordenadas (-, -) é um ponto do seu gráfico, vem = a ( )( + ) a = (C) y = ( x + )( x 5) A função é do tipo y = a( x + )( x 5), pois possui dois zeros: x = e x = 5 Dado que o ponto de coordenadas (0,5) é um ponto do seu gráfico, vem,5 = 0a a = (D) y = ( x ) A função é do tipo y = a( x ), pois possui apenas um zero: x = Dado que o ponto de coordenadas ( -) é um ponto do seu gráfico, vem = a ( ) a = 7 Como g assume quer valores positivos quer valores negativos, então as respostas A e D são incorrectas Como as imagens de zero são de sinais contrários pelas funções f e g, então a resposta B também é incorrecta Assim, sendo uma das respostas correcta, ela será a resposta C (p e) O Professor 5