UFJF CONCURSO VESTIBULAR 2012 REFERÊNCIA DE CORREÇÃO DA PROVA DE MATEMÁTICA. e uma das raízes é x = 1

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1 UFJF ONURSO VESTIULR REFERÊNI DE ORREÇÃO D PROV DE MTEMÁTI 4 Questão Seja P( = ax + bx + cx + dx + e um polinômio com coeficientes eais em que b = e uma das aízes é x = Sabe-se que a < b < c < d < e fomam uma pogessão aitmética cescente a) Detemine a azão dessa pogessão aitmética e os coeficientes do polinômio P( x ) Sabe-se que a < b < c < d < e fomam uma pogessão aitmética cescente (P cescente) Seja a azão dessa P Escevendo essa P em função de b e, temos Usando o fato que x = é aiz do polinômio Segue que a = b < b < c = b + < d = b + < e = b + 4 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 4 P( = ax + bx + cx + dx + e, obtemos: = P = a + b + c + d + e a b + c d + e = ( b ) b + ( b + ) ( b + ) + ( b + ) = b = b = omo b =, temos = 4 Deteminemos agoa os coeficientes a, b, c, d, e, do polinômio P( = ax + bx + cx + dx + e : 4 a = b = =, b =, c = + =, d = ( + ) =, e = + = 4 4 Potanto, P( = x x x x b) Enconte as demais aízes do polinômio P( x ) Note que o polinômio P( x ) pode se eescito da seguinte foma: P( = x(4x + x + x + ) Note que x = é aiz de P( x ) omo x = é aiz do polinômio P( x ), temos que também é aiz do polinômio Q( = 4x + x + x + ssim dividindo o polinômio Q( x ) po x + obtemos: Divisão de polinômio ou Dispositivo Pático de iot-ruffini x + x + x + x + 4 x x x x x + + x + + x x x + x x x + Resto da divisão Logo, P( = x Q( = x(4x x + )( x + ) s aízes de 4x x + são: ± x = x = ± i Potanto, as aízes do polinômio P( x ) são: -,, i e i

2 UFJF ONURSO VESTIULR REFERÊNI DE ORREÇÃO D PROV DE MTEMÁTI Questão No plano catesiano, considee os pontos (, ) e (, 4) a) Enconte a equação da eta que passa po e foma com o eixo das abscissas um ângulo de, medido do eixo paa a eta no sentido anti-hoáio equação da eta que passa pelo ponto ( x, y ) e tem inclinação de θ é dada po, y y = m ( x x ), onde m = tg( θ ) é o coeficiente angula da eta omo (, ) e θ =, temos m = tg( ) = e y () = ( x ( )) y = ( x + )) y = x + Equação da eta : y = x + b) Seja s a eta que passa po e é pependicula à eta Enconte as coodenadas do ponto P, deteminado pela intesecção das etas e s Sejam m e m s os coeficientes angulaes das etas e s, espectivamente omo as etas e s são m m = Pelo item a, sabemos que m =, logo pependiculaes, temos s ms = ms = ms = m omo a eta s passa pelo ponto (, 4), sua equação é dada po y (4) = ( x ()) y 4 = x y = x + Então, a equação da eta s é dada po: y = x + s y = x + Deteminemos agoa o ponto P dado pela intesecção das etas e s ys = x + Resolvendo o sistema, obtemos x + = x + x = x = Logo P (,) c) Detemine a equação da cicunfeência que possui cento no ponto Q (,) e tangencia as etas e s Seja D o ponto de tangência da cicunfeência com a eta Logo o compimento do segmento QD é o aio R da cicunfeência, isto é, R = QD omo D é o ponto de tangência da cicunfeência com a eta, temos que o ângulo PDQ é etângulo em D, ou seja, PDQ = 9 eta que passa po P e Q é paalela ao eixo dos x, logo DPQ = PQD = 4 e o tiângulo etângulo DPQ é isósceles de lado QD e hipotenusa PQ = ssim, R + R = R = 4 R = equação de uma cicunfeência que possui cento no ponto ( xo, y o ) e aio R é dada po ( x x ) + ( y y ) = R o Potanto, a equação da cicunfeência que possui cento no ponto Q (,) é: ( x ) + ( y ) = o

3 UFJF ONURSO VESTIULR REFERÊNI DE ORREÇÃO D PROV DE MTEMÁTI Outa esolução possível: omo a cicunfeência tangencia a eta, temos que o aio, R, da cicunfeência é dado pela distância do cento Q (,) à eta : y + x = (mesmos agumentos podem se usados com a eta s ) ssim, () + () R = d Q, = R = R = + Logo, a equação da cicunfeência que possui cento no ponto Q (,) e tangencia as etas e s é: ou seja, ( x ) + ( y ) = ( ), ( x ) + ( y ) = Obsevação: distância do ponto Q( xq, y Q ) a eta : ax + by + c = : d, Q a xq + b yq c = a + b Questão Uma empesa de sovete utiliza como embalagem um pisma eto, cuja altua mede cm e cuja base é dada confome descição a segui: de um etângulo de dimensões cm po cm, extai-se em cada um dos quato vétices um tiângulo etângulo isósceles de catetos de medida cm cm cm cm a) alcule o volume da embalagem Seja V o volume da embalagem, isto é, V = h, onde : h = altua da embalagem, = áea da base desta embalagem Temos que, cada um dos quato tiângulos extaídos tem áea igual a cm Logo = ( 4 ) = 98 cm ssim, o volume desta embalagem é dado po V = = cm

