Universidade Católica de Petrópolis. Matemática 1. Funções Polinomiais Aula 5: Funções Quadráticas v Baseado nas notas de aula de Matemática I
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- Ricardo Chaves de Barros
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1 Universidade Católica de Petrópolis Matemática 1 Funções Polinomiais Aula 5: Funções Quadráticas v. 0.2 Baseado nas notas de aula de Matemática I da prof. Eliane dos Santos de Souza Coutinho Luís Rodrigo de O. Gonçalves luis.gonçalves@ucp.br Petrópolis, 15 de Setembro de 2016
2 Sumário 1 Função Quadrática Definição Principais pontos da parábola Estudo do sinal da função Aplicações Exercícios
3 Definição
4 Definição 2 Dados três números reais a, b e c, com a 0 Denominamos função quadrática (ou do 2 0 grau) à função: f (x) = ax 2 + bx + c Em que: 1. a, b e c são números reais; 2. x é a variável independente; 3. y é a variável dependente
5 Definição 3 O gráfico da função quadrática é uma curva denominada parábola. Cuja concavidade é definida em função do valor de a, ou seja, quando: a > 0 : concavidade voltada para cima - CVC a < 0: concavidade voltada para baixo - CVB
6 Principais Pontos da Parábola
7 Principais Pontos de uma parábola - Interseção com o eixo x 4 A intercessão com o eixo x corre quando y = 0 Neste caso teremos: ax 2 + bx + c = 0 Para o calculo de x devemos utilizar a formula: Sendo: x = b ± 2a x1 = b + 2a x2 = b 2a Onde: = b 2 4ac
8 Principais Pontos de uma parábola - Interseção com o eixo x 5 Interseção com o eixo x - > 0 Quando > 0, a parábola intercepta o eixo x em dois pontos x 1 e x 2
9 Principais Pontos de uma parábola - = 0 6 Interseção com o eixo x Quando = 0, a parábola tangencia o eixo no ponto x = b 2a
10 Principais Pontos de uma parábola - < 0 7 Interseção com o eixo x Quando < 0 não possui ponto em comum com o eixo x
11 Principais Pontos de uma parábola 8 Interseção com o eixo y e o vértice Cruzamento com o eixo y É o ponto correspondente à x = 0 y = c O vértice da parábola é definido pelo par de pontos: Abscissa: xv = b 2a Ordenada: yv = 4a
12 Principais Pontos de uma parábola - Domínio e Imagem 9 Domínio e Imagem Domínio: x R { a > 0, Im= yv, Imagem = a < 0, Im=, y v
13 Principais Pontos de uma parábola - Domínio e Imagem 10 Dada a função y = x 2 6x + 8, determine: 1. Concavidade: 2. Valor de: a = b = c = 3. Cruzamento com o eixo x 4. Cruzamento com o eixo y 5. Vértice da parábola 6. Representação Gráfica 7. Domínio 8. Imagem
14 Principais Pontos de uma parábola 11 Dada a função y = x 2 6x + 8, determine: 1. Concavidade:
15 Principais Pontos de uma parábola 11 Dada a função y = x 2 6x + 8, determine: 1. Concavidade: 1.1 Como a = 1; a > Logo, a concavidade está voltada para cima (CVC) 2. Valor de:
16 Principais Pontos de uma parábola 11 Dada a função y = x 2 6x + 8, determine: 1. Concavidade: 1.1 Como a = 1; a > Logo, a concavidade está voltada para cima (CVC) 2. Valor de: a = 1 b = 6 c = 8
17 Principais Pontos de uma parábola Cruzamento com o eixo x Como: x = b ± 2a Sendo: = b 2 4ac Temos que : =??
18 Principais Pontos de uma parábola Cruzamento com o eixo x Como: x = b ± 2a Sendo: = b 2 4ac Temos que : =?? = (6) 2 4(1)(8) = = 4
