PROFESSOR: ALEXSANDRO DE SOUSA

Transcrição

1 E.E. Dona Antônia Valadares MATEMÁTICA ENSINO MÉDIO - 1º ANO Função Quadrática PROFESSOR: ALEXSANDRO DE SOUSA

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3 Função Quadrática Há várias situações do dia-a-dia em que a função quadrática está presente. Engenharia Arquitetura Física Biologia Esporte Indústria/ comércio Comunicações

4 Natureza

5 Esporte

6 Nas Comunicações Antena de Satélite

7 Na Arquitetura Forno Solar França Murphy Center at Asphalt Green - EUA Ponte 25 de Abril - Portugal Ponte em concreto armado

8 FUNÇÃO QUADRÁTICA Seja a, b e c números reais e a 0. A função f :R R f(x) ax² bx c tal que para todo x Є R, é chamada função polinomial do 2º grau ou função quadrática. a) y = x² + 3x + 2 ( a=1; b=3; c=2 ) b) y = x² ( a=1; b=0; c=0 ) c) y = x² - 4 ( a=1; b=0; c=-4 ) A função que relaciona a área A de um quadrado com a medida x do lado é dada por 2 f ( x) x x 2 x

9 GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO QUADRÁTICA O gráfico de uma função quadrática é uma parábola. Imagem: Kingda Ka / Dusso Janlade / GNU Free Documentation License Podemos visualizar uma parábola em um parque de diversões, simplesmente olhando para a montanha russa.

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11 Concavidade da parábola Quando a > 0, a concavidade da parábola é voltada para cima. Quando a < 0, a concavidade da parábola é voltada para baixo.

12 Raízes da função quadrática Chama-se zeros ou raízes da função polinomial do 2º grau f ( x) ax² bx c, a 0, os números reais x tais que f(x) = 0. Então as raízes da função as soluções da equação do 2º grau, as quais são dadas pela chamada fórmula de Bhaskara: b Δ x b ± b²- 4.a.c 2a x 2.a sendo: Δ b 2 4.a.c

13 Observação A quantidade de raízes reais de uma função quadrática depende do valor obtido para o radicando, chamado discriminante, a saber: quando quando quando é positivo, há duas raízes reais e distintas; é zero, há só uma raiz real; é negativo, não há raiz real.

14 Δ=0 Δ>0 Δ<0 a>0 a<0 Δ=0 Δ>0 Δ<0

15 Ponto de intersecção da parábola com o eixo 0y Para obter esse ponto, atribuímos o valor zero à variável x da equação da parábola, f ( x) ax² bx c (0, c ) y a.0 2 b. 0 c c Logo, o ponto de intersecção da parábola com o eixo oy é (0, c).

16 EXEMPLO DE GRÁFICO: Construa o gráfico da função y= x² : Como na função do 1º grau, basta atribuir valores reais para x, obtemos seus valores correspondentes para y. x Y= x ² B ( x) x ² A A V B

17 Exemplo: f(x) = x 2 2x3 X Y

18 Coordenadas do vértice da parábola Quando a > 0, a parábola tem concavidade voltada para cima e um ponto de mínimo V; quando a < 0, a parábola tem concavidade voltada para baixo e um ponto de máximo V. Em qualquer caso, as coordenadas de V são a>0 b ( 2a 4a, y ) 4a. Veja os gráficos: a<0 b 2a x y b 2a 4a x

19 Exemplo: y x 6x 5 2 O vértice da parábola de equação é dado por V X, Y, V V em que: x v e y v Portanto, o vértice da parábola é o ponto v(3, -4)

20 Im = Imagem O conjunto-imagem Im da função, a 0 é o conjunto dos valores que y pode assumir. Há duas possibilidades: 1ª - quando a > 0, 4a { R } f ( x) ax² bx c 2ª quando a < 0, Im = { R } 4a a > 0 a < 0 y y Xv xx Yv V x x Yv V Xv x

21 Outro método para construir o gráfico da função quadrática Construir o gráfico da função f(x) = x 2 6x + 8, com x e y IR. 1º passo: determinar as raízes da função x 2 a = 1 6x + 8 = 0 b = -6 c = 8 = (-6) = = 4 x ( 6) x' 4 x'' 2 2º passo: estudo da concavidade a = +1 concavidade para cima

22 3º passo: determinar o vértice da parábola V x V x b 2a -(-6) 2(1) V y V y 4a -(4) 4(1) V = (3, -1) V V x x x' x'' V y = V y = V y = -1