4 UFJF ONURSO VESTIULR REFERÊNI DE ORREÇÃO D PROV DE MTEMÁTI b) Sabendo que o volume ocupado po esse sovete aumenta em (um quinto) quando passa do estado Sejam líquido paa o estado sólido, qual deve se o volume máximo ocupado po esse sovete no estado líquido, nessa embalagem, paa que, ao congela, o sovete não tansbode? V = volume da embalagem, isto é V = h V = o volume que deve se colocado na embalagem, paa que, ao congela, o sovete não tansbode Então Potanto, V + V = V V = V V V = 98 = cm V = Questão 4 Sejam f : R R e g : R R funções definidas po f ( = x 4 e espectivamente g( = x + x 8, a) Detemine o conjunto dos valoes de x tais que f ( > g( x ) Defina h ( = f ( g( = x x Neste caso, f ( > g( h( > Note que a epesentação gáfica da função h é uma paábola com concavidade voltada paa cima, cujas aízes são dadas po: ± 49 x = x = e x = Logo h( x ) > paa todos os valoes de x foa do intevalo compeendido ente as aízes conjunto pocuado é, X = { x R ; h( > } = { x R ; f ( > g( } = R [, ] = ], [ ], + [ x e x ssim o b) Detemine o meno númeo eal κ tal que f ( + κ g( paa todo x R Defina Neste caso, ( + k g( h ( f k Note que a epesentação gáfica da função h k ( paa todo x R, quando h k ( = f ( + k g( = x x + k h k é uma paábola com concavidade voltada paa cima, logo, ou seja, quando = + 4 4k 49 omo queemos o meno k, seu valo é k = 4 49 k 4 4

5 UFJF ONURSO VESTIULR REFERÊNI DE ORREÇÃO D PROV DE MTEMÁTI Questão onsidee dois tiângulos e D, de mesma base, tais que D é um ponto inteno ao tiângulo medida de é igual a cm om elação aos ângulos intenos desses tiângulos, sabe-se que: D = D, D = º, D = 4º, = º D Seja a) Enconte a medida do ângulo D α = D = D Logo = α + 4º e = α + º omo a soma dos ângulos intenos do tiângulo é 8º, temos + + = 8º, ou seja, ( α + 4º ) + ( α + º) + º = 8º Logo, α = 8º 4º º º = º e assim, α = º Do tiângulo D, obtemos a seguinte elação ente seus ângulos intenos: D + D + D = 8º Logo, D + α = 8º, e assim D = 8º º = º b) alcule a medida do segmento D M D Seja M um ponto no segmento tal que DM é a altua do tiângulo D de base omo D = D, segue que o tiângulo D é isósceles de base, e assim M é o ponto médio do segmento e M = = = Do tiângulo MD, etângulo em M, temos cos( ) = M α D = D D = D = Outa esolução possível: D no tiângulo D temos ( ) = ( ) + ( ) cos( ) Usando a lei dos ossenos paa o ângulo D D D D omo o tiângulo D é isósceles de base, segue que D ou seja, () = ( D) + ( D) D D ( ) ( D ) = Outa esolução possível: ( D ) = = D ssim, ( ) ( ) D = Usando a Lei dos Senos nos lados e D do tiângulo D temos: D D = = D = sen( ) sen( ) = D + D, D = D =

6 UFJF ONURSO VESTIULR REFERÊNI DE ORREÇÃO D PROV DE MTEMÁTI c) dmitindo-se tg ( ) =, detemine a medida do segmento D E Seja E o ponto de inteseção do segmento com o polongamento do segmento D Do tiângulo E, obtemos a seguinte elação: E + E + E = 8º Logo E = 8º 4º º = 9º Da mesma foma, temos que E = 9º etângulo em E, obtemos: DE = D sen ( ) DE = DE = E = D cos( ) E = E = Logo E = D + DE = +, ou seja, E = = Usando que tg ( ) =, obtemos: ( ) = tg = E E E = E E = E = ssim, omo D = D =, do tiângulo ED, = E + E = + Outa esolução possível: E Seja o ponto E no segmento de tal foma que E seja a altua do tiângulo de base Logo os tiângulos E e E são etângulos em E ssim, E E sen( ) = = E = E tg( ) = E E tg( ) = = E = E E = E = E Logo = E + E = +