19 Principais Pontos de uma parábola Cruzamento com o eixo x Logo: x =??
20 Principais Pontos de uma parábola Cruzamento com o eixo x Logo: x =?? x = b ± 2a = ( 6) ± 4 2(1) = 6 ± 2 2
21 Principais Pontos de uma parábola Cruzamento com o eixo x Consequentemente: x1 e x 2 =??
22 Principais Pontos de uma parábola Cruzamento com o eixo x Consequentemente: x1 e x 2 =?? x 1 = = 8 2 = 4
23 Principais Pontos de uma parábola Cruzamento com o eixo x Consequentemente: x1 e x 2 =?? x 1 = = 8 2 = 4 x 2 = = 4 2 = 2
24 Principais Pontos de uma parábola Cruzamento com o eixo y Fazendo: x = 0
25 Principais Pontos de uma parábola Cruzamento com o eixo y Fazendo: x = 0 Obtemos: y = c y = 8 6. Vértice da Parábola
26 Principais Pontos de uma parábola Cruzamento com o eixo y Fazendo: x = 0 Obtemos: y = c y = 8 6. Vértice da Parábola x v = b 2a = (6) 2(1) = 3
27 Principais Pontos de uma parábola Cruzamento com o eixo y Fazendo: x = 0 Obtemos: y = c y = 8 6. Vértice da Parábola x v = b 2a = (6) 2(1) = 3 y v = 4a = 4 4(1) = 1
28 Principais Pontos de uma parábola Representação Gráfica 8. Domínio:
29 Principais Pontos de uma parábola Representação Gráfica 8. Domínio: D =, + 9. Imagem:
30 Principais Pontos de uma parábola Representação Gráfica 8. Domínio: D =, + 9. Imagem: Im = 1, +
31 Estudo do sinal da função
32 Estudo do Sinal da Função 17 Quando: a < 0
33 Estudo do Sinal da Função 17 Quando: a < 0 y > 0 x1 < X < x 2 y = 0 X = x1 ou X = x 2 y < 0 X < x1 ou X > x 2
34 Estudo do Sinal da Função 17 Quando: a < 0 Quando: a > 0 y > 0 x1 < X < x 2 y = 0 X = x1 ou X = x 2 y < 0 X < x1 ou X > x 2
35 Estudo do Sinal da Função 17 Quando: a < 0 Quando: a > 0 y > 0 x1 < X < x 2 y = 0 X = x1 ou X = x 2 y < 0 X < x1 ou X > x 2 y < 0 x1 < X < x 2 y = 0 X = x1 ou X = x 2 y > 0 X < x1 ou X > x 2
36 Estudo do sinal da função - Exemplo 18 Vamos estudar o sinal da função y = x 2 + 9
37 Estudo do sinal da função - Exemplo 18 Vamos estudar o sinal da função y = x Neste caso: Temos a concavidade voltada para baixo, pois a = 1 a < 0 Só precisamos encontrar os pontos de intersecção com o eixo x
38 Estudo do sinal da função - Exemplo 18 Vamos estudar o sinal da função y = x Neste caso: Temos a concavidade voltada para baixo, pois a = 1 a < 0 Só precisamos encontrar os pontos de intersecção com o eixo x Fazendo y = 0, temos:
39 Estudo do sinal da função - Exemplo 18 Vamos estudar o sinal da função y = x Neste caso: Temos a concavidade voltada para baixo, pois a = 1 a < 0 Só precisamos encontrar os pontos de intersecção com o eixo x Fazendo y = 0, temos: x = 0 x 2 = 9 x 2 = 9 x = ±3
40 Estudo do sinal da função - Exemplo 19 Desta forma temos o gráfico:
41 Estudo do sinal da função - Exemplo 19 Desta forma temos o gráfico: Observando o gráfico concluímos que: 1. y > 0 para: 3 < x < 3 2. y < 0 para: x < 3 ou x > 3 3. y = 0 para: x = 3 ou x = 3
42 Função Quadrática - Aplicações
43 Aplicações - Exemplo 1 20 A função demanda de um produto é dada por: p = 20 x; e a função custo é C = x. Vamos obter: 1. A função receita e o preço que a maximiza
44 Aplicações - Exemplo 1 20 A função demanda de um produto é dada por: p = 20 x; e a função custo é C = x. Vamos obter: 1. A função receita e o preço que a maximiza R = p.x = (2x x)x = 20x x 2 R = x
45 Aplicações - Exemplo 1 21 Calculando os pontos da função e representando graficamente, temos:
46 Aplicações - Exemplo 1 21 Calculando os pontos da função e representando graficamente, temos: A quantidade que maximiza é
47 Aplicações - Exemplo 1 21 Calculando os pontos da função e representando graficamente, temos: A quantidade que maximiza é x = 10 Já o preço máximo é:
48 Aplicações - Exemplo 1 21 Calculando os pontos da função e representando graficamente, temos: A quantidade que maximiza é x = 10 Já o preço máximo é: p = 20 x = = 10 R$10,00
49 Aplicações - Exemplo 2 22 A função demanda de um produto é dada por: p = 20 x; e a função custo por: C = x. Vamos obter: 1. A função lucro e o preço que maximiza
