f x x x f x x x f x x x f x x x

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1 Página 1 de 7 I. FUNÇÃO DO º GRAU (ou QUADRÁTICA) 1. Definição Chama-se função do º grau (ou função quadrática) a toda função do tipo onde a, e c são números reais e a 0. São exemplos: f ( x) ax x c = + +, f x x x f x x x f x x x f x x x ( ) = ( ) = + ( ) = + ( ) = Gráfico cartesiano de uma função do º grau O gráfico de uma função quadrática é uma curva denominada paráola. Para construir, corretamente, o gráfico de uma função quadrática, vamos atriuir alguns valores à variável x e determinar as respectivas imagens y, assinalando os pontos otidos ( x, y ) num plano cartesiano. Como o domínio de uma função do º grau é, em geral, o conjunto R, não será possível representar o seu gráfico integralmente. Vamos então representar alguns de seus pontos, tentar descorir a forma do gráfico e verificar se há alguma irregularidade. Exemplo: 1) Construir o gráfico da função y = x. Vamos atriuir pontos a x para saer como o gráfico da função se comportará. x y ( x, y) 3 9 ( 3,9) 4 (, 4) 1 1 ( 1,1) 0 0 (0, 0) 1 1 (1,1) 4 (, 4) 3 9 (3, 9) Unindo os pontos, otemos o gráfico da função.

2 Página de 7.1. Concavidade da paráola A paráola representativa da função quadrática cima ou para aixo, de acordo com: Se a > 0, a concavidade da paráola será voltada para cima. y = ax + x + c pode ter concavidade voltada para Se a < 0, a concavidade da paráola será voltada para aixo... Zeros da função quadrática Os zeros ou raízes de uma função quadrática são os valores do domínio para os quais f ( x ) = 0 e são otidos resolvendo a equação do º grau associada à função do º grau. Geometricamente, os zeros ou raízes de uma função polinomial do º grau são as ascissas dos pontos em que a paráola intercepta o eixo x. 1) Oserve o gráfico ao lado. Ele representa a função f ( x) = x x 3. 3 f ( x) = 0 x x 3 = 0 x = 1 Calculando os zeros dessa função, acharemos valores iguais a 3 e a 1. Note que, esses valores correspondem aos pontos onde a paráola toca o eixo x no gráfico da função. A seguir, aprenderemos a esoçar o gráfico com suas devidas propriedades.

3 Página 3 de 7.3. Coordenadas do vértice Para a construção do gráfico da função quadrática e outras aplicações que veremos mais adiante, é importante determinar as coordenadas do vértice da paráola. Seja uma função quadrática da forma y = ax + x + c, denotamos por V o ponto chamado de vértice da paráola representativa da função quadrática e que é dado por: V =, a 4a Oservações: Se a função possui uma raiz dupla, o seu gráfico corta o eixo x num único ponto que, evidentemente, será o vértice. Se a função não possui raízes reais, a paráola não corta o eixo x. no entanto, mesmo nesse caso, continuam valendo as fórmulas que determinam o vértice da paráola. A demonstração desse fato pode ser feita tomando-se dois pontos da paráola que sejam eqüidistantes do eixo de simetria. 1) Determine as coordenadas do vértice V da paráola que representa a função f ( x) = 5x + 3x 1. Resolução: Na função f ( x) = 5x + 3x 1, temos que a c = 5, = 3, = 1 e = 3 4( 5)( 1) = 9 0 = 11. Veja: 3 3 xv = = = a ( 5) 10 y v ( 11) 11 = = = 4a 4( 5) Logo, o vértice é o ponto V =, ) Determinar a e de modo que o gráfico da função definida por ponto (4, 5). y ax x = + 9 tenha o vértice no Pelos dados do prolema, x v = 4. Como xv =, temos : = 4 = 8 a = 8a a a

4 Página 4 de 7 Sustituindo na função dada, otemos: y ax x a a = = 4 + ( 8 ) 4 9 Daí, 16a 3a 9 = 5 16a = 16 a = 1 Como = 8 a = 8 1 = 8.4. Determinação do conjunto imagem da função quadrática Como já saemos que a função quadrática y = ax + x 9 é definida para todo x real, podemos utilizar as coordenadas do vértice para oter o conjunto imagem dessa função. Assim: a> 0 Im = y R y, x R 4a a< 0 Im = y R y, x R 4a.5. Crescimento e decrescimento de uma função quadrática Podemos analisar o crescimento e o decrescimento de uma função quadrática da seguinte forma: a > 0 a < 0 f ( x) é crescente para x x R f ( x) é crescente para x R x a a f ( x) é decrescente para x x R f ( x) é decrescente para x R x a a.6. Estudo do sinal da função quadrática Estudar o sinal de uma função significa determinar os valores reais de x que tornam a função positiva, negativa ou nula.

5 Página 5 de 7 a > 0 a < 0 > 0 = 0 < 0 II. INEQUAÇÃO DO º GRAU 1. Definição Inequação é toda sentença matemática aerta por uma desigualdade. A inequação do segundo grau com uma variável pode ser escrita por uma das seguintes formas: ax x c 0 ax x c 0 ax x c 0 ax x c 0 a c a + + >, + + <, + + ou + + onde,, R e 0.. Resolvendo uma inequação do º grau Resolver uma inequação do º grau significa determinar os valores reais de x que satisfazem a inequação dada. Assim, por exemplo, na inequação x + 5x 6 0 temos que determinar todos os valores reais de x que tornem a expressão x + 5x 6 positiva. Podemos então estudar a variação do sinal da função f ( x) = x + 5x 6, dando a resposta de acordo com o sinal exigido na inequação.

6 Página 6 de 7 1) Resolver a inequação x + 5x 6 0. Vamos estudar os sinais da função f ( x) = x + 5x 6. a = < 0 concavidade para aixo + = x 5x 6 0 = 3 < 0 não possui raízes reais Podemos oservar que nunca acontecerá f ( x ) > 0, portanto x R. Logo, S =. ) Resolver a inequação x Vamos estudar os sinais da função f ( x) = x + 1. a = 1 > 0 concavidade para aixo x + = 1 0 x = 1 ou x = 1 Como devemos ter f ( x ) < 0, então x 1 ou x 1. Logo, S= { x x 1 ou x 1} R. 3. Sistemas de inequações do º grau Há alguns sistemas de inequações que apresentam uma ou mais inequações do º grau. Para resolver esses sistemas devemos resolver cada inequação separadamente e depois achar a intersecção das respectivas soluções. 1) Resolver o sistema de inequações: x + 8 x 6x x + 5 < 0 x + 8 x 6 x (I) x + 5 < 0 (II)

7 Página 7 de 7 Resolvendo (I): = = x x x x x 8 ' 4 6 x = = ± x = = 4 x" = = Resolvendo (II): x + 5 < 0 x < 5 Fazendo a intersecção entre as soluções de (I) e (II), oteremos: Logo, S= { x x< 5} R.