Função de 2º Grau. Parábola: formas geométricas no cotidiano

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1 1 Função de 2º Grau Parábola: formas geométricas no cotidiano Toda função estabelecida pela lei de formação f(x) = ax² + bx + c, com a, b e c números reais e a 0, é denominada função do 2º grau. Generalizando temos: As funções do 2º grau possuem diversas aplicações no cotidiano, principalmente em situações relacionadas à Física envolvendo movimento uniformemente variado, lançamento oblíquo, etc.; na Biologia, estudando o processo de fotossíntese das plantas; na Administração e Contabilidade relacionando as funções custo, receita e lucro; e na Engenharia Civil presente nas diversas construções. A representação geométrica de uma função do 2º grau é dada por uma parábola, que de acordo com o sinal do coeficiente a pode ter concavidade voltada para cima ou para baixo. As raízes de uma função do 2º grau são os pontos onde a parábola intercepta o eixo x. Dada a função f(x) = ax² + bx + c, se f(x) = 0, obtemos uma equação do 2º grau, ax² + bx + c = 0, dependendo do valor do discriminante? (delta), podemos ter as seguintes situações gráficas:

2 2? > 0, a equação possui duas raízes reais e diferentes. A parábola intercepta o eixo x em dois pontos distintos.? = 0, a equação possui apenas uma raiz real. A parábola intercepta o eixo x em um único ponto.? < 0, a equação não possui raízes reais. A parábola não intercepta o eixo x. Raízes da Função de 2º Grau Determinar a raiz de uma função é calcular os valores de x que satisfazem a equação do 2º grau ax² + bx + c = 0, que podem ser encontradas através do Teorema de Bháskara: Número de raízes reais da função do 2º grau Dada a função f(x) = ax² + bx + c, existirão três casos a serem considerados para a obtenção do número de raízes. Isso dependerá do valor do discriminante Δ. 1º caso Δ > 0: A função possui duas raízes reais e distintas, isto é, diferentes.

3 3 2º caso Δ = 0: A função possui raízes reais e iguais. Nesse caso, dizemos que a função possui uma única raiz. 3º caso Δ < 0: A função não possui raízes reais. Soma e produto das raízes Seja a equação, ax² + bx + c = 0, temos que: Se Δ 0, a soma das raízes dessa equação é dada por e o produto das raízes por. De fato, x e x são as raízes da equação, por isso temos: Soma das raízes Produto das raízes

4 4 Efetuando a multiplicação, temos: Substituindo Δ por b² 4ac, temos: Após a simplificação, temos: Gráfico da Função de 2º Grau Uma função do 2º grau é definida pela seguinte lei de formação f(x) = ax² + bx + c ou y = ax² + bx + c, onde a, b e c são números reais e a 0. Sua representação no plano cartesiano é uma parábola que, de acordo com o valor do coeficiente a, possui concavidade voltada para cima ou para baixo. A função do 2º grau assume três possibilidades de resultados ou raízes, que são determinadas quando fazemos f(x) ou y igual a zero, transformando a função numa equação do 2º grau, que pode vir a ser resolvida por Bháskara.

5 5 Gráfico da função Coeficiente a > 0, parábola com a concavidade voltada para cima Coeficiente a < 0, parábola com a concavidade voltada para baixo? > 0 A equação do 2º grau possui duas soluções distintas, isto é, a função do 2º grau terá duas raízes reais e distintas. A parábola intersecta o eixo das abscissas (x) em dois pontos.? = 0 A equação do 2º grau possui uma única solução, isto é, a função do 2º grau terá apenas uma raiz real. A parábola irá intersectar o eixo das abscissas (x) em apenas um ponto.? < 0 A equação do 2º grau não possui soluções reais, portanto, a função do 2º grau não intersectará o eixo das abscissas (x). Pontos notáveis do gráfico de uma função do 2º grau

6 6 O vértice da parábola constitui um ponto importante do gráfico, pois indica o ponto de valor máximo e o ponto de valor mínimo. De acordo com o valor do coeficiente a, os pontos serão definidos, observe: Quando o valor do coeficiente a for menor que zero, a parábola possuirá valor máximo. Quando o valor do coeficiente a for maior que zero, a parábola possuirá valor mínimo. Outra relação importante na função do 2º grau é o ponto onde a parábola corta o eixo y. Verifica-se que o valor do coeficiente c na lei de formação da função corresponde ao valor do eixo y onde a parábola o intersecta. Sinais da Função de 2º Grau

7 7 Como determinar o sinal da função? Estudar o sinal de uma função, é determinar para quais valores reais de x a função é positiva, negativa ou nula. A melhor maneira de analisar o sinal de uma função é através do gráfico, pois permite-nos uma avaliação mais ampla da situação. Vamos analisar os gráficos das funções a seguir, de acordo com a sua lei de formação. Observação: para construirmos o gráfico de uma função do 2º grau precisamos determinar o número de raízes da função, e se a parábola possui concavidade voltada para cima ou para baixo. = 0, uma raiz real. > 0, duas raízes reais e distintas < 0, nenhuma raiz real. Para determinar o valor de e os valores das raízes, utilize o método de Bháskara. Coeficiente a > 0, parábola com a concavidade voltada para cima Coeficiente a < 0, parábola com a concavidade voltada para baixo Exemplo 1 y = x² 3x + 2

8 8 x² 3x + 2 = 0 Aplicando Bháskara = ( 3)² 4 * 1 * 2 = 9 8 = 1 A parábola possui concavidade voltada para cima em virtude de a > 0 e duas raízes reais e distintas. Análise do gráfico x < 1 ou x > 2, y > 0 Valores entre 1 e 2, y < 0 x = 1 e x = 2, y = 0 Exemplo 2 y = x² + 8x + 16 x² + 8x + 16 = 0 Aplicando Bháskara = 8² 4 * 1 * 16 = = 0 A parábola possui concavidade voltada para cima, em virtude de a > 0 e uma única raiz real.

9 9 Análise do gráfico x = 4, y = 0 x 4, y > 0 Exemplo 3 y = 3x² 2x + 1 3x² 2x + 1 = 0 Aplicando Bháskara = ( 2)² 4 * 3 * 1 = 4 12 = 8 A parábola possui concavidade voltada para cima em decorrência de a > 0, mas não possui raízes reais, pois < 0. Análise do gráfico A função será positiva para qualquer valor real de x. Exemplo 4 y = 2x² 5x + 3 2x² 5x + 3 = 0 Aplicando Bháskara = ( 5)² 4 * ( 2) * 3 = = 49

10 10 A parábola possui concavidade voltada para baixo em face de a< 0 e duas raízes reais e distintas. Análise do gráfico x < 3 ou x > 1/2, y < 0 Valores entre 3 e 1/2, y > 0 x = 3 e x = 1/2, y = 0 Exemplo 5 y = x² + 12x 36 x² + 12x 36 = 0 Aplicando Bháskara = 12² 4 * ( 1) * ( 36) = = 0 A parábola possui concavidade voltada para baixo em decorrência de a < 0 e uma única raiz real.

11 11 Análise do gráfico x = 6, y = 0 x 6, y < 0 Por Marcos Noé Graduado em Matemática Equipe Brasil Escola Fonte:

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