50 Aplicações - Exemplo 2 22 A função demanda de um produto é dada por: p = 20 x; e a função custo por: C = x. Vamos obter: 1. A função lucro e o preço que maximiza L = R C = 20x x 2 (30 + 3x) L = x x 30
51 Aplicações - Exemplo 2 23 Calculando os pontos da função e representando graficamente, temos:
52 Aplicações - Exemplo 2 23 Calculando os pontos da função e representando graficamente, temos: A quantidade que maximiza é
53 Aplicações - Exemplo 2 23 Calculando os pontos da função e representando graficamente, temos: A quantidade que maximiza é x = 8.5 Já o preço máximo é:
54 Aplicações - Exemplo 2 23 Calculando os pontos da função e representando graficamente, temos: A quantidade que maximiza é x = 8.5 Já o preço máximo é: p = 20 x = = 11, 50 R$11,50
55 Aplicações - Exemplo 2 24 Vamos obter: 3. O intervalo que deve variar o preço para que o lucro não seja negativo
56 Aplicações - Exemplo 2 24 Vamos obter: 3. O intervalo que deve variar o preço para que o lucro não seja negativo Para x = 2 o preço é
57 Aplicações - Exemplo 2 24 Vamos obter: 3. O intervalo que deve variar o preço para que o lucro não seja negativo Para x = 2 o preço é 18
58 Aplicações - Exemplo 2 24 Vamos obter: 3. O intervalo que deve variar o preço para que o lucro não seja negativo Para x = 2 o preço é 18 Para x = 15 o preço é
59 Aplicações - Exemplo 2 24 Vamos obter: 3. O intervalo que deve variar o preço para que o lucro não seja negativo Para x = 2 o preço é 18 Para x = 15 o preço é 5
60 Aplicações - Exemplo 2 24 Vamos obter: 3. O intervalo que deve variar o preço para que o lucro não seja negativo Para x = 2 o preço é 18 Para x = 15 o preço é 5 Então o intervalo será:
61 Aplicações - Exemplo 2 24 Vamos obter: 3. O intervalo que deve variar o preço para que o lucro não seja negativo Para x = 2 o preço é 18 Para x = 15 o preço é 5 Então o intervalo será: 5 p 18
62 Função Quadrática Exercícios
63 Exercícios 25 Para as funções abaixo determine: (i) os principais pontos da parábola, (ii) o domínio, (iii) o conjunto imagem e (iv) a representação gráfica 1. f = {(x, y) R y = x 2 + 2x 1} 2. f = {(x, y) R y = x 2 5x + 4} 3. f = {(x, y) R y = x 2 + 4} 4. f = {(x, y) R y = x 2 16} 5. f = {(x, y) R y = x 2 + x} 6. f = {(x, y) R y = x 2 x} 7. f = {(x, y) R y = x 2 } 8. f = {(x, y) R y = 2x 2 8x}
64 Exercícios 26 Em uma certa plantação, a produção, P, de milho depende da quantidade, q, de fertilizante utilizada, e tal dependência pode ser expressa por: P(q) = q q Considerando que, nessa lavoura, a produção é medida em kg e a quantidade de fertilizante em g/m 2, determine: 1. (a) Os coeficientes dos termos da função; (b) a concavidade; (c) o ponto em que a curva corta o eixo P; (d) os pontos em que a curva corta o eixo q; (e) o vértice da parábola; 2. O esboço do gráfico; 3. A quantidade de fertilizante para que a produção seja máxima, bem como a será a produção máxima.
65 Exercícios 27 Um vendedor anotou as vendas de um eletrodoméstico nos 30 dias em que trabalhou na seção de utilidades de uma loja de departamentos e notou que o número de aparelhos vendidos, y, em função do número de dias, t, pode ser obtido utilizando-se a equação: y = 0, 5t 2 8t Assim sendo, determine : 1. (a) Os coeficientes dos termos da função; (b) a concavidade; (c) o ponto em que a curva corta o eixo t; (d) os pontos em que a curva corta o eixo y; (e) o vértice da parábola; 2. O esboço do gráfico
66 Exercícios 28 Em um ano, o valor, v, de uma ação negociada na bolsa de valores, no decorrer dos meses, t, é dado pela expressão v = t 2 10t Sabendo que o valor da ação é dado em reais, determine: 1. (a) Os coeficientes dos termos da função; (b) a concavidade; (c) o ponto em que a curva corta o eixo t; (d) os pontos em que a curva corta o eixo v; (e) o vértice da parábola; 2. O esboço do gráfico
67 ...
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