23 4º passo: ponto de intersecção da função com o eixo y (quando x=0) f(x) = x 2-6x + 8 f(0) = f(0) = 8 Temos então o ponto (0,8)

24 5º passo: esboço do gráfico f(x) = x 2 6x + 8 Termo independente Raízes da função Vértice

25 Máximo e mínimo da função quadrática

26 Questões como essas, em que se procura determinar o valor máximo ou o valor mínimo, são estudadas em matemática pela aplicação dos conceitos de máximo e mínimo de funções. Daremos início ao estudo desses conceitos, tratando, por enquanto, apenas de funções quadráticas. É bom saber também que cálculos de máximos e mínimos, em geral, têm várias aplicações. Como você pode perceber, o pai de Calvin não sabia desse fato.

27 Nas questões em que é pedido ou se faz referência ao valor máximo ou mínimo de uma função do 2º grau, temos que descobrir O que a questão está pedindo é Xv ou Yv? O valor de Yv = -Δ/4a, é o próprio valor máximo, se a<0, ou mínimo da função, se a>0. Já o valor de Xv = -b/2a, é o que torna o valor de Yv máximo ou mínimo. Vejamos em dois exemplos: 1. Uma pedra é atirada para cima, com velocidade inicial de 40 m/s, do alto de um edifício de 100m de altura. A altura (h) atingida pela pedra em relação ao 2 solo, em função do tempo (t) é dada pela expressão: h( t) 5t 40t 100. Qual a altura máxima alcançada pela bola? Como é pedido o valor máximo de h, que representa y na função dada, calculamos Yv. Perceba que a pergunta é direta: qual a altura máxima. R. 180m 2. O custo C, em reais, para se produzir n unidades de determinado produto é dado por: C = n + n 2. Quantas unidades deverão ser produzidas para se obter o custo mínimo? Como é pedido o que torna o valor da função mínimo, calculamos Xv. Perceba também que a pergunta é mais explicada e longa: Quantas unidades deverão ser produzidas para... R. 50 unidades

28 Estudo da Variação do Sinal de uma Função Quadrática Para estudar a variação do sinal de uma função quadrática precisamos conhecer as suas raízes e também se a parábola tem a sua concavidade voltada para cima ou para baixo. 2 Vamos analisar o gráfico da função : f ( x) x 4x 3

29 { x R /1 x 3} f ( x) 0 { x R / x 1 ou x 3} f ( x) 0 { xr / x 1 ou x 3} f ( x) 0 Para x < 1 ou x > 3, vemos no gráfico que f(x) > 0, já que estes pontos estão acima do eixo das abscissas. Para x = 1 ou x = 3 temos que a função é nula, isto é, f(x) = 0. Para 1 < x < 3 vemos no gráfico que f(x) < 0, visto que estes pontos estão abaixo do eixo das abscissas.

30 Inequações polinomiais do 2º grau Uma inequação do 2 grau pode ser escrita numa das seguintes formas: ax² + bx + c > 0; ax² + bx + c < 0; ax² + bx + c 0; ax² + bx + c 0. Para resolvermos uma inequação do Segundo Grau devemos estudar o sinal da função correspondente a equação: 1. Igualar a sentença do 2 grau a zero; 2. Localizar (se existir) as raízes da equação no eixo x. 3. Estudar o sinal da função correspondente. A resolução de uma inequação polinomial de 2º grau é fundamentada no estudo da variação de sinal de uma função quadrática, conforme mostra os exercícios resolvidos a seguir:

31 1. Resolva a inequação -x² Solução: -x² + 4 = 0. x² 4 = 0. x = 2 x = x - S { xr 2 x 2}

32 ATIVIDADES DE REVISÃO 1. Há dois números em que o triplo do quadrado é igual a 15 vezes esses números. Quais números são esses? Resolução: 3x 2 15x 3x 2 15x 0 ( 15) I x x ( 15) II x

33 2. A representação cartesiana da função é a parábola abaixo. Tendo em vista esse gráfico, podemos afirmar que: a) a<0, b<0 e c>0 b) a>0, b>0 e c<0 c) a>0, b>0 e c>0 d) a<0, b>0 e c<0 e) a<0, b>0 e c>0

34 Isto é apenas análise de coeficientes: - A concavidade da parábola está para baixo, portanto, o coeficiente "a" é negativo (a<0); - A parábola corta o eixo Y (eixo vertical) em um ponto acima da origem, logo "c" é positivo (c>0); -Após o ponto de corte do eixo Y, a parábola sobe, então "b" é positivo; resposta certa letra "E".